劉德超，熊 建

(北汽福田汽車股份有限公司，北京 102206)

0 引 言

新型的磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器由于具有結(jié)構(gòu)簡單、 工作可靠、 體積小等優(yōu)點(diǎn)在電機(jī)控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器主要分為定、轉(zhuǎn)子兩部分，均為矽鋼片疊壓而成。定子開槽，勵(lì)磁繞組和正、余弦反饋信號(hào)繞組均以集中繞組的方式繞制在定子槽內(nèi)，其中勵(lì)磁繞組一般為等匝數(shù)逐齒反饒串接，正、余弦繞組按正、余弦分布規(guī)律逐齒繞制串接。轉(zhuǎn)子無繞組，一般制作成特殊形狀，使定、轉(zhuǎn)子氣隙磁導(dǎo)具有正弦變化規(guī)律，從而使得勵(lì)磁繞組和正、余弦繞組的耦合磁導(dǎo)依據(jù)定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置具備正、余弦變化規(guī)律，最終在旋轉(zhuǎn)變壓器輸出端獲得包含定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置信息的正、余弦信號(hào)。

上面提到磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器的勵(lì)磁繞組一般為逐齒反接串聯(lián)，而正、余弦繞組則是逐齒按正弦分布規(guī)律繞制串接，故勵(lì)磁繞組與信號(hào)繞組的耦合系數(shù)小于1，并不符合理想變壓器條件，不可對(duì)磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器用理想變壓器理論在電路中進(jìn)行建模分析，所以下文在分別對(duì)勵(lì)磁繞組的自感、信號(hào)繞組的自感以及勵(lì)磁繞組和信號(hào)繞組的互感進(jìn)行了詳細(xì)分析計(jì)算的基礎(chǔ)上，使用勵(lì)磁繞組的自感、信號(hào)繞組的自感以及勵(lì)磁繞組與信號(hào)繞組的互感建立旋轉(zhuǎn)變壓器的等效電路，并根據(jù)等效電路，分析磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器接入電路后，由于負(fù)載效應(yīng)及阻抗匹配引起的解碼誤差。

1 繞組電感計(jì)算

磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器轉(zhuǎn)子一般制作成特殊形狀，使得氣隙磁導(dǎo)包含直流分量、基波分量以及高次諧波分量，其中高次諧波分量一般是用來優(yōu)化因繞組、齒槽等引起的輸出端高次諧波電勢。我們這里只討論氣隙磁導(dǎo)的直流分量和基波分量。氣隙磁導(dǎo)的表達(dá)式如下：

(1)

式中，Λk為定子第k齒對(duì)應(yīng)氣隙磁導(dǎo)；Λm0為氣隙磁導(dǎo)直流分量；Λm1為氣隙磁導(dǎo)基波分量幅值；p為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)；Θ為定轉(zhuǎn)子相對(duì)位置電角度；αe為相鄰兩齒對(duì)應(yīng)電角度。

(1)勵(lì)磁繞組電感(信號(hào)繞組均開路)

為優(yōu)化磁路，磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器的勵(lì)磁繞組一般為等匝數(shù)逐齒反向繞制串接，設(shè)每個(gè)定子齒上的繞組匝數(shù)為N1，可得第k齒繞組電感為[4]

則勵(lì)磁繞組總電感為

(2)

將式(1)帶入式(2)可得：

由上述推導(dǎo)可以得到關(guān)于磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器勵(lì)磁繞組自感的以下結(jié)論：

勵(lì)磁繞組自感為一恒定值，并不受氣隙磁導(dǎo)變化(即旋轉(zhuǎn)變壓器定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置)的影響，只與氣隙磁導(dǎo)的直流分量、繞組匝數(shù)以及定子槽數(shù)有關(guān)。

(2)信號(hào)繞組電感(勵(lì)磁繞組及另外一組信號(hào)繞組均開路)

磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器的信號(hào)繞組采用正弦(或余弦)分布[5]，每相繞組逐齒按正弦(或余弦)分布規(guī)律繞制串接，其分布周期一般為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)的倍數(shù)，可用下式來表示信號(hào)繞組每齒匝數(shù)，其中為繞組分布匝數(shù)峰值。

Nsk=Nssin[(k-1)αe]

第k齒信號(hào)繞組電感可表示為

則可得信號(hào)繞組總電感為

(3)

因

聯(lián)合式(1)和式(3)可得:

由上述推導(dǎo)可以得到關(guān)于磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器信號(hào)繞組自感的以下結(jié)論：

信號(hào)繞組自感為一恒定值，并不受氣隙磁導(dǎo)變化(即旋轉(zhuǎn)變壓器定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置)的影響，只與氣隙磁導(dǎo)的直流分量、繞組分布匝數(shù)峰值以及定子槽數(shù)有關(guān)。

(3)勵(lì)磁-信號(hào)繞組互感(以正弦繞組為例)

設(shè)定子每齒勵(lì)磁繞組匝數(shù)為N1,每齒正弦信號(hào)繞組匝數(shù)Nsk=Nssin[(k-1)αe]，則第k齒勵(lì)磁繞組與正弦信號(hào)繞組之間的互感為

Mk=N1Nssin[(k-1)αe]Λk

因勵(lì)磁繞組為逐齒反向繞制的，所以可得勵(lì)磁繞組與正弦信號(hào)繞組之間的總互感為

(4)

式中,Ks為小于1的常系數(shù)，其與定子齒槽數(shù)、繞組嵌線方式(隔齒反接或逐齒正接)等相關(guān)。

可得，勵(lì)磁繞組與正弦信號(hào)繞組之間的互感與氣隙磁導(dǎo)的交流分量幅值、勵(lì)磁繞組匝數(shù)、正弦信號(hào)繞組分布匝數(shù)峰值以及定子槽數(shù)、正弦信號(hào)繞組繞制方式有關(guān)，并且是與定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置成正弦關(guān)系。同理可以推得勵(lì)磁繞組與余弦信號(hào)繞組之間的互感與定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置成余弦關(guān)系。

2 等效電路

上文中分別計(jì)算了磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器的勵(lì)磁繞組和信號(hào)繞組的自感以及兩者之間的互感，可以看出，雖繞制在同一鐵心(定子)上，但因其耦合系數(shù)小于1，故不能作為理想變壓器進(jìn)行建模。

下面根據(jù)磁路耦合，將勵(lì)磁繞組與信號(hào)繞組作為一組耦合電感，使用上文中計(jì)算所得勵(lì)磁繞組自感L1、信號(hào)繞組自感L2以及兩者互感M進(jìn)行電路等效，具體電路如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)變壓器等效電路

由圖1可得方程組：

(5)

式中,L1為勵(lì)磁繞組自感；L2為信號(hào)繞組自感；M為勵(lì)磁繞組和信號(hào)繞組互感；R1為勵(lì)磁繞組直流電阻與鐵心損耗等效電阻之和；R2為信號(hào)繞組直流電阻與鐵心損耗等效電阻之和；αe為相鄰兩齒對(duì)應(yīng)電角度；ZL為負(fù)載阻抗。

由式(5)可得：

(6)

根據(jù)式(6)，可分別對(duì)輸入、輸出進(jìn)行等效如下。

(1)輸入端等效(勵(lì)磁端)

旋轉(zhuǎn)變壓器輸入等效如圖2所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)變壓器輸入等效

Z1=R1+jωL1
Z12=(ωM)2Y2

(2)輸出端等效(信號(hào)端)

旋轉(zhuǎn)變壓器輸出等效如圖3所示。

圖3 旋轉(zhuǎn)變壓器輸出等效

(7)

由式(7)可知，信號(hào)端開路輸出電壓是正比于互感M的，又由式(4)可知，互感M與旋轉(zhuǎn)變壓器轉(zhuǎn)子位置相關(guān)，所以可得信號(hào)端開路輸出電壓：

式中，K為一常系數(shù)，可對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)變壓器的變比參數(shù)。

3 誤差分析

在旋轉(zhuǎn)變壓器信號(hào)繞組接入負(fù)載后，對(duì)正、余弦信號(hào)進(jìn)行解碼時(shí)，我們均是假定負(fù)載所得有效信號(hào)為正比于開路輸出電壓的信號(hào)，另設(shè)定：

●正弦信號(hào)繞組自感為Ls，余弦信號(hào)繞組自感為Lc，且Ls=Lc=L2。

●勵(lì)磁繞組與正弦信號(hào)繞組互感為Ms=MsinpΘ、勵(lì)磁繞組與余弦信號(hào)繞組互感為Mc=McospΘ。

●勵(lì)磁繞組自感為L1，勵(lì)磁繞組內(nèi)阻為R1。

●正弦信號(hào)繞組內(nèi)阻為Rs，余弦信號(hào)繞組內(nèi)阻為Rc，且Rs=Rc=R2。

(8)

但由圖3可以看出，在旋轉(zhuǎn)變壓器信號(hào)繞組接入負(fù)載后的等效電路中，引入了一項(xiàng)與勵(lì)磁繞組阻抗及互感M相關(guān)的阻抗項(xiàng)Z21，我們稱之為勵(lì)磁繞組到信號(hào)繞組的反射阻抗。Z21是隨著旋轉(zhuǎn)變壓器定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置變化而變化的，其會(huì)造成負(fù)載上的有效信號(hào)相對(duì)于開路輸出電壓信號(hào)產(chǎn)生偏移，下面利用上述等效電路，分析當(dāng)旋轉(zhuǎn)變壓器接入負(fù)載后，反射阻抗Z21的變化對(duì)負(fù)載ZL兩端得到的有效信號(hào)的影響。

由圖3所示等效電路可得負(fù)載ZL上實(shí)際所得有效電壓為

(9)

則：

因,Ms=MsinpΘ，Mc=McospΘ,設(shè)Z=(ωM)2Y1

則：

(10)

(11)

可得：

(12)

此時(shí)誤差為0。

或

此時(shí)誤差最大。其中,Z=(ωM)2Y1。

由式(12)可知，由勵(lì)磁繞組反射阻抗產(chǎn)生的誤差可以作為正、余弦信號(hào)的幅值失配誤差進(jìn)行考慮，則該誤差為[6]

(13)

其中,δ為幅度失配百分比，即：

雖然由勵(lì)磁繞組反射阻抗引入誤差的頻率為轉(zhuǎn)子電角頻率的4倍，但誤差涉及復(fù)數(shù)域計(jì)算，解析解較復(fù)雜，下面計(jì)算勵(lì)磁繞組反射阻抗引起幅度失配百分比δ的取值范圍，為δ確定一個(gè)極值。

前文已提到當(dāng)cos(2pΘ)=±1時(shí)，

故可得：

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

前文已提到，每0.3%的失配幅度，對(duì)于12位RDC將產(chǎn)生大約1LSB的誤差。若要將因反射阻抗引入的誤差控制在1LSB以內(nèi)，則需要將反射阻抗引入的幅度失配控制在0.3%以內(nèi)，為提高裕度，我們以反射阻抗所能引起的失配幅度極值作為設(shè)計(jì)輸入，即

δmax≤0.3%

以一款批量應(yīng)用的旋轉(zhuǎn)變壓器規(guī)格書參數(shù)為設(shè)計(jì)輸入，如表1所示。

(1)計(jì)算繞組自感、互感

勵(lì)磁繞組自感：

信號(hào)繞組自感：

互感峰值：

M=0.286×L1=0.000531=531 μH

(2)計(jì)算反射阻抗

勵(lì)磁阻抗反射至信號(hào)繞組阻抗：

(3)計(jì)算負(fù)載

因旋轉(zhuǎn)變壓器的負(fù)載一般為芯片引腳，輸入阻抗非常大，近似開路，所以電路中用于濾波的電容作為主要負(fù)載對(duì)象，即圖 4中的C76，C80，C172，C174，C176。

圖4 實(shí)際應(yīng)用電路

由

得：ZL≥3552.8，即C≤4.48 nf。故在正余弦信號(hào)所接后級(jí)負(fù)載電路中，用于共模及差模濾波的電容值最大不要超過4.48 nf(圖3中為C172//C176+C76//C80+C174)，則由反射阻抗引起幅值失配造成的誤差在12位RDC中不超過1LSB。

5 結(jié) 論

本文詳細(xì)分析了旋轉(zhuǎn)變壓器勵(lì)磁、信號(hào)繞組的自感、互感，并使用勵(lì)磁繞組、信號(hào)繞組的自感、互感導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)變壓器的等效電路，然后根據(jù)等效電路引出由反射阻抗引起的解碼誤差，最后根據(jù)一款實(shí)際應(yīng)用的旋轉(zhuǎn)變壓器，計(jì)算達(dá)到所需解碼精度所使用的濾波電路容值限制，為旋轉(zhuǎn)變壓器的應(yīng)用電路設(shè)計(jì)提供理論參考及實(shí)際案例。