張 峰，黃 欣，白雪蓮，王鵬飛，黃 玉

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院 電氣工程教研室，合肥 230031)

0 引 言

混沌運(yùn)動是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運(yùn)動形式，廣泛存在于自然界中。一般而言，混沌是指在確定性的非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素就可以出現(xiàn)的類似隨機(jī)的行為。自1963年Lorenz在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，人們就對混沌系統(tǒng)開展了廣泛的研究[1-2]。

永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)具有運(yùn)行可靠、效率和功率密度高等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)生產(chǎn)、電動汽車、機(jī)器人等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[3-6]。PMSM是一個非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，也有可能處于混沌狀態(tài)。Li等[7]基于d-q坐標(biāo)系下的模型研究了氣隙均勻的表貼式永磁同步電機(jī)(SPMSM)的混沌特性。Jing等[8]進(jìn)一步討論了氣隙非均勻的內(nèi)置式永磁同步電機(jī)(IPMSM)的情況。其他一些研究[9-12]也在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開。但以上這些研究[7-12]都對PMSM中的參數(shù)約束關(guān)系進(jìn)行了一定程度的放松。Zhang等[13]在更加嚴(yán)格的遵循模型中參數(shù)約束關(guān)系的條件下發(fā)現(xiàn)考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩時IPMSM系統(tǒng)在一定的參數(shù)條件下可以處于混沌狀態(tài)或超混沌狀態(tài)。但文獻(xiàn)[13]只對IPMSM模型本體進(jìn)行了研究，沒有考慮對其進(jìn)行控制的問題。另一方面，由于文獻(xiàn)[7]不考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩的作用，此時電機(jī)可以處于勻速轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定狀態(tài)，所以目前基于文獻(xiàn)[7]開展的電機(jī)控制研究主要針對的是電機(jī)的速度控制問題[12]。文獻(xiàn)[13]考慮了扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩的作用，此時勻速轉(zhuǎn)動不再是系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)[13]，因此本文對扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩作用下處于混沌狀態(tài)的IPMSM的位置(轉(zhuǎn)角)控制方法進(jìn)行了研究。

本文首先給出了d-q坐標(biāo)系下考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩時IPMSM的系統(tǒng)模型及其處于某一混沌狀態(tài)時的Lyapunov指數(shù)、狀態(tài)變量時序圖和狀態(tài)空間相圖。然后采用基于PI的交流電機(jī)三環(huán)(位置環(huán)、速度環(huán)、電流環(huán))矢量控制[3-4]方法對扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩作用下處于混沌狀態(tài)的IPMSM設(shè)計了位置控制系統(tǒng)，其中位置環(huán)采用了依據(jù)位置給定值與位置實(shí)際值的差值大小改變PI控制系數(shù)的策略，電流環(huán)采用了最大轉(zhuǎn)矩電流比(MTPA)[4]控制策略。接下來，在位置環(huán)引入了一種基于趨近率的滑模魯棒控制[5-6,14]，并采用了依據(jù)位置給定值與位置實(shí)際值的差值大小改變滑?？刂破飨禂?shù)的策略。針對引入滑模控制后，電流環(huán)控制中MTPA控制策略不便于使用，而d軸電流等于零(id=0)控制策略又不能發(fā)揮IPMSM優(yōu)勢，會導(dǎo)致控制收斂速度變慢的問題，采用了將d軸電流的給定設(shè)置為某一適當(dāng)負(fù)值的控制策略。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)對以上兩種控制方案進(jìn)行了驗(yàn)證和對比。

1 考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩時IPMSM的系統(tǒng)模型及其混沌狀態(tài)

d-q坐標(biāo)系下IPMSM的定子電壓方程為

(1)

式中，ud、uq分別為d、q軸電壓；id、iq分別為d、q軸電流；Rs為定子繞組電阻；ψd、ψq分別為d、q軸磁鏈；ω為轉(zhuǎn)子電角速度。

d-q坐標(biāo)系下IPMSM的磁鏈方程為

(2)

式中，Ld、Lq分別為d、q軸電感；ψaf為永磁勵磁磁鏈。

d-q坐標(biāo)系下IPMSM的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

Te=np(ψdiq-ψqid)

(3)

式中，Te為電磁轉(zhuǎn)矩；np為極對數(shù)。這里考慮的是采用正交變換時的情形，如果采用的是Park變換則式(3)中會出現(xiàn)系數(shù)3/2。

IPMSM的運(yùn)動方程為

(4)

式中，J為機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量；ωm為轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度；θm為轉(zhuǎn)子的機(jī)械轉(zhuǎn)角；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；D為粘滯阻尼系數(shù)；K為扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

本文考慮TL為位能型轉(zhuǎn)矩不變型負(fù)載的情況，在這種情況下電機(jī)正向轉(zhuǎn)動、反向轉(zhuǎn)動以及轉(zhuǎn)速為零時TL均保持不變。Kθm項(xiàng)表示扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩?？紤]電機(jī)通過傳動裝置驅(qū)動一個和彈簧連接的位能型轉(zhuǎn)矩不變型負(fù)載在一定范圍內(nèi)運(yùn)動，并且以彈簧不發(fā)生形變時為起始位置，此時運(yùn)動方程中就會出現(xiàn)TL項(xiàng)和Kθm項(xiàng)。Dωm項(xiàng)表示粘滯阻尼轉(zhuǎn)矩，反映摩擦力對電機(jī)運(yùn)動的影響。

ωm、θm還滿足以下關(guān)系：

(5)

式中，θ為轉(zhuǎn)子的電轉(zhuǎn)角。

如果忽略IPMSM工作過程中Ld、Lq、ψaf的變化，則由式(1)～式(5)可得考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩時IPMSM系統(tǒng)在d-q坐標(biāo)系下以id、iq、ω、θ為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程[13]：

(6)

將式(6)中的參數(shù)按照表1所示進(jìn)行取值。

表1 IPMSM中的參數(shù)取值

可以看到表1中Ld

(7)

在表1所示取值條件下進(jìn)行數(shù)值計算可以得到式(6)所示系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)(LE)如表2所示。

表2 IPMSM的Lyapunov指數(shù)(LE)

由混沌學(xué)理論可知[2,15]，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

選定系統(tǒng)初始條件如表3所示。

表3 IPMSM的初始條件

可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)變量時域圖和狀態(tài)空間相圖(以id-iq-ω空間相圖為例)如圖1、圖2所示。

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)變量時域圖

圖2 系統(tǒng)的id-iq- ω空間相圖

圖1表明系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，圖2表明系統(tǒng)具有較為典型的混沌吸引子。圖1、圖2的結(jié)果可以作為表2結(jié)果的補(bǔ)充，進(jìn)一步說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2 基于PI的三環(huán)矢量控制系統(tǒng)設(shè)計

對于交流電機(jī)進(jìn)行位置控制最常見的控制方法是基于PI的三環(huán)矢量控制[3-4]。

位置環(huán)控制方法如下：

(8)

式中，ω*、θ*分別為速度給定和位置給定，kp1、ki1分別為位置環(huán)PI控制器的比例控制系數(shù)和積分控制系數(shù)。

速度環(huán)控制方法如下：

(9)

在電流環(huán)控制方面，對于SPMSM通常采用id=0控制。對于IPMSM則通常采用MTPA控制[4]，該控制方法可以最大限度利用IPMSM的磁阻轉(zhuǎn)矩，提高電機(jī)單位定子電流的轉(zhuǎn)矩輸出能力，在輸出轉(zhuǎn)矩一定時則可以使電機(jī)電流最小。MTPA控制的具體方法為

(10)

(11)

(12)

(13)

式(8)～式(13)構(gòu)成了一種基本的位置控制系統(tǒng)。因?yàn)樵摽刂葡到y(tǒng)是基于PI控制的，并在電流環(huán)使用了MTPA控制策略，所以在本文中將其簡記為PI+MTPA控制系統(tǒng)。

電機(jī)定子電壓us的幅值|us|、定子電流is的幅值|is|和定子功率ps反映了控制系統(tǒng)對電源變換裝置輸出電壓、電流和功率能力的要求。上述3個物理量的表達(dá)式如下：

(14)

應(yīng)該對上述3個物理量進(jìn)行考察，看它們是否處在合理的范圍。同時還應(yīng)該考察電機(jī)的轉(zhuǎn)速ω，它反映了控制系統(tǒng)對電源變換裝置輸出頻率范圍的要求。

在對上述PI+MTPA控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真調(diào)試的過程中可以發(fā)現(xiàn)，如果位置給定與控制系統(tǒng)切入時電機(jī)的實(shí)際位置差值較大，則位置環(huán)PI控制器的控制系數(shù)kp1、ki1就要取較小的值才能使控制收斂。但是較小的kp1、ki1又會導(dǎo)致出現(xiàn)較大的超調(diào)以及系統(tǒng)穩(wěn)定后對負(fù)載變化的魯棒性較差。為了解決這一矛盾，本文并采用了依據(jù)位置給定值與位置實(shí)際值的差值大小改變位置環(huán)PI控制器系數(shù)的策略。

位置給定值與位置實(shí)際值的差值即位置誤差信號定義如下：

e=θ*-θ

(15)

采用滯回比較機(jī)制設(shè)置兩個誤差大小的閾值|e|th+、|e|th-，且|e|th+>|e|th->0，則控制系數(shù)的切換機(jī)制可以表示如下：

當(dāng)|e|>|e|th+時，kp1、ki1取較小的值；

當(dāng)|e|≤|e|th-時，kp1、ki1取較大的值；

當(dāng)|e|th-<|e|≤|e|th+時，kp1、ki1保持原值(如果控制切入時|e|即處在此區(qū)間，則kp1、ki1取較大的值)。

3 位置環(huán)使用滑模魯棒控制的控制系統(tǒng)設(shè)計

由于IPMSM處于混沌狀態(tài)時其動力學(xué)行為十分復(fù)雜，具有明顯的非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，而對非線性系統(tǒng)使用滑模控制往往可以取得較好的控制效果，所以本節(jié)將在位置環(huán)引入一種基于趨近率的滑模魯棒控制[5-6,14]來設(shè)計控制系統(tǒng)。

設(shè)計滑模函數(shù)s為

(16)

式中，c為常數(shù)，且有c>0，控制的收斂速度與c值有關(guān)。

(17)

式中，ε和k均為常數(shù)，它們與滑模函數(shù)s向s=0切換面趨近的速率有關(guān)。dc滿足如下關(guān)系：

(18)

式中，dU為隨著負(fù)載TL的變化，TL/J可能達(dá)到的最大值，即：

(19)

dU的取值需要根據(jù)具體的情況來確定，足夠大的dU可以保證系統(tǒng)對于負(fù)載TL的變化具有魯棒性。

式(16)～式(19)即構(gòu)成了位置環(huán)控制方案。

由式(9)可知，在第2節(jié)的PI+MTPA控制系統(tǒng)中，速度環(huán)PI控制器可以給出定子電流給定，再由式(10)～式(13)即可應(yīng)用MTPA控制策略。

針對這一問題本文采用了將id的給定設(shè)置為某一適當(dāng)負(fù)值I的控制策略。具體表示如下：

(20)

這里的I值可以通過試湊法選取，也可以參考相同負(fù)載條件下使用PI+MTPA控制系統(tǒng)時的d軸電流id來確定。本文中將這種控制策略稱為id=-I控制。

式(20)和式(12)、式(13)一起就形成了電流環(huán)控制方案。電流環(huán)控制方案再結(jié)合式(16)～式(19)所示的位置環(huán)控制方案就形成了第二種基本的位置控制系統(tǒng)。本文中將這一控制系統(tǒng)簡記SMC+(id=-I)為控制系統(tǒng)。

當(dāng)|e|>|e|th+時，c取較小的值；

當(dāng)|e|≤|e|th-時，c取較大的值；

當(dāng)|e|th-<|e|≤|e|th+時，c保持原值(如果控制切入時即處在此區(qū)間，則c取較大的值)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在Matlab/Simulink中搭建模型對以上兩種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行驗(yàn)證。

首先讓式(6)所示的IPMSM在表1所示的參數(shù)條件和表3所示的初始條件下運(yùn)行。如第1節(jié)所述，此時IPMSM將處于混沌狀態(tài)。在5 s時將PI+MTPA或SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)切入。控制切入時電機(jī)的實(shí)際位置為θ(5 s)=-27 rad。位置給定設(shè)置為θ*=30 rad，并在10 s時階躍變化為。在15 s時負(fù)載TL由0.0282 Nm階躍變化為0.893 Nm。

PI+MTPA控制系統(tǒng)中的各個參數(shù)設(shè)置如下：

SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)中的各個參數(shù)設(shè)置如下：

兩種控制系統(tǒng)作用下IPMSM的位置(轉(zhuǎn)角)θ隨時間的變化如圖3所示。

圖3所示的結(jié)果表明兩種控制系統(tǒng)均能實(shí)現(xiàn)有效的控制，其中SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)收斂速度更快，對位置給定的階躍變化響應(yīng)更快，對負(fù)載的階躍變化魯棒性更強(qiáng)。

圖3 位置(轉(zhuǎn)角)θ隨時間的變化

兩種控制系統(tǒng)作用下|us|、|is|和ps隨時間的變化如圖4～圖6所示。

圖4～圖6的結(jié)果表明兩種控制方案下電機(jī)的定子電壓、電流和功率都處于合理范圍。

圖4 |us|隨時間的變化

圖5 |is|隨時間的變化

圖6 ps隨時間的變化

由圖5可以看出兩種控制系統(tǒng)作用下電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行時的定子電流比較接近，這說明在SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)中選擇I=9 A是比較合適的。

兩種控制系統(tǒng)作用下IPMSM的角速度ω隨時間的變化如圖7所示。

圖7 角速度隨時間的變化

由圖7可知，仿真實(shí)驗(yàn)過程中IPMSM沒有出現(xiàn)很高的轉(zhuǎn)速，期間有些時段的轉(zhuǎn)速還比較低，這意味著兩種控制系統(tǒng)都要求電源變換裝置和電機(jī)具有較好的低頻特性。

如果令SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)中的I=0，則該控制系統(tǒng)退化為SMC+(id=0)控制系統(tǒng)。但此時控制系統(tǒng)的魯棒性會變的很差，為了改善魯棒性要將控制系統(tǒng)中的k值由3.5提高到5。其他條件保持不變。

SMC+(id=0)控制系統(tǒng)和SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)的控制效果對比如圖8所示。

圖8 SMC+(id=0)控制系統(tǒng)和SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)作用下的位置變化

由圖8可知SMC+(id=0)控制系統(tǒng)的收斂速度較慢，魯棒性較差。

SMC+(id=0)控制系統(tǒng)和SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)作用下電機(jī)的定子電流對比如圖9所示。

圖9 SMC+(id=0)控制系統(tǒng)和SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)作用下電機(jī)的定子電流變化

由圖9可知SMC+(id=0)控制系統(tǒng)作用下電機(jī)的定子電流更大。

5 結(jié) 論

本文基于d-q坐標(biāo)系下考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩時 IPMSM的系統(tǒng)模型對其處于混沌狀態(tài)時的位置控制方法進(jìn)行了研究。主要結(jié)論如下：

(1)本文中設(shè)計的PI+MTPA控制系統(tǒng)和SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)均能對考慮扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩時處于混沌狀態(tài)的IPMSM進(jìn)行有效的位置控制，其中SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)收斂速度更快，對位置給定的階躍變化響應(yīng)更快，對負(fù)載的階躍變化魯棒性更強(qiáng)。

(2)兩種控制系統(tǒng)作用下電機(jī)的定子電壓、電流和功率都處于合理范圍，兩種控制系統(tǒng)都要求電源變換裝置和電機(jī)具有較好的低頻特性。

(3)與采用id=0控制策略相比，在SMC+(id=-I)控制系統(tǒng)中電流環(huán)適當(dāng)采用id=-I控制策略可以提高控制性能并減小電機(jī)電流。