何鵬翔 孫勝祥

（1.海軍工程大學管理工程與裝備經(jīng)濟系 武漢 430033）（2.91306部隊 上海 200000）

1 引言

隨著新時代海軍艦船裝備建設(shè)的快速發(fā)展，各種大型艦船陸續(xù)服役，其中部分艦船也集中進入了修理期，在艦船裝備維修經(jīng)費總量有限的前提下，經(jīng)費的供需矛盾日益突出。為了合理確定新型艦船計劃修理費用，提高裝備經(jīng)費的使用效益，迫切需要對新型艦船的計劃修理費用進行準確的預測。

傳統(tǒng)裝備費用估算方法主要有工程法、類比法、參數(shù)法等，文獻［1～2］運用工程法、類比法和參數(shù)法等方法對于艦船裝備和戰(zhàn)斗飛機不同時期的費用進行了估算；文獻［3～4］分別運用支持向量機和案例推理的方法對艦船裝備維修費進行了預測，但模型的預測精度取決于樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量，數(shù)據(jù)的樣本較少時，預測精度往往不高。大型艦船裝備一般都是單艦或者小批量生產(chǎn)，樣本數(shù)據(jù)較少，灰色預測方法作為灰色系統(tǒng)理論的主要成果，主要針對小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)進行研究［5～7］，對于艦船裝備維修費預測有很強的適用性。文獻［8］從擾動解大小的角度證明了GM（0，N）模型更加適用于小樣本建模。但艦船裝備和其他復雜裝備相比，其維修費與建造費、排水量等因素有著更加緊密的關(guān)系，建造費相似的艦船其維修費往往也是更為接近的。而文獻［8］中僅僅依據(jù)相似度對于樣本進行重新排序，并不能充分顯現(xiàn)相似程度更高的艦船裝備對于待測樣本維修費的影響。

本文擬在利用距離熵分析樣本之間相似度的基礎(chǔ)上，利用累積法代替?zhèn)鹘y(tǒng)GM（0，N）中的參數(shù)估計方法，從而賦予相似度較大的樣本更大的權(quán)重，使相似度較小的樣本占據(jù)更小的權(quán)重，從而達到提高艦船裝備維修費預測精度的目的。

2 GM（0，N）模型的基本原理

GM（0，N）模型通過利用原始數(shù)據(jù)累加后的灰色數(shù)據(jù)序列進行建模，可以在一定程度上弱化原始數(shù)據(jù)的隨機性，提高數(shù)據(jù)序列的規(guī)律性，其模型計算過程如下［7］：

1）計算原始數(shù)據(jù)序列的一階累加生成序列；

2）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣；

3）利用最小二乘法求得參數(shù)估計列：

4）計算模型的預測值：

但由于艦船裝備維修費影響因素眾多［9］，且會隨著管理體制及相關(guān)政策的變化而變化，不確定性強，建造費、排水量等因素往往與維修費有著很強的正相關(guān)關(guān)系，根據(jù)支配原理，艦船裝備維修費之間也必然存在著相似性，相似程度更高的樣本對于維修費變化規(guī)律的影響也會更大，直接將原始數(shù)據(jù)依據(jù)累加法進行建模雖然可以弱化數(shù)據(jù)的隨機性，但并沒有考慮艦船裝備的相似度對于待測樣本的影響。

3 艦船裝備維修費預測模型構(gòu)建

考慮到艦船裝備維修費與建造費、自身性能參數(shù)等因素緊密相關(guān)，基于“相似信息優(yōu)先”原理對GM（0，N）模型運用累積法進行改進。

3.1 基于距離熵的相似度度量

熵作為一種衡量系統(tǒng)不確定狀態(tài)的方法，與傳統(tǒng)判斷相似度的方法相比，可以利用現(xiàn)有信息推算出更多有價值的信息量，從而降低主觀因素對于計算結(jié)果的影響［10］。如果將艦船裝備看作一個復雜的系統(tǒng)，可以將信息熵用于判斷不同艦船裝備之間的相似度，系統(tǒng)的總熵值最小，包含的信息量也是最大的，艦船裝備之間的相似度也最高。設(shè)艦船裝備樣本A0，A1，A2，…，An，每個樣本又有m 個參數(shù)y1，y2，…，ym，xij則表示第i 個樣本關(guān)于第j 個參數(shù)的指標數(shù)據(jù)。待測樣本A0與Ai之間關(guān)于yj參數(shù)歐氏距離的比重vij為

則樣本A0與Ai的距離熵為

其中i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。

距離熵越小，則表示樣本A0與Ai之間的性能參數(shù)信息越相似，在后續(xù)建立預測模型時，也應當賦予更多的權(quán)重。

3.2 基于相似信息優(yōu)先累積的模型構(gòu)建

在參數(shù)估計中，使用最多的方法是最小二乘法，該方法誤差處理時需要基于誤差平方和最小化的假設(shè)，但該假設(shè)是難以驗證的，同時也容易造成模型估計與參數(shù)實際值相偏離。而累積法則不需要對于模型誤差進行假設(shè)，該方法對樣本數(shù)據(jù)進行加權(quán)和累加，進而估計模型參數(shù)，可以使預測的誤差趨向于零［11～12］。但是，一般累積法可能會導致相似程度越低的信息占據(jù)更高的權(quán)重，而相似程度越高的信息卻占據(jù)較低權(quán)重［13］的情況，從而使得模型的估計產(chǎn)生一定的偏差。

因此，本文提出一種基于相似信息優(yōu)先的累積法。首先，通過對樣本進行重新排序改變累積法的累積權(quán)重，使得相似程度越高的信息占據(jù)的權(quán)重越大，而與待測艦船裝備越相似的樣本數(shù)據(jù)也可以更好地反映維修費與各參數(shù)之間的關(guān)系。然后，使用該方法對GM（0，N）的參數(shù)進行估計，進而優(yōu)化其預測結(jié)果。

假設(shè)相似信息優(yōu)先累積算子的最高階數(shù)為r，模型的參數(shù)為N。對于相似程度更高的樣本，其數(shù)據(jù)累加的次數(shù)也越多。將相似信息優(yōu)先的累積算子運用于GM（0，N）模型的方程式兩邊，可以得到下列方程組：

其中，x(1)

i(k)為重新排序后的原始數(shù)據(jù)序列的一階累積生成序列，且

則方程組可以用矩陣形式表示為

在傳統(tǒng)GM（0，N）模型的參數(shù)估計中，A矩陣的行數(shù)一般取決于模型中艦船樣本的數(shù)量。當樣本量n 小于艦船裝備性能參數(shù)N 時，則無法用傳統(tǒng)最小二乘法進行求解，還需要首先對裝備的參數(shù)進行篩選，容易出現(xiàn)一些關(guān)鍵影響因素被剔除的問題。而在運用累積法計算時，A 矩陣的行數(shù)則取決于階數(shù)r。因此，可以通過調(diào)整累積運算的階數(shù)對于A矩陣的行數(shù)進行調(diào)整，令累加算子的階數(shù)與艦船裝備的輸入?yún)?shù)相同，避免出現(xiàn)當樣本量較少而相關(guān)參數(shù)較多模型無法計算的問題。

當r = N 時，只有矩陣A 中出現(xiàn)某一行的元素全部為0 或者任意兩行（列）元素相等時，矩陣A 才為奇異矩陣。但是對于艦船裝備而言，不同的艦船其輸入?yún)?shù)及有關(guān)費用肯定是不可能完全一致的，同時也不存在數(shù)據(jù)為零的情況。因此，在累積GM（0，N）中，矩陣A的逆矩陣一定是存在的，對于參數(shù)的求解則可以直接表示為

則可求出艦船裝備維修費預測GM（0，N）模型為

通過式（7）累減還原后，可以得到艦船裝備維修費的預測值。

3.3 改進的GM（0，N）模型預測步驟

改進的GM（0，N）模型預測步驟如下。

Step 1：根據(jù)式（1）和式（2）計算原始數(shù)據(jù)樣本與待測艦船裝備之間的距離熵；

Step 2：依據(jù)距離熵的值，按照從大到小的順序?qū)颖局匦屡判虿⒂嬎阋浑A累加生成序列；

Step 3：對于重新排序后的數(shù)據(jù)，利用累積法根據(jù)式（5）計算參數(shù)估計值a，b2，b3，…，bn；

Step 4：將模型參數(shù)估計值代入式（6）即可得到改進GM（0，N）模型，再通過式（7）累減還原即可得到待測艦船裝備的維修費。

4 案例分析

本文通過調(diào)研所得數(shù)據(jù)見表1（相關(guān)數(shù)據(jù)已經(jīng)進行過脫密處理），運用本文所提出的改進GM（0，N）模型對艦船裝備維修費進行預測，以驗證本文提出方法的可行性。

表1 艦船裝備計劃修理費用與性能參數(shù)原始數(shù)據(jù)表

首先，采用基于距離熵的相似度的計算方法，求得艦船裝備樣本F 與A、B、C、D、E 之間的距離熵分別為0.89、0.70、0.78、0.91、0.80；

1）將樣本按照距離熵從小到大進行重新排序：B、C、E、A、D，并計算一階累加生成序列；

2）計算模型參數(shù)：a?=A-1*Y= [0.1136 -0.1720-0.1213 18.6993]；

3）基于相似累積法GM（0，N）模型的預測公式為

模型的擬合精度和預測精度分別如表2所示。

表2 擬合精度對比表

同時，本文采用文獻［8］中的方法也進行了預測，結(jié)果見表2。從表2可以看出，本文提出的預測模型對于F 艦船裝備維修費的預測值與實際值的相對誤差為4.33%，優(yōu)于文獻［8］所提模型的相對誤差8.74%；從圖1 也可以直觀地看到本文的模型在數(shù)據(jù)擬合時穩(wěn)定性要比傳統(tǒng)模型好，傳統(tǒng)模型擬合的平均相對誤差為3.85%、最大相對誤差高達9.23%，而改進GM（0，N）模型平均相對誤差僅為0.85%、最大相對誤差只有1.90%。由此可見，與傳統(tǒng)GM（0，N）模型相比，本文所提出的相似信息累積GM（0，N）模型可以更加充分地利用與待測樣本相似程度更高的信息，有利于提高模型預測的穩(wěn)定性和精度。

圖1 兩種模型的擬合誤差比較

5 結(jié)語

隨著大型艦船裝備陸續(xù)進入修理期，對于維修費用計劃的制定也提出了更高的要求，考慮到現(xiàn)有方法在處理小樣本數(shù)據(jù)時的不足，本文提出一種基于相似優(yōu)先累積的GM（0，N）模型。該方法在利用距離熵判斷樣本之間相似度的基礎(chǔ)上對樣本進行重新排序，再利用累積法代替最小二乘法對于參數(shù)進行估計，同時也解決了樣本量較少時無法用最小二乘法對于模型參數(shù)進行估計的問題，更加充分發(fā)揮了灰色預測模型在處理小樣本數(shù)據(jù)時的優(yōu)勢。對于新型艦船裝備維修費用的估算有較強的實用性，也為利用參數(shù)法進行維修費估算從灰色理論的角度提供了新的解決方案。該方法實用性較強，也可以用于其他大型復雜裝備的修理費用預測。