尹小艷, 施德才

(西安電子科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,陜西 西安 710071)

0 引言

線性空間的結構及其上的線性變換理論是高等代數(shù)的精髓。但由于其概念的高度抽象性和形式的復雜多樣性，線性變換歷來是線性代數(shù)、高等代數(shù)教與學的核心和難點，也是各類考試，尤其是研究生招生這類綜合性較強的選拔類考試中的重點和熱點問題[1-3]。

高等代數(shù)中一個重要的數(shù)學思想就是化抽象為具體,將抽象的線性變換轉化為具體的矩陣問題研究便是這種思想的典型體現(xiàn)。設V為數(shù)域P上任意n維線性空間，記L(V)為V上所有線性變換構成的線性空間，記Pn和Pn×n分別為數(shù)域P上所有n維向量和所有n階方陣構成的線性空間。取定V的一組基ε1,ε2,…,εn，則?α∈V，α在這組基下有唯一的坐標x=(x1,x2,…,xn)T∈Pn與之對應；同時，對任意σ∈L(V),σ在這組基下有唯一的矩陣A與之對應(σ(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)A)。于是, 分別在抽象的線性空間V和L(V)與具體簡單的空間Pn和Pn×n之間自然地形成兩個重要映射:

4)σα=λα,α≠0?Ax=λx,x≠0，即向量α∈V是線性變換σ的特征向量，當且僅當其坐標x是矩陣A的特征向量；

5) dimσV=rank(A),dimσ-1(0)=n-rank(A)；

6) 記A=(a1,a2,…,an),σ(εi1),σ(εi2),…,σ(εir)為σV的基當且僅當ai1,ai2,…,air為A的列空間的基。

由此，不管V中的元素是什么，也不管V中加法和數(shù)乘如何抽象復雜，V中的線性運算都可以轉化為Pn中的簡單運算；同樣，L(V)中線性變換之間抽象的加法、復合、逆變換可以對應為簡單、具體、熟悉的矩陣求和、矩陣乘法及矩陣求逆運算。于是, 簡單直觀的矩陣與向量運算自然成為處理線性變換問題的利器。許多抽象復雜的線性變換問題，轉化為對應的矩陣問題，利用矩陣技巧求解，往往給人柳暗花明的驚喜。

1 幾個具體的例子

比如歐氏空間中正交變換的分解問題。

定義[1]設η為n維歐氏空間V中一單位向量，線性變換σ,則

σα=α-2(η,α)η

稱為鏡面反射。

引理2[4]已知σ是n維歐氏空間V上的一個線性變換,σ為鏡面反射的充要條件是σ在V的任意一組標準正交基下的矩陣都形如I-2ωωT(稱之為鏡面反射矩陣), 其中ω為Rn中的單位向量。

由(I-2ωωT)(I-2ωωT)=I知，鏡面反射矩陣的逆仍是自身。

例1(2012年浙江大學考研高等代數(shù)試題) 已知V是n維歐氏空間。

1)設α0,β0是V上任意兩個不同的單位向量, 證明存在一個鏡面反射σ, 使得σα0=β0；

2)證明V上任一正交變換都可以表示成一系列鏡面反射的乘積。

分析這一命題也可見文獻[2], 用線性變換的語言證明非常抽象,過程冗長繁瑣，且因為在n維空間上，幾何直觀性不強，很難理解。

根據(jù)引理1，任取V的一組標準正交基ε1,ε2,…,εn，V上任意不同的單位向量α0,β0在這組基下對應于Rn中任意單位向量x,y，鏡面反射σ對應于鏡面反射矩陣H,σα0=β0當且僅當Hx=y。于是例1用矩陣的語言可描述為：

例21)設x,y是任意兩個不同的單位實向量, 證明存在一個鏡面反射矩陣H,使得Hx=y；

2)證明任一正交矩陣都可以表示成一系列(最多n個)鏡面反射矩陣的乘積。

A=(Hn-1…H2H1)-1=H1H2…Hn-1；

若a=-1，有

這里用矩陣的語言描述和證明例1,簡潔明了、易于接受。為了強調(diào)矩陣與線性變換的關系，加強學生對這種轉換的理解，用線性變換的語言做進一步說明。

定義σ為σ(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)H，由引理2和引理1知，σ為鏡面反射變換，且必有σα0=β0。

再比如2021年復旦大學碩士研究生入學考試高代試題中有如下線性變換的題目。

例3已知復線性空間V上線性變換φ,ψ滿足

φψ-ψφ=φ+ψ,

證明存在V的一組基,使得φ,ψ在這組基下的矩陣都為上三角形。

分析任取空間V的一組基ε1,ε2,…,εn,記線性變換φ,ψ在該基下的矩陣分別為A,B。由引理1，線性變換φ,ψ滿足φψ-ψφ=φ+ψ,當且僅當矩陣A,B滿足AB-BA=A+B；同時，由相似關系的幾何意義(同一線性變換在不同基下的矩陣相似，反之，相似矩陣可以理解為同一線性變換在不同基下的矩陣)知,要證明存在V的一組基,不妨記為e1,e2,…,en，使得φ,ψ在e1,e2,…,en下的矩陣都為上三角形，即要證明矩陣A,B同時相似于三角形矩陣。

于是上述命題等價于如下的矩陣同時相似三角化問題：

例4若復矩陣A,B滿足AB-BA=A+B,則A,B可同時相似于上三角形矩陣。

由結論，要證存在可逆矩陣P,使得P-1AP和P-1BP均為上三角形矩陣，將P按列分塊，不難發(fā)現(xiàn)，滿足條件的矩陣P的第1列必為A,B的公共特征向量。一般地，公共特征向量往往是矩陣同時對角化或三角化問題的突破口，找到公共特征向量，再借助于基的擴充定理和數(shù)學歸納法便可得到結論。

證明首先證A,B有公共特征向量。

令A+B=C，由AB-BA=A+B知AC-CA=C。取矩陣A的實部最大的特征值λ，對應特征向量α1，即Aα1=λα1。在等式AC-CA=C兩端右乘α1，得ACα1=(λ+1)Cα1，于是Cα1=Aα1+Bα1=0，否則λ+1為A的特征值，與λ為A的實部最大的特征值矛盾。從而，Bα1=-Aα1=-λα1，可見α1也是矩陣B的特征向量，對應于特征值-λ。

其次對階數(shù)n做數(shù)學歸納以證明原命題。

當n=1時，顯然成立。假設命題對n-1階矩陣成立，以下考慮n階的情形。

由第一步結論，A,B有公共特征向量α1，且Aα1=λα1,Bα1=-λα1，這里λ為A的實部最大的特征值。將α1擴充成Cn的一組基α1,α2,…,αn，令T=(α1,α2,…,αn)，則T可逆，且

其中A1,B1為n-1階復矩陣。代入條件AB-BA=A+B可得A1B1-B1A1=A1+B1。

注記1事實上，回到例3線性變換的語言，有

于是，令(e1,e2,…,en)=(ε1,ε2,…,εn)P,則必有φ,ψ在基e1,e2,…,en下的矩陣分別為三角陣Λ和Δ。

當然，也可以利用線性變換的思想方法解決許多棘手的矩陣問題，比如矩陣逆及秩的等式及不等式等[5-6]。下面給出關于矩陣特征向量的命題，若僅從矩陣的角度，較難證明，借助于線性變換的概念，可以容易地解決。

例5[1]設n階復矩陣A,B滿足AB=BA，則A,B有公共特征向量。

用線性變換的語言描述：

例6設V是復數(shù)域上的n維線性空間，σ,τ是V上的線性變換，且στ=τσ，證明σ,τ至少有一個公共特征向量。

證明先證若λ是線性變換σ的特征值, 則Vλ={ξ|σξ=λξ}是線性變換τ的不變子空間。事實上, ?ξ∈Vλ,由σ(τξ)=τσξ=λ(τξ)知τξ∈Vλ。

下證σ,τ至少有一個公共特征向量。

注記2在將矩陣的命題與線性變換的命題相互對應和轉換時，要注意基的適當選取。

比如歐氏空間中，正交變換和正交矩陣的對應關系, 對稱(反對稱)變換與對稱(反對稱)矩陣的對應關系等，基必須取空間的標準正交基，因為在非標準正交基下,正交變換的矩陣也可能是非正交的, 且正交陣對應的線性變換也可以不是正交變換。

注記3熟練掌握和靈活運用線性變換與矩陣的對應轉換，要深刻理解矩陣的幾種關系。

1)同一線性變換在不同基下的矩陣相似，反之，相似矩陣必可以看成同一線性變換在不同基下的矩陣，這是矩陣相似關系的幾何意義；

2)實對稱矩陣合同關系的本質是實二次型在非退化的線性替換前后的矩陣之間的關系，也是同一歐氏空間中不同基的度量矩陣之間的關系。

2 結論

線性空間與線性變換是幾何結論，矩陣是代數(shù)方法。V與Pn及L(V)與Pn×n的同構映射架起了幾何直觀和代數(shù)方法的橋梁。在高等代數(shù)的教學過程中，需要著意強化和反復體現(xiàn)這一重要的數(shù)學思想方法，引導學生靈活切換，熟練地用矩陣技巧解決線性變換問題，同時從線性變換觀點思考某些矩陣問題。

除同構外，高等代數(shù)中還蘊含著許多其他豐富精妙的數(shù)學思想，比如等價分類思想、數(shù)形結合思想等。在教學過程中，要不斷總結、強調(diào)和應用這些思想方法，潤物無聲地提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和思維品質。