0 引言

天氣衍生品是一種金融衍生工具,它的交易對象為各種天氣指數(shù)(如溫度、濕度、降雨量、風(fēng)力等),用來防范或規(guī)避非災(zāi)害性天氣風(fēng)險,減少極端天氣對經(jīng)濟帶來的損害。天氣衍生品最早于1997年出現(xiàn)在美國,是對沖各種不同氣候風(fēng)險的最重要和最受歡迎的金融工具。天氣衍生品在我國屬于新型衍生品,其探索還處于初級階段,國內(nèi)市場沒有可供交易的天氣衍生品,也沒有相應(yīng)的衍生品交易市場。HAMILTON J D[1]引入了一種用于股票價格動態(tài)特征的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型,并驗證了兩區(qū)域模型可以很好地擬合每月股票的市場收益。HAMILTON J D[2]在1989年論文的基礎(chǔ)上,對離散的時間序列進行分析,并介紹了EM (expectation-maximization)算法,用于得到離散自回歸參數(shù)的最大似然估計。ELIAS R S等[3]等則首次討論了氣溫的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型的基本原理,并研究了用區(qū)域轉(zhuǎn)換方法建立加拿大多倫多市的溫度動力學(xué)模型。嚴佳慧[4]選取了兩個經(jīng)典的溫度模型,基于中國5個典型城市的溫度數(shù)據(jù)對天氣衍生品進行了定價,并分析比較了兩種模型的差異。

本文主要探討基于鄭州市日平均氣溫的定價問題,從實證角度探討適用于描述鄭州市氣溫數(shù)據(jù)的模型,更準確地為天氣衍生品定價,從而能夠應(yīng)用天氣衍生品市場有效管理天氣風(fēng)險。

1 數(shù)據(jù)與模型建立

1.1 數(shù)據(jù)來源與描述

氣溫是天氣衍生品交易中使用最廣泛的天氣指數(shù),關(guān)于氣溫常見的指數(shù)有取暖指數(shù)HDD(heating degree day)和制冷指數(shù)CDD(cooling degree day)。本文的氣溫數(shù)據(jù)來源于中國天氣網(wǎng),選取2016年7月1日至2020年6月30日河南省最具有代表性的氣象站點——鄭州氣象站的每日最高溫度和最低溫度。為方便計算,去除閏年2月29日的溫度數(shù)據(jù),每年的數(shù)據(jù)按365 d計算,樣本數(shù)量為1 460個,即時間t=1,2,…,1 460。

定義1日平均溫度

其中T(t)max與T(t)min分別為日最高氣溫與日最低氣溫。

定義2第1天到第N天的累計取暖指數(shù)

(1)

定義3第1天到第N天的累計制冷指數(shù)

(2)

其中,K是基準溫度,取K=18 ℃或65 °F。

利用MATLAB R2020b軟件對1 460項氣溫數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析(表1)。為了能夠更加準確地描述溫度動態(tài)過程,考察鄭州市的日平均氣溫殘差[5]。

表1 鄭州市日平均氣溫的描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)Tab.1 Descriptive statistics of daily average temperature in Zhengzhou

在t時刻,假設(shè)日平均氣溫的變化過程可以表示為

yt=T(t)-S(t)，

(3)

其中，周期性和趨勢性的函數(shù)S(t)可描述為

(4)

為了對氣溫過程進行模擬,用非線性最小二乘法對式(4)進行擬合獲得參數(shù),如表2所示。

表2 周期性和趨勢性的函數(shù)S(t)的參數(shù)擬合值Tab.2 Parameter fit values for the periodic and trending function S(t)

1.2 氣溫殘差模型建立

馬爾可夫區(qū)域轉(zhuǎn)換模型是一個通過隱變量控制的、在多個隨機過程中隨機轉(zhuǎn)換的馬爾可夫過程。假定存在2個區(qū)域變化,則馬爾可夫過程轉(zhuǎn)移概率矩陣為

其中,轉(zhuǎn)移概率pij具有性質(zhì)

對日平均氣溫殘差yt建立以下3種不同的兩區(qū)域轉(zhuǎn)換模型和1種單個均值回復(fù)模型,并檢驗這些模型對真實數(shù)據(jù)的擬合效果。

模型1一個均值回復(fù)和一個布朗運動模型，

其中，yt,1和yt,2分別表示在區(qū)域1和區(qū)域2的每日平均氣溫殘差,β1∈R且表示均值回復(fù)速度,μ1和μ2分別表示均值回復(fù)和布朗運動的均值,σ1和σ2分別表示均值回復(fù)和布朗運動的波動率,Wt是維納過程。

模型2兩個均值回復(fù)模型，

其中，β1，β2∈R分別表示區(qū)域1和區(qū)域2的均值回復(fù)速度,μ1和μ2分別表示均值回復(fù)區(qū)域1和區(qū)域2的均值,σ1和σ2分別表示均值回復(fù)區(qū)域1和區(qū)域2的波動率,Wt是維納過程。

模型3兩個布朗運動模型，

其中，μ1和μ2分別表示布朗運動區(qū)域1和區(qū)域2的均值,σ1和σ2分別表示布朗運動區(qū)域1和區(qū)域2的波動率,Wt是維納過程。

模型4單區(qū)域均值回復(fù)模型，

dyt=β(μ-yt)dt+σdWt。

(5)

其中，β∈R表示均值回復(fù)的速度,μ表示均值回復(fù)的均值,σ表示均值回復(fù)的波動率,Wt是維納過程。

2 研究方法和實證分析

2.1 馬爾可夫區(qū)域轉(zhuǎn)換模型參數(shù)估計

本文主要研究具有兩個區(qū)域的馬爾可夫區(qū)域轉(zhuǎn)換模型。由于事先不知道觀測數(shù)據(jù)位于哪個區(qū)域,不能直接利用傳統(tǒng)的極大似然方法估計參數(shù),采用EM算法對高斯混合模型的參數(shù)進行估計[6]。

對于模型1,離散化得到

其中，εt,1和εt,2分別為區(qū)域1和區(qū)域2獨立同分布的標準正態(tài)分布。

假設(shè)yt,t=1,2,…,N為獨立同分布的觀測數(shù)據(jù),其聯(lián)合分布為f(yt;θ),θ={θ1,θ2},θ1={β1,μ1,σ1,π1,p11},θ2={μ2,σ2,π2,p22},φ(yt;θ1)和φ(yt;θ2)是高斯概率密度函數(shù),π1,π2≥0分別為yt在時刻t位于區(qū)域1和區(qū)域2的概率,π1+π2=1,則

f(yt;θ)=π1φ(yt;θ1)+π2φ(yt;θ2)。

區(qū)域轉(zhuǎn)換模型中,觀測數(shù)據(jù)yt位于哪個區(qū)域是不可見的。以隱變量zt,k表示數(shù)據(jù)所處的區(qū)域,有

其中，t=1,2,…,N;k=1,2,zt,k是0-1型隨機變量。

得到完全數(shù)據(jù)集(y1,y2,…,yN;z11,x21,z31,…,zN1;z12,z22,…,zN2),以及似然函數(shù)

(E步)在已知觀測數(shù)據(jù)yt和第t次迭代參數(shù)θt下,對完全數(shù)據(jù)的似然函數(shù)取對數(shù),然后再取期望,得到

(6)

求隱變量zt,k的期望,然后再利用貝葉斯公式可得

(M步)求Q函數(shù)對θ的極大值,也就是求第t+1次迭代參數(shù)值

EM 算法重復(fù)上述E步和M步過程,直到參數(shù)收斂為止。

對于模型2以及模型3,應(yīng)用EM算法估計參數(shù)表達式的過程與上述類似，不再詳述。

根據(jù)上述推導(dǎo)出的參數(shù)表達式,使用MATLAB軟件編寫EM算法參數(shù)估計的迭代計算程序并運行得出如表3所示的參數(shù)值結(jié)果。

表3 馬爾可夫區(qū)域轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)估計結(jié)果Tab.3 Parameter values for the Markov regime-switching models

2.2 單區(qū)域均值回復(fù)模型參數(shù)估計

對于單區(qū)域均值回復(fù)模型,為了估計參數(shù)β,μ,σ,離散化式(5)得到

yt=βμ+(1-β)yt-1+σεt，

運用最小二乘法估計出參數(shù)結(jié)果為β=0.335 8,μ=-0.000 9,σ=2.335 8。

2.3 模型對比

對均值回復(fù)過程和布朗運動過程分別利用伊藤引理, 推導(dǎo)出各自區(qū)域的顯式解為

(7)

(8)

結(jié)合(3)式和(7)式、(8)式, 得到模型1的日平均氣溫T(t)的解為

采用蒙特卡羅模擬方法,基于4個模型對鄭州市2020年7月1日至2021年6月30日的日平均氣溫進行預(yù)測。蒙特卡羅模擬方法模擬100 000次后與真實氣溫進行對比分析,如圖1所示。

圖1 模型擬合值比較Fig.1 Comparison of model fitting values

從圖1中并不能明顯看出哪一個模型最優(yōu),因此需要量化比較不同模型的擬合效果。使用MAE(Mean Absolute Error,平均絕對誤差)、MSE(Mean Square Error,均方誤差)、RMSE(Root Mean Squared Error,均方根誤差)、RAE(Relative Absolute Error，相對絕對值誤差)指標進行誤差分析,

得到如表4所示的誤差分析結(jié)果。

表4 不同模型的誤差分析結(jié)果Tab.4 Error analysis results of different models

由表4的誤差分析計算結(jié)果可以看出,模型1的誤差小于其他所有模型的誤差。也就是說,和其他模型相比，模型1預(yù)測的日平均氣溫更接近真實的日平均氣溫數(shù)據(jù),模型1的氣溫模型預(yù)測效果最好。

3 天氣衍生品定價

對比不同基準溫度下期限為3,6,9,12個月的真實和模型1預(yù)測累計指數(shù)值,并計算相對誤差率。在假定氣溫的風(fēng)險市場價格為0的前提下對氣溫衍生品定價,此時氣溫的物理過程恰好是風(fēng)險中性世界中的價格過程。相對誤差率定義為

(9)

使用模型1預(yù)測2020年7月1日至2021年6月30日的日平均氣溫值,并根據(jù)式(1)和(2)編寫MATLAB程序計算各個月份不同基準溫度下的真實和預(yù)測累計指數(shù)值(結(jié)果見表5和表6),并進行氣溫期權(quán)定價。

表5 不同基準溫度下的真實指數(shù)值Tab.5 Actual index value at different baseline temperatures

表6 不同基準溫度下的預(yù)測指數(shù)值Tab.6 Forecast index value at different baseline temperatures

由表5和表6可以得到不同基準溫度下,期限為3,6,9,12個月的真實和預(yù)測累計指數(shù)值,結(jié)果見表7和表8。

表7 不同基準溫度下期限為3,6,9,12個月的真實累計指數(shù)值Tab.7 Actual cumulative index value of 3,6,9,12 months at different baseline temperatures

表8 不同基準溫度下期限為3,6,9,12個月的預(yù)測累計指數(shù)值Tab.8 Forecast cumulative index value of 3,6,9,12 months at different baseline temperatures

根據(jù)式(9)計算不同基準溫度下期限為3,6,9,12個月的真實和預(yù)測累計指數(shù)值的相對誤差率,結(jié)果見表9。

表9 不同基準溫度下期限為3,6,9,12個月的相對誤差率Tab.9 Relative error rate of 3,6,9,12 months at different baseline temperatures

從表7～表9可知,在不同基準溫度下,模型1得到的期限為3,6,9,12個月的預(yù)測累計指數(shù)值均高于真實值；相對誤差率絕對值最大為21.41%,最小為4.88%?？傮w來看,預(yù)測累計指數(shù)值較為接近真實值,這也就是說明模型1的預(yù)測計算結(jié)果精度較高,穩(wěn)定性較好,可以用于氣溫期權(quán)的定價。

假定標的指數(shù)為HDD歐式看漲期權(quán)和CDD歐式看跌期權(quán)的合約,K為執(zhí)行價格,r為無風(fēng)險利率,名義價值為Q,合約時間為〈t1,t2〉,同時假定風(fēng)險中性世界中的風(fēng)險市場價格為 0。此時,HDD歐式看漲期權(quán)和CDD歐式看跌期權(quán)的價格分別按照計算。

cHDD(t1,t2,K)=e-r(t2-t1)×Q×max(HDD-K,0)，

(10)

pCDD(t1,t2,K)=e-r(t2-t1)×Q×max(K-CDD,0)

(11)

表10 不同基準溫度下8月份和12月份的預(yù)測期權(quán)價格的結(jié)果Tab.10 Results of forecast option prices in 8 and 12 months at different baseline temperatures

表10中,在基準溫度為18 ℃ 時,有

從表10可以看出,隨著基準溫度的升高,預(yù)測期權(quán)的價格越來越高,當(dāng)基準溫度為 20 ℃ 時,價格最高,這也說明基準溫度對氣溫期權(quán)價格有顯著影響。

4 結(jié)論

本文基于鄭州市氣溫問題,建立了兩區(qū)域轉(zhuǎn)換模型和單區(qū)域均值回復(fù)模型。模型參數(shù)的估計部分,采用EM算法高斯混合模型對參數(shù)進行估計,然后分別預(yù)測鄭州市2020年7月1日至2021年6月30日的日平均氣溫并與真實氣溫進行對比分析。通過對比發(fā)現(xiàn),使用蒙特卡洛模擬方法模擬100 000次后,一個均值回復(fù)和一個布朗運動模型預(yù)測的日平均氣溫更接近真實的日平均氣溫數(shù)據(jù),區(qū)域轉(zhuǎn)換模型1可以很好地擬合鄭州氣溫的隨機變化。

最后,對于具有一個均值回復(fù)和一個布朗運動的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型，計算了不同基準溫度下期限為3,6,9,12個月的真實數(shù)據(jù)和預(yù)測累計指數(shù)值,并計算其相對誤差率,驗證了模型1預(yù)測的計算結(jié)果精度較高,穩(wěn)定性較好。此外，還進行了不同基準溫度下的定價研究。

實證分析結(jié)果也驗證了ELIAS R S等[3]的結(jié)果：一個均值回復(fù)和一個布朗運動的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型，是一個適用于描述氣溫隨機特征的有效的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型。但是同時說明,由于全球氣候的多樣性,區(qū)域轉(zhuǎn)換模型不一定就是唯一的最優(yōu)模型。對不同城市進行天氣衍生品的定價，需要根據(jù)當(dāng)?shù)貧鉁財?shù)據(jù)進行實證分析研究,建立描述不同城市或者地區(qū)氣候特征的準確的氣溫模型。