郭繁華 楊潔

【摘要】本文通過設(shè)置“變式題組”，形成“問題串”，由淺入深，從特殊到一般地逐步啟發(fā)學(xué)生思考，探求點(diǎn)到直線的距離公式.使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，經(jīng)歷思維的發(fā)展過程，體驗(yàn)問題的探究過程以及體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法.

【關(guān)鍵詞】變式題組;問題串;數(shù)學(xué)體驗(yàn)

《開發(fā)教材變式資源優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)體驗(yàn)的行動(dòng)研究》是2018年貴州省立項(xiàng)課題，本課題是從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景結(jié)合知識(shí)特點(diǎn)及學(xué)生的認(rèn)知水平對(duì)教材中的基本概念、典型例題、習(xí)題等通過挖掘變式，暴露問題本質(zhì)特征，展示知識(shí)的發(fā)生過程，促進(jìn)知識(shí)的遷移，揭示不同知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，探索解題方法與技巧，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，經(jīng)歷思維發(fā)展過程，讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感受、情感、理解、聯(lián)想、領(lǐng)悟、等復(fù)雜的心理活動(dòng)，從而不斷獲得新知、提高能力，發(fā)展核心素養(yǎng).在課題研究的過程中，課題組成員開展了系列研討活動(dòng)，現(xiàn)將《點(diǎn)到直線的距離》教學(xué)設(shè)計(jì)及數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析如下.

1 內(nèi)容分析

本節(jié)課是從初中平面幾何的定性作圖向高中解析幾何定量計(jì)算的過渡.點(diǎn)到直線的距離公式是解析幾何后續(xù)學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ)工具，屬于概念性知識(shí).從本章的安排來看，點(diǎn)到直線的距離公式可以看做兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，由它還可以得到兩條平行線間的距離，因此無論從知識(shí)結(jié)構(gòu)還是從教材內(nèi)容的安排來看它都起著承上啟下的作用，它是《直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式》這一單元的核心內(nèi)容;從課型來說，應(yīng)該屬于“問題教學(xué)”[1];從思想方法來看，本節(jié)課蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等豐富的數(shù)學(xué)思想.

2 目標(biāo)與目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo) （1）了解點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法.（2）掌握點(diǎn)到直線距離公式，并能靈活應(yīng)用.（3）體會(huì)數(shù)學(xué)思想與方法，如化歸思想、數(shù)形結(jié)合、解析法、等面積法等，進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)體驗(yàn).

目標(biāo)解析 （1）能把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題;或受兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)能構(gòu)建直角三角形，利用等面積法得出點(diǎn)到直線的距離公式.（2）熟練點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)特征，能靈活應(yīng)用公式解決相關(guān)問題.（3）通過點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)方法，利用兩種思路體會(huì)化歸思想及數(shù)形結(jié)合的思想;特別是參與思路二的解答過程，體會(huì)用代數(shù)運(yùn)算解決幾何圖形問題的方法及等面積法，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn).

3 教學(xué)問題診斷

在教學(xué)中可能遇到的問題是，選擇何種方法得到點(diǎn)到直線的距離公式？如何引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的方法得到公式？點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)的方法很多，大致有兩類，一類是易想到但不易算，另一類是易算卻不易想到.教學(xué)要兼顧這兩方面，更要從中選擇能較好體現(xiàn)解析法思想的方法.既不能為講方法而講方法，方法越多越好，也不能為了得到公式急于求成，將教師的方法強(qiáng)加給學(xué)生.因此，實(shí)際教學(xué)中既要給學(xué)生選擇方法的機(jī)會(huì)，又要引導(dǎo)學(xué)生聚焦在既可行的又能較好體現(xiàn)解析法思想的方法上.教學(xué)中遇到困難，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)算，耐心求解，幫助學(xué)生成功得到距離公式.

4 重難點(diǎn)

選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ茖?dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式及應(yīng)用

5 教學(xué)方式

啟發(fā)式教學(xué)

6 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1 （導(dǎo)學(xué)案講解與復(fù)習(xí)提問）（1）我們已經(jīng)學(xué)過了兩點(diǎn)間的距離公式，公式是什么？ （2）我們學(xué)過哪些求距離的方法？分別是什么？

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，并歸納已學(xué)的求距離的方法.

設(shè)計(jì)意圖 幫助大部分學(xué)生鞏固、理解和歸納基礎(chǔ)知識(shí)，給后面的課程鋪墊，促使學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)的歸納梳理.

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 聯(lián)想到利用向量法求距離，以及解析幾何常用的坐標(biāo)法;利用向量法求距離學(xué)生印象深刻，但學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法不熟悉.

環(huán)節(jié)2 （新知導(dǎo)入）你認(rèn)為什么是點(diǎn)到直線的距離？（點(diǎn)到線的垂線段長(zhǎng)）

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 提出問題，引導(dǎo)學(xué)生得出點(diǎn)到直線距離定義

設(shè)計(jì)意圖 通過圖展示及學(xué)生的參與強(qiáng)化定義，給后面課程的推進(jìn)作鋪墊

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 從點(diǎn)到直線的距離——點(diǎn)到線的垂線段——點(diǎn)與點(diǎn)的距離.

環(huán)節(jié)3 （試一試）問題 求點(diǎn)P（2，2）到x軸的距離？

變式1 求點(diǎn)P（2，2）到直線l1：y=0的距離？

變式2求點(diǎn)P（2，2）到直線l2：y=-1的距離？

變式3 求點(diǎn)P（2，2）到直線l3：x=2的距離？

變式4將直線l3：x=2繞點(diǎn)（2，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到l4，求點(diǎn)P（2，2）到l4的距離？

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 提出問題，引導(dǎo)學(xué)生從易到難，從特殊到一般，探求解法.組織學(xué)生在獨(dú)立思考、小組討論的基礎(chǔ)上講出自己的思路，由學(xué)生講解，并適時(shí)予以肯定與引導(dǎo).通過師生互動(dòng)演示思路圖，幫助學(xué)生梳理思路.

設(shè)計(jì)意圖 通過變式培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考與語言表達(dá)能力、一題多解的能力，優(yōu)化學(xué)生的思維;培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)、創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 從解題活動(dòng)中經(jīng)歷了從易到難，由淺入深，體驗(yàn)了從特殊到一般，體會(huì)了坐標(biāo)法，堅(jiān)定解題意志.

環(huán)節(jié)4 （公式推導(dǎo)）求點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0、B≠0）的距離.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 在學(xué)生對(duì)變式4解決的基礎(chǔ)上，對(duì)問題進(jìn)行拓展;引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)升華探求點(diǎn)到直線的距離的思路和方法;師生一起解決問題.

思路1 利用兩點(diǎn)間距離公式

①求垂線方程②求交點(diǎn)坐標(biāo) ③求兩點(diǎn)間的距離

思路2 構(gòu)造直角三角形求其高

利用兩點(diǎn)間距離公式求P0R、P0S及RS，

再根據(jù)等面積法得

因?yàn)閐·|RS|=|P0R|·|P0S|，

所以d=|P0R|·|P0S||RS|=|Ax0+By0+C|A2+B2

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)變式4進(jìn)行拓展，檢查學(xué)生對(duì)問題一實(shí)質(zhì)的理解和掌握;使學(xué)生體會(huì)解決問題的方法：從特殊到一般;提高學(xué)生的歸納概括提煉升華的能力;強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)體驗(yàn).

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，經(jīng)歷思維的發(fā)展過程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過，體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理過程，體會(huì)坐標(biāo)法、等面積法.

環(huán)節(jié)5 總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、適用范圍和使用時(shí)的注意事項(xiàng)（直線方程化為一般式）.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所求公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、適用范圍和使用時(shí)需要注意的地方，與學(xué)生一起將所發(fā)現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，形成結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)習(xí)運(yùn)用前加深公式的記憶，為后面的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ);培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，逐步學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)歸納和總結(jié).

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 通過觀察活動(dòng)體驗(yàn)，了解公式的基本結(jié)構(gòu)特征，適用范圍和使用時(shí)需要注意的地方，加深公式中字母的含義，通過歸納總結(jié)，體驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)性.

環(huán)節(jié)6 （公式應(yīng)用）例 若A（1，3），B（3，1），C（-1，0），（1）求AB邊所在的直線方程，（2）求點(diǎn) C到AB邊的距離，（3）求△ABC的面積.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 給出問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解決問題;學(xué)生上黑板展示;演示課件，從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)驗(yàn)證問題;組織學(xué)生討論是否還有其它解決方法？

設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生進(jìn)一步理解和鞏固公式記憶，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力，總結(jié)升華收獲解決問題的方法，演示課件增強(qiáng)學(xué)生的直觀思維.

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 通過解題活動(dòng)體驗(yàn)公式的具體應(yīng)用，在應(yīng)用中體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理以及用代數(shù)方法解決幾何問題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

環(huán)節(jié)7 （訓(xùn)練）（1）求下列點(diǎn)到直線的距離：（1）A（-2，3），l：3x+4y+3=0 （2） B（1，0），l：3x+y-3=0

（2）求過點(diǎn)（0，2），且與原點(diǎn)距離為2的直線方程.

變式 已知直線l2： x+y+4=0，且點(diǎn)A（a，6）在直線l1： x+y+1=0上，（1）求點(diǎn)A（a，6）到l2的距離，（2）求直線l1與直線l2的距離.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 給出題組，組織學(xué)生獨(dú)立解決問題，并隨機(jī)抽查;引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題解決后的反思與升華;進(jìn)一步變化題目提出問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法;通過變式由點(diǎn)線距離過渡到線線距離，引導(dǎo)學(xué)生探究變式問題，自然過渡到下節(jié)課內(nèi)容，激發(fā)求知欲.

設(shè)計(jì)意圖 把新知與就知結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力;加大學(xué)生思維的力度，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力;通過變式由點(diǎn)線距離過渡到線線距離，自然過渡到下節(jié)課內(nèi)容，激發(fā)求知欲.

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 通過解題活動(dòng)、反思解題過程、探究活動(dòng)體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法及坐標(biāo)法.

環(huán)節(jié)8（小結(jié)）（1）知識(shí)點(diǎn)：公式的適用范圍;（2）思想方法：由化歸思想、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、等面積法等;（3）注意事項(xiàng)：使用公式前，直線的方程必須化為一般式.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè) 組織學(xué)生進(jìn)行小結(jié)，由部分學(xué)生發(fā)言，教師補(bǔ)充，指導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)系統(tǒng).

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，體會(huì)其中的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)、動(dòng)手能力、表達(dá)能力.

數(shù)學(xué)體驗(yàn)分析 進(jìn)一步梳理了本節(jié)課的知識(shí)，理順?biāo)悸?，感受到了?shù)學(xué)化歸思想、坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合、等面積法等方法的妙處.

7 教學(xué)反思

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）課程目標(biāo)中提出“通過教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步獲得學(xué)習(xí)必需的知識(shí)、技能、思想與經(jīng)驗(yàn);從而提高四能[2].” 然而相對(duì)于顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)而言， 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)者親歷特定數(shù)學(xué)活動(dòng)場(chǎng)景時(shí)的特定心理體驗(yàn)， 滲透著那些不可言喻的、下意識(shí)或潛意識(shí)的個(gè)人感受， 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者而言是發(fā)自內(nèi)心的、有生命力和有生成力的[3].

為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)體驗(yàn)，本節(jié)課筆者首先安排了四個(gè)變式，即從求點(diǎn)到直線的距離的特殊到一般，為探索點(diǎn)到直線的距離公式做了有效鋪墊，讓學(xué)生經(jīng)歷探究、交流、解題和思考等過程;公式推導(dǎo)給予學(xué)生思考，讓學(xué)生充分的想與說，引導(dǎo)學(xué)生自己導(dǎo)出公式，把課堂變成學(xué)生親歷思維和實(shí)踐活動(dòng)的主戰(zhàn)場(chǎng).在此過程中，讓學(xué)生親身體會(huì)公式的由來，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)法及等面積法，體會(huì)成功的喜悅，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生知識(shí)與能力的發(fā)展都能得到保證.

課堂練習(xí)環(huán)節(jié)筆者也安排了一個(gè)變式，即由點(diǎn)線距離過渡到線線距離，此變式既是本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的深化理解也是為下一節(jié)課做有效鋪墊.

【本文系2018年貴州省教育科學(xué)規(guī)劃一般課題《開發(fā)教材變式資源優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)體驗(yàn)的行動(dòng)研究》（課題編號(hào)2018B168）的階段性研究成果.】

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