林惠娜, 何 莉

(廣州大學數(shù)學與信息科學學院,510006,廣東省廣州市)

0 引言及預備知識

對任意f∈H(n),定義H(n) 上f關于z的徑向導數(shù)

令dσ是n上的正規(guī)化面積測度,σ(n)=1. 令dv是n上的體積測度.對t>-1,令dvt(z)=ct(1-|z|2)tdv(z),其中ct是正規(guī)化的常數(shù),使vt(n)=1. 當0

的全體可測函數(shù)所成空間.Lp(n,dvt)是由n上滿足條件

的全體全純函數(shù)所成空間. 對任意的ζ∈n,f∈H2,有進一步,f(ζ)∈L2(n,dσ),因此,H2上內積及其誘導范數(shù)分別為

對β∈,定義單位球上的 Hardy-Sobolev 空間

命題1[5]設β∈和f∈H(n)，則下列條件等價:

進一步,如果N是大于β的非負整數(shù),則上述條件還等價于

記

假設φ為n上二階連續(xù)可微的函數(shù),對一切1≤i,j≤n,若在n上滿足則稱φ為多重調和函數(shù). 記多重調和 Hardy-Sobolev 空間是由Sobolev空間中所有的多重調和函數(shù)所成空間,則眾所周知,n上的實值函數(shù)是多重調和的當且僅當該函數(shù)為n上全純函數(shù)的實部. 因此,任意多重調和函數(shù)可唯一分解為其中對其中定義的范數(shù)為更多細節(jié)見文獻 [10].

從下文起,除非特別申明,將設β<0,且將對 Hardy-Sobolev 空間的研究轉化為加權 Bergman 空間.

其中dv-2β-1(z)=c-2β-1(1-|z|2)-2β-1dv(z)為n上正規(guī)化的體積測度.令表示從到的正交投影.

設z=(z1,…,zn),w=(w1,…,wn) 是n中的任意兩點,記則

其中函數(shù)Bf稱為f的 Berezin 變換,詳見文獻 [11].

1 Hardy-Sobolev 空間上的 Toeplitz 算子

命題4設f和g是n上的有界多重調和函數(shù). 若f是共軛全純函數(shù)且fg在n上是實值的,則在上,

由于g是n上的有界多重調和函數(shù),因此存在全純函數(shù)g1和g2,使得所以

又因為

結合以上兩個結論,不難得到以下推論.

事實上,還可以得到以下結果.

證明若在n上,f≡0 a.e. 或者f≡1 a.e.,則是上的投影算子. 反之,若 Toeplitz 算子則在n上,f=1 a.e.. 若 Toeplitz 算子則存在非零函數(shù)為的核. 直接計算可知,

因此對z∈n,f(z)|h(z)|2=0 a.e..因為所以在n上,f=0 a.e..

2 Hardy-Sobolev 空間上的算子乘積

定理12設f和g是n上連續(xù)到邊界的多重調和函數(shù). 如果下列條件之一成立,則是投影算子.

定理13設f和g是n上有界多重調和函數(shù). 如果下列條件之一成立,則是自伴算子.

證明若在n上,f是共軛全純的且fg是實值函數(shù),則

猜想14 設f和g是n上有界多重調和函數(shù). 如果是自伴算子,則下列條件之一成立.

由文獻[7]可知,猜想 14 對于n=1是成立的,盡管暫時無法完全證明這個猜想,仍可得到部分結果.

引理15設u是n上的二階連續(xù)可微函數(shù),u和屬于L1(n,dvt), 則

同理可得

通過比較上面兩個等式,可得

結合引理 15,并將不變 Laplace 算子作用于上式兩邊可得

由文獻 [13] 可知,

是有界的. 因此

這說明對 ?z,w∈n,

本文僅推導到這里,后續(xù)工作仍在考慮當中.

(b) 對z∈