包琪瑤， 韓德廣， 劉 銳

(①南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,300071,天津市,中國(guó); ②中佛羅里達(dá)大學(xué)理學(xué)院,佛羅里達(dá)州，美國(guó))

0 引 言

我們知道作用在Banach空間上的未必完全有界的算子值測(cè)度的一般擴(kuò)張理論[1]可以自然地推廣到作用在Banach代數(shù)和Banach空間上的有界線性映射,這可以看作是對(duì)算子值測(cè)度擴(kuò)張的非交換情形的類比.由Casazza,Han和Larson[2]提出的框架的一般擴(kuò)張定理指出,即使對(duì)于一個(gè)Hilbert空間,每一個(gè)框架可以有本質(zhì)上非Hilbert的基擴(kuò)張,一般情況下其擴(kuò)張空間必須是Banach空間.這被看作是關(guān)于正算子值測(cè)度的著名的Naimark擴(kuò)張理論[3-5]的真正推廣.一方面,我們?cè)诳蚣芾碚摵退阕又禍y(cè)度的擴(kuò)張之間建立了一些有趣的聯(lián)系[1,6-8],另一方面在有界線性映射和von Neumann代數(shù)之間也建立了聯(lián)系.我們知道未必完全有界的任意算子值測(cè)度總可以擴(kuò)張為作用在Banach空間上的冪等的投影值測(cè)度. 更一般地,每一個(gè)作用在Banach代數(shù)上的有界線性映射有一個(gè)作用在Banach空間上的有界同態(tài)擴(kuò)張,這里有界線性映射不需要是完全有界的,而且擴(kuò)張空間通常需要是Banach空間,即使底層空間是Hilbert空間,底層代數(shù)是von Neumann代數(shù).因此,任意有界線性映射的有界同態(tài)擴(kuò)張理論真正推廣了Stinespring擴(kuò)張定理[5,9].對(duì)于更一般的Banach代數(shù)和Banach空間,基于他們的擴(kuò)張性質(zhì)可以建立有界線性映射的某種分類理論.代數(shù)擴(kuò)張的擴(kuò)張空間和擴(kuò)張范數(shù)一般來(lái)說(shuō)不是唯一的.因此,基于擴(kuò)張空間和擴(kuò)張范數(shù)的有界線性映射的分類涉及到某種結(jié)構(gòu)理論,而在這種結(jié)構(gòu)理論中完全有界映射屬于特殊的一類.

本文在第1部分給出作用在一般向量空間上的線性映射的代數(shù)同態(tài)擴(kuò)張分類的幾個(gè)結(jié)構(gòu)性結(jié)果.通過(guò)介紹典則擴(kuò)張和萬(wàn)有擴(kuò)張這兩種自然的擴(kuò)張結(jié)構(gòu),證明了所有的不可約擴(kuò)張等價(jià)于典則擴(kuò)張,而且每一個(gè)線性極小擴(kuò)張等價(jià)于萬(wàn)有擴(kuò)張的一個(gè)約化擴(kuò)張.我們通過(guò)萬(wàn)有擴(kuò)張的合成算子的核中的伴隨約化子空間給出所有擴(kuò)張的主要分類結(jié)果,并提供一些例子來(lái)說(shuō)明代數(shù)擴(kuò)張理論的復(fù)雜性和豐富的結(jié)構(gòu).第2部分從Stinespring擴(kuò)張出發(fā),介紹了C*-代數(shù)上完全有界線性映射的刻畫,并通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明即使對(duì)交換的純?cè)拥膙on Neumann代數(shù)也存在沒有Hilbert擴(kuò)張的情況.

1 同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)

1.1 本原和萬(wàn)有擴(kuò)張

一個(gè)線性系統(tǒng)是一個(gè)三元組(φ,A,V)使得φ是一個(gè)從含幺元代數(shù)A到L(V)的保幺元線性映射,其中V是一個(gè)向量空間且L(V)表示從V到V的所有線性映射.在A很好理解的情況下,通常從記號(hào)中省略.

定義1.1[10]一個(gè)線性系統(tǒng)(φ,V)的同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)是一個(gè)從A到線性算子空間L(W)的保幺元同態(tài)π(對(duì)某向量空間W),且存在一個(gè)單射的線性映射T:V→W和一個(gè)滿射的線性映射S:W→V使得對(duì)?a∈A,如下交換圖成立，

即φ(a)=Sπ(a)T,?a∈A.

我們用(π,S,T,W)來(lái)表示這個(gè)同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng),W的維數(shù)稱為同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)(π,S,T,W)的擴(kuò)張維數(shù).稱T為擴(kuò)張系統(tǒng)的分解算子,S為合成算子.如果ker(S)包含一個(gè)非零的π-不變子空間,則稱(π,S,T,W)是可約的,否則稱它為不可約的.

定義1.2[10]一個(gè)線性系統(tǒng)(φ,V)的同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)(π,S,T,W)稱為線性極小的,如果span{π(A)TV}=W.如果它既是線性極小的又是不可約的,則稱為一個(gè)本原擴(kuò)張.

令(π,S,T,W)為一個(gè)同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng).通過(guò)以span{π(A)TV}代替W,則得到一個(gè)線性極小擴(kuò)張.在下面的內(nèi)容中我們只關(guān)注線性極小擴(kuò)張.

下面給出典則擴(kuò)張[1]和萬(wàn)有擴(kuò)張[10]的構(gòu)造,它們對(duì)擴(kuò)張的結(jié)構(gòu)理論至關(guān)重要.

令(φ,A,V)為一個(gè)線性系統(tǒng).對(duì)于a∈A,x∈V,由αa,x(·):=φ(·a)x定義αa,x∈L(A,V).令

W:=span{αa,x:a∈A,x∈V}?L(A,V).

由πc(a)(αb,x):=αab,x定義πc:A→L(W),則πc是一個(gè)保幺元同態(tài).對(duì)x∈V，由Tx:=αI,x=φ(·I)x=φ(·)x定義T:V→L(A,V).通過(guò)令S(αa,x):=φ(a)x且線性延拓到W，定義S:W→W.如果a∈A,x∈V是任意的,則有

Sπc(a)Tx=Sπc(a)αI,x=Sαa,x=φ(a)x,

因此對(duì)?a∈A,有φ(a)=Sπc(a)T.因此(πc,S,T,W)是(φ,V)的一個(gè)同態(tài)擴(kuò)張,稱它為(φ,V)的典則擴(kuò)張.

命題1.3[10]一個(gè)線性系統(tǒng)(φ,A,V)的典則擴(kuò)張是一個(gè)本原擴(kuò)張.

注意到對(duì)于一個(gè)有限維系統(tǒng)(φ,A,V)的任意線性極小擴(kuò)張(π,S,T,W),總有

dimW≤(dim A)(dimV).

下面給出一個(gè)有極大擴(kuò)張維數(shù)(dim A)(dimV)的線性極小擴(kuò)張的構(gòu)造.

令W=A ?V.定義πu:A→L(W),T:V→W和S:W→V分別由

Tx=I?x，

給出，那么πu是一個(gè)同態(tài)且對(duì)?x∈V和?a∈A，有

Sπu(a)Tx=Sπu(a)(I?x)=S(a?x)=φ(a)x，

因此(πu,S,T,W)是(φ,V)的一個(gè)同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng).另外,由于πu(a)Tx=a?x,有

span{πu(a)Tx:a∈A,x∈V}=W，

因此(πu,S,T,W)是一個(gè)線性極小擴(kuò)張系統(tǒng)且具有性質(zhì)dimW=(dim A)(dimV).

定義1.4[10]以上構(gòu)造的擴(kuò)張(πu,S,T,W)稱為(φ,V)的萬(wàn)有擴(kuò)張.

1.2 結(jié)構(gòu)定理

在這一部分給出關(guān)于所有線性極小同態(tài)擴(kuò)張分類的主要結(jié)果.

定義1.5[10]令(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)為線性系統(tǒng)(φ,V)的兩個(gè)線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng).如果存在一個(gè)雙射的線性映射R:W1→W2使得RT1=T2,S2R=S1且π1(a)=R-1π2(a)R對(duì)?a∈A,則稱這兩個(gè)同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)是等價(jià)的.

以下定理說(shuō)明所有的本原同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)是等價(jià)的.

定理1.6[10]如果(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)是(φ,A,V)的兩個(gè)本原同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng),那么(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)是等價(jià)的.

下面的定理說(shuō)明萬(wàn)有擴(kuò)張實(shí)際上是“最大的”擴(kuò)張系統(tǒng).

定理1.7[10]一個(gè)線性系統(tǒng)(φ,V)的任意線性極小同態(tài)擴(kuò)張等價(jià)于它的萬(wàn)有擴(kuò)張的一個(gè)約化同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng).

為了對(duì)線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)進(jìn)行分類介紹以下定義.

定義1.8[10]對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)(φ,V)，令(πu,S,T,W)為萬(wàn)有擴(kuò)張系統(tǒng)且(π1,S1,T1,W1)為一個(gè)線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)，稱πu-不變子空間

為伴隨于(π1,S1,T1,W1)的約化子空間.

對(duì)于一個(gè)給出的線性系統(tǒng),以下定理給出了它的所有線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)的分類.

定理1.9[10]令K1和K2分別為伴隨于極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)的約化子空間.那么這兩個(gè)同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)是等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)K1=K2.

后面的例子表明即使是在有限維的情形(即dimV<∞,dim A<∞)也會(huì)存在無(wú)窮多不等價(jià)的線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng).

我們給出一個(gè)與擴(kuò)張理論相關(guān)的較弱版本的等價(jià)[10]:如果(π1,S1,T1,W1)為線性系統(tǒng)(φ,V)的線性極小擴(kuò)張系統(tǒng),π2是從A到L(W2)的一個(gè)同態(tài)使得π1和π2在通常意義下是等價(jià)的,即π1(a)=R-1π2(a)R(?a∈A)對(duì)某同態(tài)R:W1→W2,那么 (π2,S2,T2,W2)是一個(gè)等價(jià)的擴(kuò)張系統(tǒng)且S2=S1R-1,T2=RT1.

下面介紹約化不變子空間的等價(jià)概念,給出線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)的同態(tài)π1和π2等價(jià)的條件.

定義1.10[10]令(πu,S,T,W)為線性系統(tǒng)(φ,V)的萬(wàn)有擴(kuò)張系統(tǒng). ker(S)的兩個(gè)πu-不變子空間K1和K2稱為強(qiáng)同構(gòu)的,如果存在一個(gè)同構(gòu)R:W→W使得R(K1)=K2，且對(duì) ?a∈A和?w∈W，πu(a)Rw-Rπu(a)w∈K2，即對(duì)?a∈Aπu(a)的商映射和R在W/K2上可交換.

定理1.11[10]令K1和K2分別為線性極小同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)的約化子空間，那么π1和π2是等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)K1和K2是強(qiáng)同構(gòu)的.

證明由定理1.7,可以假設(shè)(πi,Si,Ti,Wi)是伴隨于Ki(i=1,2)的萬(wàn)有擴(kuò)張的約化同態(tài)擴(kuò)張.

類似地,有

定理1.9和定理1.11給出了線性極小同態(tài)擴(kuò)張的兩種分類,基于由S(a?x)=φ(a)定義的映射S:A?V→V的核中的萬(wàn)有擴(kuò)張不變子空間.下面通過(guò)構(gòu)造一些具體的例子來(lái)說(shuō)明代數(shù)擴(kuò)張理論的復(fù)雜性和豐富的結(jié)構(gòu).

令

那么M是包含在ker(S)中的最大的πu-不變子空間.因此,由定理1.6可知萬(wàn)有同態(tài)擴(kuò)張等價(jià)于本原擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)M={0}.另外可得以下結(jié)論.

命題1.12[10]一個(gè)線性系統(tǒng)(φ,V)只有線性極小同態(tài)擴(kuò)張的一個(gè)等價(jià)類當(dāng)且僅當(dāng)M={0}.

推論1.13[10]令(φ,A,V)為一個(gè)線性系統(tǒng).如果ker(φ)包含一個(gè)真左理想,那么萬(wàn)有擴(kuò)張不等價(jià)于它的本原擴(kuò)張.

推論1.14[10]令(φ,A,V)為一個(gè)線性系統(tǒng)使得dim(V)=1,那么它的萬(wàn)有擴(kuò)張和本原擴(kuò)張是等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)ker(φ)不包含任意真左理想.

為了確定同態(tài)擴(kuò)張的其余等價(jià)類,首先需要確定ker(Su)中的所有πu-不變子空間.注意到 ker(Su)=span{e2,e4,e5},易證其極大πu-不變子空間是span{e2,e4},且span{e2,e4}的任意一維子空間也是πu-不變的.因此,由定理1.9可知4維同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)只有一個(gè)等價(jià)類,5維同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)有無(wú)窮多不等價(jià)類.

同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)的4維等價(jià)類由(π4,S4,T4,4)表示,由如下給出

伴隨于πu-不變子空間K1=span{e2}和K2=span{e4}的兩類同態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)分別由(π5,1,S5,1,T5,1,5)和(π5,2,S5,2,T5,2,5)表示,由如下給出

對(duì)于三角矩陣的轉(zhuǎn)置映射,情況大不相同.下面給出在T2和T3上轉(zhuǎn)置映射的情況.

例1.16[10](ⅰ)令τ:T2→2為轉(zhuǎn)置映射.那么萬(wàn)有擴(kuò)張系統(tǒng)由

典則擴(kuò)張系統(tǒng)由

另外,有ker(Su)=span{e2-e6,e3,e4,e5}.

在ker(Su)中,極大πu-不變子空間是M=span{e4,e5},且對(duì)任意給出的α,β,一維子空間Kα,β=span{αe4+βe5}是πu-不變子空間,所以再次表明存在5維擴(kuò)張的無(wú)窮多不等價(jià)類.對(duì)應(yīng)于K1,0和K0,1的2個(gè)特殊情形表示如下，

(ⅱ)令τ:T3→3為轉(zhuǎn)置映射,則那么典則擴(kuò)張πc:T3→10由

對(duì)于一般矩陣的轉(zhuǎn)置映射,情況如下.

例1.17令τ:2→2為轉(zhuǎn)置映射,則那么萬(wàn)有擴(kuò)張系統(tǒng)表示如下，

因此,ker(Su)=span{e1-e4,e2,e3,e6,e7,e5-e8}.

由于ker(Su)中沒有非平凡πu-不變子空間,故以上公式也給出了典則擴(kuò)張.

例1.18[10]令v:2→2為線性映射

那么有(線性極小)擴(kuò)張π:2→4由

2 C*-代數(shù)上的擴(kuò)張理論

2.1 Hilbert擴(kuò)張

用B(H)表示 Hilbert空間H上所有有界線性算子構(gòu)成的代數(shù).

用Mn(A)表示n×n矩陣的集合,其元素來(lái)自A.Mn(A)的元素由(ai,j)表示.

令A(yù)和B為兩個(gè)C*-代數(shù),φ:A→B為一個(gè)線性映射,通過(guò)φn((ai,j))=(φ(ai,j))，定義φn:Mn(A)→Mn(B).

映射φ稱為正的，如果φ把A中的正元素映為B中的正元素.

映射φ稱為完全正的,如果對(duì)所有的自然數(shù)n，φn是正的.

首先給出幾個(gè)經(jīng)典的擴(kuò)張定理.

定理2.2[5](Sz.-Nagy擴(kuò)張定理) 令T為Hilbert空間H上的一個(gè)收縮算子,那么存在一個(gè)包含H作

為一個(gè)子空間的 Hilbert 空間K和K上的一個(gè)酉算子U使得Tn=PHUn|H.

定理2.3[5](Naimark定理) 令E為X上一個(gè)正則的,正的,B(H)-值測(cè)度,那么存在一個(gè)Hilbert空間K,一個(gè)有界線性算子V:H→K和X上的一個(gè)正則的,自伴的,譜的,B(K)-值測(cè)度F使得E(B)=V*F(B)V.

定理2.4[5](Stinespring擴(kuò)張定理) 令A(yù)為一個(gè)含幺元C*-代數(shù),令H為一個(gè)Hilbert空間,令φ:A→B(H)為一個(gè)完全正映射,那么存在一個(gè)Hilbert空間K,一個(gè)含幺元*-同態(tài)π:A→B(K)和一個(gè)有界算子V:H→K,且‖φ(1)‖=‖V‖2使得φ(a)=V*π(a)V.

很容易證明任意具有形式φ(a)=V*π(a)V的映射是完全正的.因此,Stinespring擴(kuò)張定理刻畫了從任意C*-代數(shù)到任意Hilbert空間中有界線性算子的代數(shù)上的完全正映射.下面從Stinespring擴(kuò)張出發(fā),給出完全有界線性映射的刻畫.

由于M2(A)包含M2的復(fù)制,Hilbert空間K1可以用這樣的方式分解為K1=K ⊕K,*-同態(tài)π1:M2(A)→B(K ⊕K)具有形式

其中π:A→B(K)是一個(gè)含幺元*-同態(tài).因此,有V:H ⊕H→K ⊕K是一個(gè)等距,且

對(duì)?h∈H,有

證畢.

對(duì)于任意有界線性映射的有界同態(tài)擴(kuò)張理論真正推廣了Stinesping擴(kuò)張定理,闡明了C*-代數(shù)上一個(gè)有界線性映射有一個(gè)*-同態(tài)擴(kuò)張(作用在一個(gè)Hilbert空間上)當(dāng)且僅當(dāng)它是完全有界的.

2.2 非Hilbert的擴(kuò)張

稱一個(gè)映射是正規(guī)連續(xù)的,即超弱,或σ-弱,或w*連續(xù)的.

定義2.6[2]Banach空間X上的一個(gè)無(wú)條件框架是一個(gè)序列對(duì){xi,yi}i∈,其中xi∈X,yi∈X*(X的對(duì)偶空間),滿足對(duì)?x∈X,且這個(gè)級(jí)數(shù)無(wú)條件收斂.

定理2.7[1]令H為一個(gè)可分的Hilbert空間,令{xi,yi}為H的一個(gè)無(wú)條件框架，那么由

定義的從l∞到B(H)的映射φ是良定義的、含幺元的、線性的且超弱連續(xù)的.

下面通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明即使對(duì)交換的純?cè)拥膙on Neumann代數(shù)也存在沒有Hilbert擴(kuò)張的情況.這個(gè)例子表明對(duì)于一個(gè)Hilbert空間存在一個(gè)無(wú)條件框架,它誘導(dǎo)的算子值測(cè)度沒有Hilbert空間擴(kuò)張.等價(jià)地,它不能通過(guò)重調(diào)來(lái)得到一個(gè)有Hilbert空間擴(kuò)張的無(wú)條件框架.這個(gè)構(gòu)造基于Osaka[11]的一個(gè)從l∞到B(H)的正規(guī)的非完全有界映射的例子.

定理2.8[1]對(duì)于一個(gè)Hilbert空間,存在一個(gè)無(wú)條件框架使得它誘導(dǎo)的算子值測(cè)度不是完全有界的,因此它不能通過(guò)重調(diào)來(lái)得到一個(gè)有Hilbert空間擴(kuò)張的無(wú)條件框架.

由于如果一個(gè)無(wú)條件框架有一個(gè)Hilbert空間擴(kuò)張,那么它誘導(dǎo)的算子值映射是完全有界的,且重調(diào)無(wú)條件框架誘導(dǎo)相同的算子值映射,因此,只需要表明對(duì)于Hilbert空間存在一個(gè)無(wú)條件框架使得它誘導(dǎo)的算子值測(cè)度不是完全有界的.首先需要以下引理.

引理2.9[1]令{An}為Hilbert空間H上一個(gè)有限秩有界線性算子序列使得

(ⅰ)AnAm=AmAn=0對(duì)所有n≠m;

(ⅱ)存在相互正交的投影{Pn}使得An=PnAnPn對(duì)所有n;

下面證明定理2.8.