陳 艷， 張克梅

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165，山東省曲阜市)

0 引 言

最近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)被應(yīng)用于各種領(lǐng)域,各國(guó)的學(xué)者把他們的研究方向轉(zhuǎn)向分?jǐn)?shù)階微分方程,具體可參考文獻(xiàn) [1-3]. 近年來(lái),有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了很多成果,具體可參考文獻(xiàn)[4-7].

帶有奇異項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的研究是分?jǐn)?shù)階微分方程的一個(gè)重要領(lǐng)域.

文獻(xiàn)[8]研究了邊值問(wèn)題

(1)

文獻(xiàn)[9]研究了下列帶有多點(diǎn)邊界條件的微分方程邊值問(wèn)題

(2)

文獻(xiàn)[10]研究了帶有積分邊界條件的微分方程邊值問(wèn)題

(3)

其中Dδ和Dτ是標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù),1<δ≤2,0<τ<δ,f,g:[0,1]×[0,1]→[0,+∞)是給定的連續(xù)函數(shù),對(duì)任意t∈[0,1],g(t,x)關(guān)于x是非負(fù)的,并且f不需要任何單調(diào)性假設(shè). 其作者將Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法相結(jié)合得到了邊值問(wèn)題(3)正解的存在性,用Banach壓縮映射原理得到了該問(wèn)題解的唯一性.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文研究了下列帶有積分邊界條件的兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分方程

(4)

本文的創(chuàng)新之處在于:與文獻(xiàn)[11]相比,本文加入了積分邊界條件; 與文獻(xiàn)[12-14]相比,本文研究的分?jǐn)?shù)階微分方程包含兩個(gè)項(xiàng); 與文獻(xiàn)[10] 相比,本文研究的非線性項(xiàng)可以是奇異的.

全文安排如下:第1部分介紹了一些后續(xù)證明用到的定義定理; 第2部分用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理證明了邊值問(wèn)題方程(4)正解的存在性; 第3部分介紹了一個(gè)例子驗(yàn)證所得結(jié)果.

1 性質(zhì)和引理

該部分介紹了一些分?jǐn)?shù)階理論的定義,并給出了一些相關(guān)引理.

定義1.1[15]設(shè)f:(0,+∞)→是可測(cè)函數(shù),則f的α(α>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為

這里Γ是Euler-Gamma函數(shù),等號(hào)右邊在(0,+∞)是逐點(diǎn)定義的.

定義1.2[15]設(shè)f:(0,+∞)→是可測(cè)函數(shù),則f的α(α>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為

等號(hào)右邊在(0,+∞)是逐點(diǎn)定義的, 這里n=[α]+1,其中[α]是實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分.

定義1.3[15]一個(gè)雙參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)Eα,β(x)定義為

當(dāng)β=1時(shí),Eα,1是通常的Mittag-Leffler函數(shù)Eα.

定理1.4[15]令n-1≤α≤n(n∈),λ∈,h是(0,+∞)上的實(shí)函數(shù), 則方程

-Dαu(t)+au(t)=h(t),t>0,

是可解的,其通解可由下列式子表示

其中cj∈,j=1,…,n.

為了方便,介紹以下符號(hào)

g(t)=tα-1Eα,α(atα),

(5)

本文從始至終要求以下3個(gè)條件成立:

(H1)a∈(0,a*]是一個(gè)常數(shù);

(H3)f(t,0)?0,t∈[0,1].

引理1.5令h∈L1[0,1]∩C(0,1),假設(shè)(H2)成立,則線性?xún)身?xiàng)分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題

(6)

證明由定理1.4和(5)式,問(wèn)題(6)的解可以表示成

由邊界條件u(0)=u′(0)=0,得c3=c2=0.因此

引理1.6[11]假設(shè)(H1)成立,s*∈(0,1)滿足s*=(1-s*)α-2,則G1(t,s)滿足:

(P1)G1(t,s)>0,?t,s∈(0,1);

(P2)G1(t,s)=G1(1-s,1-t),?t,s∈[0,1];

證明由引理1.5和引理1.6得

ρ2[1+M(t)]s(1-s)α-1≤ρ2[1+M(1)]s(1-s)α-1=W2s(1-s)α-1.

設(shè)J=[0,1],從J到n的所有連續(xù)泛函組成的空間E=C(J,n)是Banach空間.任意u(t)∈n,定義范數(shù)令P={u∈E:u(t)≥0,t∈[0,1]}是E中的一個(gè)錐.建立P的一個(gè)子錐對(duì)任意R>0,令

定義一個(gè)線性算子L:E→E如下

(7)

引理1.8[16]設(shè)L:E→E是一個(gè)連續(xù)線性算子,P是一個(gè)全錐,且L(P)?P.如果存在ψ∈E(-P)和一個(gè)常數(shù)c使得cL(ψ)≥ψ,則L的譜半徑r(L)≠0并且有一個(gè)屬于它的第一特征值λ=r(L)-1的特征函數(shù).

引理1.9(7)式定義的算子L:P→K是一個(gè)全連續(xù)線性算子,并且譜半徑r(L)≠0,L有一個(gè)屬于它的第一特征值λ=r(L)-1的正的特征函數(shù)φ*.

證明對(duì)任意u∈K,由引理1.7得

所以L:K→K.由G(t,s)在t,s∈[0,1]×[0,1]一致連續(xù),得L:K→K是全連續(xù)線性算子.

接下來(lái),用引理1.8證明L的第一特征值λ>0.

事實(shí)上,對(duì)任意t∈[0,1],選取u(t)=tα-1.顯然u∈K,則有

根據(jù)引理1.8,譜半徑r(L)≠0,并且L有一個(gè)屬于它的第一特征值λ=r(L)-1的特征函數(shù)φ*使得λLφ*=φ*.

為了處理奇異性,采取如下假設(shè):

(H4)f∈C((0,1)×(0,+∞),[0,+∞))對(duì)任意0

(ⅰ) 任意u∈?KR,‖Au‖≤‖u‖;

(ⅱ) 任意u∈?Kr,σ>0,存在u0∈K{θ},使得u≠Au+σu0成立;

2 主要結(jié)果

比較上述式子,得

(8)

因此,由延拓定理得T:K{θ}→P是良定義的.

成立. 由勒貝格控制收斂定理得:當(dāng)n→∞時(shí),

另外,當(dāng)n>N時(shí),

下一步,證明T(D)等度連續(xù). 事實(shí)上,由(H4)得,任意>0,存在自然數(shù)k使得

這說(shuō)明T(D)等度連續(xù).

定理2.2假設(shè)條件(H1),(H2),(H3),(H4)成立,并且

(9)

其中λ1是L的第一特征值, 則邊值問(wèn)題(4)至少有一個(gè)正解.

證明首先證明任意u∈?KR,有‖Tu‖≤‖u‖.事實(shí)上,任意u∈?KR,由引理1.7得

接下來(lái),驗(yàn)證引理1.10(ⅱ)成立. 由(9)式得,任意t∈[0,1],存在r1>0,當(dāng)0

設(shè)φ*是L的屬于λ1的正特征函數(shù),則φ*=λ1Lφ*.假設(shè)T在?Kr1上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)(否則證明結(jié)束).

3 例 子

考慮微分方程邊值問(wèn)題

(10)

所以(H2)成立. 另外(H3)顯然成立.

根據(jù)定理2.2,問(wèn)題(10)至少有一個(gè)正解.