孔瑩瑩, 蔣立寧

(北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,100081,北京市)

0 引 言

1898年，弗雷德霍姆求解第二類型的Fredholm積分方程的研究工作，使得希爾伯特靈感突發(fā)，以積分方程為源頭開始了泛函分析的多種研究. 希爾伯特在討論特征值問題時(shí)首先使用“譜”這個(gè)術(shù)語，并且指出：“無窮多個(gè)變量的理論研究，當(dāng)初完全是出于純粹數(shù)學(xué)的興趣，我甚至管這理論叫譜分析[1]”. Fredholm理論及其譜理論由此而生. Fredholm理論和譜理論作為泛函分析理論體系中重要的組成部分，廣泛應(yīng)用于偏微分方程、物理學(xué)、工程學(xué)、非線性科學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域. 例如：求振動的頻率、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性等均涉及到相應(yīng)算子的譜分布問題，在量子力學(xué)中，能量算符是L2空間上的一個(gè)自伴算子，其特征值對應(yīng)著該系統(tǒng)束縛態(tài)的能級，而光譜是某個(gè)算子的特征值分布[2].

設(shè)H是無限維復(fù)可分的Hilbert空間，記從H到H的有界線性算子的集合為B(H)，從H到H的緊算子集合為K(H)，則K(H)是C*-代數(shù)B(H)的理想，稱取商所得的C*-代數(shù)為Calkin代數(shù)，并記為C(H)，故有正合列[3]：0→K(H)→B(H)→C(H)→0.

20世紀(jì)初期，Atkinson F V指出T∈B(H)是Fredholm算子當(dāng)且僅當(dāng)T模K(H)是可逆的[4]. Fredholm算子的公理化定義促進(jìn)了Fredholm理論的迅速發(fā)展. 1987年，Harte H給出了Fredholm 算子的另一種刻畫，指出T∈B(H) 為Fredholm 算子當(dāng)且僅當(dāng)T的值域是閉的，并且T的零空間的維數(shù)和值域的余維數(shù)都有限[5，6]. 與此同時(shí)，他也對特殊的Fredholm算子，即Weyl算子和Browder算子進(jìn)行了研究. 對于這3種算子，國內(nèi)外學(xué)者主要關(guān)注于算子的攝動、譜映射定理以及指標(biāo)理論等[7,8].

隨后，在1997年，Schmoeger C[9-11]將Fredholm算子進(jìn)行推廣，定義了廣義Fredholm 算子，并討論了Banach空間上的廣義Fredholm算子的攝動理論. 幾乎同時(shí)，Berkani M[12]也給出了Fredholm算子的另外一種推廣，即擬Fredholm算子. 注意到一個(gè)算子T是Fredholm算子當(dāng)且僅當(dāng)T模K(H)是可逆的. 隨后,眾多學(xué)者對Fredholm算子進(jìn)行推廣，將其中的可逆性條件弱化為Drazin可逆等，來定義更“弱”的Fredholm算子. 例如：Berkani M[13]定義了B-Fredholm算子，即模F(H)是Drazin可逆的；進(jìn)一步地，B-Weyl算子、B-Browder算子也被引入. 以上Fredholm算子、Weyl算子、B-Weyl算子等由Fredholm算子演變而來的統(tǒng)稱為Fredholm型算子.

幾乎同一時(shí)間，抽象的Fredholm理論也得到了發(fā)展. 1968年，Barnes B[14,15]定義了環(huán)中的擬Fredholm元和Fredholm元. 具體的，一個(gè)元素被稱作是Fredholm元如果它模Socle是可逆的. 1982年，Barnes B A，Murphy G J，Smyth M[16,17]等學(xué)者通過Banach代數(shù)中最小冪等元和Barnes冪等元等工具，運(yùn)用左正則表示的方法，討論了本原Banach代數(shù)中的Fredholm元. 隨著Fredholm算子及其譜理論的發(fā)展，近些年，關(guān)于Fredholm型元及其譜理論的研究出現(xiàn)了新的趨勢，越來越多的學(xué)者將特殊的Banach代數(shù)B(H)推廣到一般的Banach代數(shù)，來研究一般的Banach代數(shù)中的Fredholm理論. 例如：Mannle D和Schmoeger C[18]研究了半單Banach代數(shù)中的廣義Fredholm理論. Berkani M給出了環(huán)和代數(shù)中的B-Fredholm理論[19]；進(jìn)一步地，序Banach代數(shù)中的Fredholm理論也被考慮[20]. 除此之外，一些學(xué)者另辟蹊徑，將Banach代數(shù)中的Fredholm理論進(jìn)行推廣，提出了依存于Banach代數(shù)同態(tài)的Fredholm理論及其譜理論，以及Fredholm族及其解析指標(biāo)等[21,22]. 環(huán)或Banach代數(shù)中的Fredholm元、B-Fredholm元等由Fredholm元演變而來的元統(tǒng)稱為Fredholm型元.

本文以Hilbert空間上的Fredholm算子及其譜理論為出發(fā)點(diǎn)，分兩條脈絡(luò)對Fredholm型元及其譜理論作出簡要概述，一條脈絡(luò)是對給定的Banach代數(shù)B(H)，討論了Fredholm型算子及其譜理論；另一條脈絡(luò)則是研究抽象的Fredholm理論，即研究Banach代數(shù)中的Fredholm型元. 此外，本文也給出了B-Fredholm元的分解定理，C*-代數(shù)的Weyl模的攝動，以及以譜為工具刻畫了半單Banach代數(shù)的Socle等.

1 B(H)中的Fredholm理論

假設(shè)H為無限維復(fù)可分的Hilbert空間，令B(H)為H上的有界線性算子全體，F(xiàn)(H)為H上有限秩算子全體，K(H)為Hilbert空間H上的緊算子全體. 本節(jié)分別介紹B(H)中Fredholm算子及其譜理論，以及以Weyl、Browder、B-Fredholm、B-Weyl、B-Browder算子為代表的Fredholm型算子及其譜理論.

1.1 Fredholm算子及其譜理論

設(shè)T∈B(H)，記T的零空間N(T)的維數(shù)為n(T)，T的值域R(T) 的余維數(shù)為d(T). 假設(shè)T∈B(H)，對任意的x,y∈H，方程Tx=y可解當(dāng)且僅當(dāng)T為可逆算子. Fredholm算子也與方程的求解問題密切相關(guān)，若T是H上的Fredholm算子，對于給定的向量g∈H，方程Tf=g是否可解等價(jià)于g是否與有限維線性空間KerT*正交，最后，方程Tf=g的解空間是有限維仿射空間. 為了體系完整性，我們首先給出Fredholm算子的定義.

定義1.1[23]假設(shè)T∈B(H)，若n(T)<∞且R(T)是閉的，則稱T為上半Fredholm 算子. 上半Fredholm算子的全體記為Φ+(H). 若d(T)<∞，則稱T為下半Fredholm算子. 下半Fredholm算子的全體記為Φ-(H). 若T既是上半Fredholm算子又是下半Fredholm算子，則稱T為Fredholm算子. 記Fredholm算子全體為Φ(H).

事實(shí)上，F(xiàn)redholm算子本質(zhì)上是由可逆算子性質(zhì)“弱化”得到的一類算子,而 Atkinson[4]指出T∈Φ(H)當(dāng)且僅當(dāng)T模F(H)可逆. Atkinson對Fredholm算子的刻畫在Fredholm算子理論體系中至關(guān)重要.

命題1.2[23]若T∈B(H)，則T∈Φ(H)當(dāng)且僅當(dāng)存在U1，U2∈B(H)，K1，K2∈F(H) 使得

U1T=I-K1,TU2=I-K2.

例1.3假設(shè)A∈B(l2)為右移算子A(x1,x2,…)=(0,x1,x2,…)，則容易驗(yàn)證n(A)=0，d(A)=1，故可知A為Fredholm算子.

根據(jù)文獻(xiàn)[24]，若T,S∈Φ+(H)(Φ-(H),Φ(H))，則TS∈Φ+(H)(Φ-(H),Φ(H)).反之，如果ST為下半Fredholm算子，則S為下半Fredholm算子；如果ST為上半Fredholm算子，那么T為上半Fredholm算子. 可證Φ(H)為B(H)中的半群. 關(guān)于更多的Fredholm算子的性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[23,24]. Fredholm算子的攝動與方程解的穩(wěn)定性密切相關(guān)，接下來給出Fredholm算子的鄰域攝動定理.

命題1.4[24，第519頁]假設(shè)T∈B(H)，K∈K(H).

1)有Φ(H)+K(H)?Φ(H)成立；

2)若T∈Φ(H)，則?ρ>0使得對所有的S∈B(H)且‖S‖<ρ時(shí)，有T+S∈Φ(H)；

3)若T∈Φ+(H)，則?>0使得對所有的S∈B(H)且‖S‖<時(shí)，有T+S∈Φ+(H)且n(T+S)≤n(T)；

4)若T∈Φ-(H)，則?>0使得對所有的S∈B(H)且‖S‖<時(shí)，有T+S∈Φ-(H)且d(T+S)≤d(T)；

5)若T∈Φ+(H)(T∈Φ-(H))，那么?>0使得對所有的|λ|<，有n(λI+T)≤n(T)(d(λI+T)≤d(T))且n(λI-T)(d(λI-T))是一個(gè)常數(shù).

借助Fredholm算子,定義T∈B(H)的本質(zhì)譜為σe(T)={λ∈C:T-λI?Φ(H)}.令ρe(T)=Cσe(T). 由文獻(xiàn)[24]可知，σe(T)為C中的有界閉集. 令H(σ(T))為在σ(T)的開鄰域上解析的所有復(fù)值函數(shù)全體，對任意的T∈B(H)，f∈H(σ(T))，譜映射定理成立，即σ(f(T))=f(σ(T))，其中σ(T)表示算子T的譜. 事實(shí)上，本質(zhì)譜也滿足譜映射定理.

命題1.5[24，定理3.113]若T∈B(H)，f∈H(σ(T))，則σe(f(T))=f(σe(T)).

依然考慮Banach代數(shù)B(H)，眾多學(xué)者將Fredholm算子進(jìn)行變型，一部分學(xué)者考慮了特殊的Fredholm算子及其性質(zhì)，例如：Weyl算子、Browder算子等；另一些學(xué)者則將Fredholm算子進(jìn)行推廣，弱化為B-Fredholm算子，同時(shí)B-Weyl算子和B-Browder算子也被引入.

1.2 Fredholm型算子及其譜理論

本節(jié)主要介紹Weyl、Browder、B-Fredholm、B-Weyl、B-Browder算子等的演變脈絡(luò)及其基本性質(zhì). 上述算子統(tǒng)稱為Fredholm型算子. 首先介紹一類特殊的Fredholm算子，即Weyl算子.

定義1.6[24，第214頁]設(shè)T∈B(H)，若T為半Fredholm算子，則T的指標(biāo)定義為ind(T)=n(T)-d(T). 特別地，如果ind(T)=0，那么稱T為Weyl算子.

設(shè)T,S∈B(l2)為如下定義,

T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…)，S(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…).

根據(jù)文獻(xiàn)[24，定理A.30]，可知Weyl算子全體在緊算子的攝動下是不變的. 由文獻(xiàn)[24，定理A.32]可知，假設(shè)T∈B(H)，若T為Weyl算子，則存在>0使得對任意滿足‖S‖<的S∈B(H)，有T+S也是Weyl 算子. 與此同時(shí)，Aiena P 給出了Weyl算子的等價(jià)刻畫，即T∈B(H)為Weyl算子當(dāng)且僅當(dāng)存在K∈F(H)和可逆算子S使得T=S+K為可逆算子.類似的，定義算子T∈B(H)的Weyl譜如下,

σw(T)={λ∈C:T-λI不為Weyl算子}.

令ρw(T)=Cσw(T). 然而，σw(T)并不滿足譜映射定理.

命題1.8[24，定理3.115]設(shè)T∈B(H)，若f∈H(σ(T))，則σw(f(T))?f(σw(T)).

一般情況下,“σw(f(T))=f(σw(T))”不成立，可參考文獻(xiàn)[24，例3.116]. 令T∈B(H)，若對任意的λ,μ∈ρ*(T)，ind(λI-T)和ind(μI-T)的符號是一致的，則稱T有穩(wěn)定符號指標(biāo). 由文獻(xiàn)[24，定理3.119]可知，Weyl譜σw(T)滿足譜映射定理當(dāng)且僅當(dāng)T在ρe(T)上有穩(wěn)定符號指標(biāo).

將Weyl算子全體的范圍繼續(xù)縮小，有Browder算子的概念.

令T∈B(H)，使得N(Tn)=N(Tn+1)成立的最小的n∈，稱為T的升標(biāo). 若n不存在，則稱T有無限的升標(biāo)； 使得R(Tn)=R(Tn+1)成立的最小的n∈，稱為T的降標(biāo). 若n不存在，則稱T有無限的降標(biāo). 如果T為Fredholm算子并且有有限的升標(biāo)和降標(biāo)，則稱T為Browder算子.

可以證明,Browder算子一定是Weyl算子，Weyl算子一定是Fredholm算子. 關(guān)于Browder算子的攝動定理如下.

命題1.9[24，定理3.40]令T∈B(H)，則下列敘述等價(jià):

1)T為Browder算子;

2)存在冪等算子P∈F(H)和可逆算子S使得PS=SP且T=S+P.

設(shè)T∈B(H)，令σb(T)={λ∈C:T-λI不為Browder算子},稱為T的Browder譜. 令ρb(T)=Cσb(T). 可證Browder 譜σb(T)為C中的非空有界閉集，且T的Browder譜也滿足譜映射定理.

Fredholm型算子中還包括另外一部分，例如B-Fredholm算子，B-Weyl算子等，而這些則是對Fredholm算子進(jìn)行推廣，即將Fredholm算子進(jìn)行“弱化". 注意到，Atkinson定理說明T∈B(H)為Fredholm算子當(dāng)且僅當(dāng)[T]?T+F(H)在B(H)/F(H)中可逆，將“可逆"弱化為“Drazin可逆”，即是下面將要引入的B-Fredholm算子.

定義1.10[24，定義1.111]假設(shè)T∈B(H)，若對某個(gè)正整數(shù)n，有Tn(H)是閉的并且Tn是Fredholm算子，則稱T為B-Fredholm算子，其中Tn?T|Tn(H).

為了給出B-Fredholm算子的另一種刻畫，回憶Drazin給出的Drazin可逆的定義.

定義1.11[24，定義1.121]令A(yù)是一個(gè)含有單位元e的代數(shù)，一個(gè)元素a∈A被稱作是n階Drazin可逆元如果存在一個(gè)元素b∈A使得anba=an,bab=b,ab=ba成立，元素b被稱為a的Drazin逆.

由文獻(xiàn)[24,定理1.126]可以發(fā)現(xiàn)，T∈B(H)為B-Fredholm算子當(dāng)且僅當(dāng)[T]?T+F(H)為Drazin可逆的. 類似于Fredholm算子情形，關(guān)于B-Fredholm算子的攝動以及譜理論也被考慮.

定理1.12[24，定理1.126]假設(shè)T,S∈B(H)為B-Fredholm算子.

1)若TS=ST，則ST為B-Fredholm算子.

2)若K∈F(H)，則T+K為B-Fredholm算子.

3)存在0的鄰域D(0,)使得對任意的λ∈D(0,){0}，有λI-T為Fredholm算子.

類比上述Fredholm算子及其譜理論中眾多學(xué)者所關(guān)注的熱點(diǎn)，B-Fredholm算子及其譜理論由此而生. 假設(shè)T∈B(H)為B-Fredholm算子，若n滿足Tn?T|Tn(H)為Fredholm算子，則將Tn的指標(biāo)定義為T的指標(biāo)，記為ind(T). 根據(jù)文獻(xiàn)[24,定理1.112]可知,上述指標(biāo)的定義是良定的，即不依存于整數(shù)n的選取. 定義B-Fredholm譜σBF(T)={λ∈:T-λI不為B-Fredholm算子}，同樣可知，B-Fredholm譜也滿足譜映射定理. 隨后，一些學(xué)者研究了特殊的B-Fredholm算子，例如B-Weyl算子，B-Browder算子等. 具體的，指標(biāo)為0的B-Fredholm算子被稱為B-Weyl算子，Berkani M[25]指出如果0是算子T的譜中的孤立點(diǎn)，那么T是B-Weyl算子當(dāng)且僅當(dāng)T是Drazin可逆的.

在1997年，Schmoeger C[9-11]也將Fredholm算子進(jìn)行推廣，定義了廣義Fredholm算子，并討論了廣義Fredholm算子的攝動定理；另一方面，通過代數(shù)中的廣義可逆元，給出了廣義Fredholm算子的等價(jià)刻畫. 由Fredholm算子演變出的Fredholm型算子還有很多，例如擬Fredholm算子，半Fredholm算子，上半Weyl算子，半Browder算子等，關(guān)于它們的具體性質(zhì)和彼此之間的關(guān)系可參考文獻(xiàn)[12,23,24].

本節(jié)介紹了Fredholm型算子及其譜理論，與此同時(shí)，一些學(xué)者另辟蹊徑，將代數(shù)B(H)進(jìn)一步推廣，研究了環(huán)，半單Banach代數(shù)，本原C*-代數(shù)等中的Fredholm理論.

2 Banach代數(shù)中的Fredholm理論

關(guān)于Banach代數(shù)中的Fredholm理論，按照從一般到特殊的方法進(jìn)行概述. 首先介紹環(huán)中的Fredholm理論，其次討論半單Banach代數(shù)，本原C*-代數(shù)等中的Fredholm理論. 最后，對近些年Fredholm理論發(fā)展的新趨勢進(jìn)行概述.

2.1 環(huán)中的Fredholm理論

令A(yù)是一個(gè)環(huán),稱A為半素環(huán)，若它沒有非零的左(或右)冪零理想. 本小節(jié)總是假設(shè)A是一個(gè)半素環(huán)，從而確保其Socle的存在性. 這里環(huán)A的Socle指的是A中所有極小左理想的和，若A沒有極小左理想，則定義其Socle為{0}.

Atkinson[4]給出Banach空間X上的Fredholm算子的刻畫，即模X上的緊算子所構(gòu)成的理想是可逆的. 事實(shí)上，F(xiàn)redholm算子也可被描述為：模X上的有限秩算子全體所構(gòu)成的理想F(X)是可逆的. 注意到F(X)是B(X)的Socle，其中B(X)指Banach空間X上的有界線性算子全體. 本小節(jié)基于這個(gè)觀察，討論半素環(huán)中的Fredholm 理論. 基本思路是，為將F(X)推廣至環(huán)中，考慮環(huán)的Socle；為將秩1投影推廣至環(huán)中，考慮環(huán)的極小冪等元；為將維數(shù)推廣至環(huán)中，則需要引入理想的“階”. 首先給出它們的定義.

定義2.1[15,第84頁]設(shè)A為半素環(huán)，N為A中的右理想. 如果N可以寫為有限個(gè)A中極小右理想的和，則稱N有有限階. 此時(shí)，N的階則是使得滿足極小右理想的和為N的最小的極小右理想的個(gè)數(shù)，記為θ(N).

若N為A中非零的右理想，且有有限階m. 由文獻(xiàn)[15]可知，N中極小冪等元的任意一個(gè)極大正交集包含m個(gè)元素，不妨設(shè)為{E1,E2,…Em}，那么N=eA，其中e=E1+E2+…+Em. 根據(jù)文獻(xiàn)[23]，假設(shè)A是一個(gè)半素Banach代數(shù)，如果J為A中有限維左理想，則存在一個(gè)冪等元p∈Soc(A)使得Ap=J. 由此可以看出“階”本質(zhì)上是“維數(shù)”的一種推廣. 在半素環(huán)中，Barnes B[15]討論了Fredholm和擬Fredholm元，令u,v∈A，記u°v=u+v-uv.

接下來介紹擬Fredholm元和Fredholm元及其指標(biāo)理論.

定義2.2[15，定義2.4]假設(shè)A為半素環(huán)，且u∈A. 若存在v∈A使得

v°u∈Soc(A)(u°v∈Soc(A)),

則稱u為左(右)擬Fredholm元；若u既是左擬Fredholm元又是右擬Fredholm元，則稱u為擬Fredholm元. 若u模Soc(A)可逆，則稱u為Fredholm元.

Barnes B給出了擬Fredholm元的刻畫，具體地，u∈A為右擬Fredholm元當(dāng)且僅當(dāng)存在冪等元e∈Soc(A)使得(1-u)A=(1-e)A. 與此同時(shí)，Barnes B定義了擬Fredholm元的指標(biāo)，并證明了指標(biāo)具有連續(xù)性. 若B為A中的子集，令L[B]={a∈A:aB=0},R[B]={a∈A:Ba=0}.

定義2.3[15,定義3.1]假設(shè)u∈A是擬Fredholm元，定義

k(1-u)=Θ(L[(1-u)A])-Θ(R[A(1-u)]),

則稱k(1-u)為1-u的指標(biāo).

類似于經(jīng)典Fredholm理論中Fredholm算子乘積的指標(biāo)的性質(zhì)，擬Fredholm元也有類似的結(jié)論，即若u和v為A中的擬Fredholm元，那么v°u也是擬Fredholm元并且k(1-v°u)=k(1-v)+k(1-u). 特別地，當(dāng)A是一個(gè)半素Banach代數(shù)，若{un},u為A中的擬Fredholm元，并且{un}收斂于u，那么k(1-un)收斂于k(1-u). 關(guān)于指標(biāo)的進(jìn)一步性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[15].

Berkani M將環(huán)中的Fredholm元進(jìn)一步推廣，研究了環(huán)中的依賴于理想的B-Fredholm元.

定義2.4[19，性質(zhì)2.4]假設(shè)A是一個(gè)半素環(huán)，J為A中的理想.元素a∈A被稱為是模理想J的B-Fredholm元若π(a)在商代數(shù)A/J中是Drazin可逆的，其中π:A→A/J為典則映射.

類比B-Fredholm算子的攝動和譜映射定理，下面給出環(huán)中B-Fredholm元的攝動及譜映射定理.

命題2.5 設(shè)a1,a2∈A為模理想J的B-Fredholm元.

1) 若a1a2∈J且a2a1∈J，則a1+a2也是模理想J的B-Fredholm元.

2) 若a1a2=a2a1，則a1a2是模理想J的B-Fredholm元.

3) 若i∈J，則a1+i是模理想J的B-Fredholm元.

對于半素環(huán)中的Fredholm元，B-Fredholm元，廣義Fredholm元之間的關(guān)系，Berkani M也給出了研究，具體地，一個(gè)元素a∈A為模理想J的B-Fredholm元當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)n∈*和c∈A 使得ancan-an∈J且e-anc-can為模J的Fredholm元，其中e為A中的單位. 令a∈A的B-Fredholm譜為：σBF(a)={λ∈:a-λe不為模J的B-Fredholm元}，根據(jù)文獻(xiàn)[19]可知，σBF(a)也滿足譜映射定理. 本質(zhì)上關(guān)于環(huán)中的B-Fredholm元理論，Berkani M不僅僅是將Fredholm元進(jìn)行“弱化”，定義了B-Fredholm元，同時(shí)也將Soc(A)推廣到了一般的理想J，定義了依存于理想J的B-Fredholm元并討論了它的性質(zhì).

進(jìn)一步，Pearlman L D[26]研究了半單Banach代數(shù)中的Fredholm理論及廣義Fredholm理論，給出了Riesz元和預(yù)解集的洞的刻畫，特別地，證明了在半單非本原Banach代數(shù)中Weyl元不能分解為可逆元和代數(shù)基柱中的元素的和. 1982年，Barnes B A，Murphy G J，Smyth M等學(xué)者也討論了半單Banach代數(shù)中的Fredholm理論，與此同時(shí)，諸多學(xué)者也作了相關(guān)的研究[16,17]. 下面對半單Banach代數(shù)中的Fredholm理論作簡要概述.

2.2 半單Banach代數(shù)中的Fredholm理論

本節(jié)中總假設(shè)A是一個(gè)半單的Banach代數(shù)，e為其單位元，這意味著，Rad(A)={0}，其中Rad(A)指A的radical.一個(gè)元素q∈A被稱作是極小冪等元，若qAq是一個(gè)可除代數(shù)并且q2=q. 令Min(A)指A中所有極小冪等元的全體，事實(shí)上，“極小冪等元”的概念本質(zhì)上是B(X)中秩1投影的推廣，極小冪等元與A中的極小理想密切相關(guān). 假設(shè)R?A為右理想，則R為極小右理想當(dāng)且僅當(dāng)存在極小冪等元E0使得R=E0A. 類似的，關(guān)于極小左理想也有相關(guān)的結(jié)論. 記Soc(A)為A的Socle，由文獻(xiàn)[18]可知，

Soc(A)={x∈A:Θ(xA)<∞},

其中Θ(xA)表示右理想xA的階. 一個(gè)元素x∈A被稱作相對正則的，若存在y∈A 使得xyx=x，其中y稱作x的一個(gè)偽逆. 受到算子情形的啟發(fā)，定義了Banach代數(shù)中元素的零度和虧數(shù)，也給出了Fredholm元的定義[18].

假設(shè)A為含有單位元e的半單Banach代數(shù)且x∈A，令

R(x)={a∈A:xa=0},L(x)={a∈A:ax=0},

定義x的零度為nul(x)=Θ(R(x))，虧數(shù)為def(x)=Θ(L(x)).

定義2.6[18]設(shè)x∈A，如果[x]?x+Soc(A)在A/Soc(A)中可逆，那么稱x為Fredholm元.

文獻(xiàn)[18]證明了x∈A為Fredholm元當(dāng)且僅當(dāng)x相對正則并且nul(x)<∞,def(x)<∞，這也與特殊情形B(X)中的Fredholm算子的刻畫是一致的. Fredholm元x的指標(biāo)被定義為ind(x)=nul(x)-def(x). Fredholm元的攝動定理也與Fredholm算子的攝動定理有相通之處.

命題2.7[18,定理3.6]假設(shè)x,y∈A為Fredholm元，s∈Soc(A)，那么

1)xy為Fredholm元且ind(xy)=ind(x)+ind(y).

2)x+s為Fredholm元且ind(x+s)=ind(x).

3) 存在δ>0和α,β∈使得

(ⅰ)對所有A中滿足‖u‖<δ的u，有x+u為Fredholm元且ind(x+u)=ind(x)，nul(x+u)≤nul(x)，def(x+u)≤def(x).

(ⅱ)對所有的λ∈且0<|λ|<δ，有nul(λe-x)=α≤nul(x)且def(λe-x)=β≤def(x).

若x為Fredholm元，稱ind(x)=0的x為Weyl元. 分別定義元素a∈A的Fredholm譜和Weyl譜為

σess(a)={λ∈:a-λe不為Fredholm元};σw(a)={λ∈:a-λe不為Weyl元}.

令ρess(a)=σess(a);ρw(a)=σw(a).可證σess(a)和σw(a)都為有界閉集，σess(a)滿足譜映射定理，然而σw(a)不滿足譜映射定理，受到算子情形的啟發(fā)，給出σw(a)滿足譜映射定理的充要條件，即對任意的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式p，a∈A，p(σw(a))=σw(p(a))當(dāng)且僅當(dāng)對任意的λ,μ∈ρess(a)有ind(a-λe)ind(a-μe)≥0.

回顧對于T∈B(X)，α(T)和β(T)分別表示算子的升標(biāo)和降標(biāo). 通過算子的升標(biāo)和降標(biāo)定義了半單Banach代數(shù)中的元素的升標(biāo)和降標(biāo)[27]，并引入了Browder元. 令a∈A，算子La:A→A被定義為

La(x)=ax(?x∈A).

令pl(a)=α(La)，ql(a)=β(La)，稱pl(a)，ql(a)分別為元素a的升標(biāo)和降標(biāo).

定義2.8[27]假設(shè)a∈A. 若a為Fredholm元，并且pl(a)<∞，ql(a)<∞，則稱a為Browder元.

接下來給出Browder元的等價(jià)刻畫定理及其證明.

定理2.9假設(shè)A為含單位元e的半單Banach代數(shù), 則x∈A為Browder元當(dāng)且僅當(dāng)它是半Fredholm元并且0∈isoσ(x)∪ρ(x).

證明假設(shè)x∈A為Browder元，則它是Fredholm元，故它為廣義Fredholm元，由Browder元的定義，可知pl(x)<∞，ql(x)<∞. 根據(jù)文獻(xiàn)[18，定理7.7]，存在>0使得對任意的0<|λ|<，有

pl(λe-x)=nul(λe-x)=0且ql(λe-x)=def(λe-x)=0，

即0∈isoσ(x)∪ρ(x).

另一方面，若0∈ρ(x)，則x可逆，顯然x為Browder元. 下面只須證,若0∈isoσ(x)且x為半Fredholm元，則x為Browder元. 反證，若pl(x)=∞，由文獻(xiàn)[18,定理7.7]可知，存在>0使得對任意的0<|λ|<，有nul(λe-x)>0，這與0∈isoσ(x)矛盾. 同理可證ql(x)<∞. 假設(shè)x為半Fredholm元，則nul(x)<∞. 由Fredholm元的鄰域攝動定理，可知ind(x)=0，因此def(x)<∞，故x為Fredholm元. 這意味著x為Browder元.

作為Fredholm元的另一種變型，Mannle D和Schmoeger C[18]也定義了半單Banach代數(shù)中的廣義Fredholm元.

定義2.10設(shè)A為含單位元e的半單Banach代數(shù). 若x∈A相對正則并且存在x的偽逆y使得e-xy-yx為Fredholm元,則稱x是廣義Fredholm元.

事實(shí)上，x∈A 為廣義Fredholm元當(dāng)且僅當(dāng)存在y∈A使得[x][y][x]=[x]且[e]-[x][y]-[y][x]可逆，即[x] 為廣義可逆元，其中[x]表示等價(jià)類x+Soc(A). 關(guān)于廣義Fredholm元也有類似的攝動定理.

命題2.11[18，定理5.1]設(shè)x∈A為廣義Fredholm元，則

1)存在δ>0使得對所有的0<|λ|<δ，有λe-x為Fredholm元；

2)若s∈Soc(A)，則x+s為廣義Fredholm元.

文獻(xiàn)[18]定義了廣義Fredholm譜，并研究了廣義Fredholm元與Fredholm元的關(guān)系，相關(guān)半單Banach代數(shù)中的Fredholm理論可參考文獻(xiàn)[18]. 在算子情形，Schechter 證明了文獻(xiàn)[6]若T為Weyl算子，則存在有限秩算子U使得T+U為可逆算子. 很自然的，若想發(fā)展抽象的Fredholm理論，則需要考慮在一般的半單Banach代數(shù)中，上述Weyl算子的分解性質(zhì)是否可以得到對應(yīng)Weyl元的分解呢？Pearlman D給出了反例，即，證明在一個(gè)非本原的半單Banach代數(shù)中上述分解不存在. 但是對于本原Banach代數(shù),可以得到Weyl元的分解性質(zhì). 與此同時(shí)，諸多學(xué)者發(fā)展了本原Banach代數(shù)中的Fredholm理論. 其中Barnes B A，Murphy G J，Smyth M等學(xué)者討論了本原Banach代數(shù)中的Fredholm理論，使用的主要技巧則是通過左正則表示.

具體的，若A為本原Banach代數(shù)，令p為A中的極小冪等元，如果a∈A為Fredholm元，則左乘算子La為Fredholm算子，其中La為La:x∈Ap→ax∈Ap. 但是文獻(xiàn)[16]給出反例說明了反之不成立. 這也揭示了對一般的本原Banach代數(shù)，左正則表示的性質(zhì)存在缺點(diǎn). 因此，一些學(xué)者考慮了什么樣的代數(shù)可以使得a為Fredholm元當(dāng)且僅當(dāng)La為Fredholm算子. 此時(shí)發(fā)現(xiàn)，若A為本原C*-代數(shù)，左正則表示有更好的性質(zhì)，即為一個(gè)等距的忠實(shí)的不可約*表示，并且可以證明，a為Fredholm元當(dāng)且僅當(dāng)左乘算子La為Fredholm算子. 于是，本原C*-代數(shù)中的Fredholm理論由此而生，接下來我們具體給出本原C*-代數(shù)中的Fredholm型元及其相關(guān)的性質(zhì).

2.3 本原C*-代數(shù)中的Fredholm理論

一個(gè)代數(shù)被稱作是本原的，若{0}為代數(shù)中的本原理想. 顯然，本原代數(shù)一定是半單的. 在本節(jié)中若無特殊說明總假設(shè)A為含有單位元1的本原Banach代數(shù)，并假設(shè)A的Socle非零，則A一定存在極小冪等元[16]，故令p為A中的極小冪等元，對a∈A，記La為左乘算子La:y→ay(?y∈Ap). 假設(shè)x∈A，若存在y∈A 使得xy-1,yx-1∈Soc(A)，則稱x為Fredholm元. 由文獻(xiàn)[16] 可知，當(dāng)x為Fredholm元時(shí)，La為Fredholm算子，但是反之不成立. 記k(h(Soc(A)))為包含Soc(A)的本原理想的交. 下面對本原Banach代數(shù)中的Fredholm元給出其攝動定理.

定義2.12[16，F(xiàn).2.7]若x∈A為Fredholm元，定義x的零度，虧數(shù)和指標(biāo)分別為nul(x)=n(Lx)，def(x)=d(Lx)，ind(x)=ind(Lx).

本節(jié)中算子的指標(biāo)和元素的指標(biāo)，由于是不同的對象，讀者容易區(qū)分，故統(tǒng)一用“ind”來表示.

定義2.12[16,F.2.9]設(shè)A為含有單位元的本原Banach代數(shù)，且x為Fredholm元.

1)若u∈k(h(Soc(A)))，則ind(x)=ind(x+u).

Berkani M給出了B-Fredholm元及其指標(biāo)的定義，并研究了B-Weyl元的分解. 若x∈A，并且[x]?x+Soc(A)在A/Soc(A)中Drazin可逆，則稱x為B-Fredholm元. 下面給出B-Fredholm元的指標(biāo)的定義.

定義2.14[19，定義3.2]設(shè)A為本原Banach代數(shù). 若a∈A為B-Fredholm元，則a的指標(biāo)被定義為

i(a)=τ(aa0-a0a)=τ([a,a0]),

其中[a0]為[a]的Drazin逆，τ(a)表示元素a的跡.

根據(jù)文獻(xiàn)[28，定理2.3]可知，B-Fredholm元的指標(biāo)的定義是良定的，即不依存[a]的Drazin逆的選取. 若i(a)=0，則稱a為B-Weyl元. Berkani M指出若a∈A為B-Fredholm元，則La為B-Fredholm算子，但反之不成立. 由文獻(xiàn)[16，定理F.4.3]可證，若A 為本原C*-代數(shù)，則a∈A為Fredholm(B-Fredholm)元當(dāng)且僅當(dāng)La為Fredholm(B-Fredholm)算子. 受此啟發(fā)，研究了本原C*-代數(shù)中B-Fredholm元的一些性質(zhì)及其譜理論. 特別地，證明了B-Fredholm元可以分解為Fredholm元和冪零元的和，下面給出簡要證明.

命題2.15 假設(shè)A為含有單位元的本原C*-代數(shù)并且Γ(AN)?N(Ap)，其中Γ表示A上的左正則表示，AN(N(Ap))分別表示A(Ap)上的所有冪零元(冪零算子)的集合. 若a∈A為B-Fredholm元，則存在Fredholm元b，冪零元c使得a=b+c.

證明若a∈A為B-Fredholm元，則La為B-Fredholm算子. 結(jié)合文獻(xiàn)[12]，存在Fredholm算子S∈B(Ap)和冪零算子F∈B(Ap) 使得La=S+F.這也就意味著存在冪零元c∈A 使得Lc=F，因此，S=La-c. 故a-c為Fredholm元，令b=a-c，則b為Fredholm元，c為冪零元并且滿足a=b+c.

注2.16 設(shè)A為本原C*-代數(shù)，若a∈A，元素a的B-Fredholm譜被定義為：σBF(a)={λ∈C:a-λe不為B-Fredholm 元}. 回顧B(H)表示無限維復(fù)Hilbert空間H上的有界線性算子全體. 令Φg表示H上的廣義Fredholm算子全體，Φ表示H上的Fredholm算子全體，注意到

F(H)={T∈B(H):T+S∈Φg(?S∈Φg)}.

記BF(A)，Ns(A)分別為A中的B-Fredholm元的全體和Soc(A)中冪零元的全體. 作為一個(gè)直接的推廣，通過B-Fredholm元給出了本原C* 代數(shù)的Socle的刻畫. 具體的，假設(shè)A為一含有單位元的本原C*-代數(shù)并且滿足Γ(Ns(A))?N(Ap)，則

Soc(A)={x∈A:x+y∈BF(A)(?y∈BF(A))}=

{x∈A:σBF(x+y)=σBF(y)(?y∈A)},

其中Γ為A上的左正則表示，N(Ap)為Ap上的冪零算子全體.

2.4 依存于Banach代數(shù)同態(tài)的Fredholm理論

隨著Banach代數(shù)中的Fredholm、Weyl、Browder、B-Fredholm等理論的日漸完善，一些學(xué)者另辟蹊徑，關(guān)于Fredholm理論發(fā)展的新趨勢逐漸出現(xiàn)，例如Benjamin R和Mouton S[20]研究了序Banach代數(shù)中的Fredholm理論，還有一些學(xué)者研究了依存于Banach代數(shù)同態(tài)的Fredholm理論.

我們知道，在經(jīng)典的Fredholm理論中，設(shè)T∈B(X)，則T為Fredholm算子當(dāng)且僅當(dāng)π(T)=T+F(X)在商代數(shù)B(X)/F(X)中可逆，其中π為典則同態(tài). 受到此啟發(fā)，Robin Harte將同態(tài)π推廣到兩個(gè)Banach代數(shù)A和B之間的任意一個(gè)同態(tài)T，定義依存于同態(tài)T的Fredholm型元，并研究了它們的譜性質(zhì).

本小節(jié)總是假設(shè)A，B為含有單位元的Banach代數(shù)，T:A→B為A到B的有界同態(tài)并且T(1A)=1B，其中1A,1B分別為A和B中的單位元，記A-1，B-1分別為A和B中的可逆元全體. 容易驗(yàn)證T(A-1)?B-1.

下面介紹依存于同態(tài)的Fredholm元的定義.

定義2.17[22]設(shè)T:A→B為Banach代數(shù)A和B之間的同態(tài)且a∈A.

1) 若T(a)∈B-1，則稱a為Fredholm元.

2) 若a∈A-1+T-1(0)，即a可以寫為一個(gè)可逆元和ker(T)中元素的和，則稱a為Weyl元.

3) 若a∈A-1⊕T-1(0)={b+c:b∈A-1,c∈T-1(0),bc=cb}，則稱a為Browder元.

顯然，可逆元?Browder元?Weyl元?Fredholm元. 稱a∈A為幾乎處處可逆元若存在δ>0使得對任意的0<|s|<δ，有a-s可逆. 稱同態(tài)T:A→B有Riesz性質(zhì)若T(c)=0,0≠s∈C?c-s幾乎處處可逆.

Robin Harte對于特殊的同態(tài)，刻畫了A中的Browder元. 具體的，對任意的同態(tài)T:A→B，每個(gè)幾乎處處可逆的Fredholm元是Browder元. 反之，若T還滿足Riesz性質(zhì)，則Browder元也是幾乎處處可逆Fredholm元. 同樣的，類似于經(jīng)典的Fredholm 譜理論，文獻(xiàn)[22]也發(fā)展了依存于同態(tài)T的Fredholm元的譜理論. 稱σB(T(a))為a∈A的依存于同態(tài)T的Fredholm譜；Weyl譜被定義為WT(a)={s∈:a-s不為Weyl元}；Browder 譜被定義為{s∈:a-s不為Browder元}，根據(jù)文獻(xiàn)[22]，F(xiàn)redholm譜滿足譜映射定理，然而，Weyl譜和Browder譜并不滿足譜映射定理.

命題2.18[22,定理2]設(shè)a∈A，f:U→為在包含σA(a)的鄰域U上解析的函數(shù)，則存在如下包含關(guān)系.

2.5 序Banach代數(shù)中的Fredholm理論

若無特殊說明,本小節(jié)中的Banach代數(shù)A,B都是含有單位元1的復(fù)Banach代數(shù). Banach代數(shù)A的子集C被稱為代數(shù)錐，若C包含A的單位元并且在加法，乘法，正的數(shù)乘運(yùn)算下封閉. 注意到代數(shù)錐C可以誘導(dǎo)A上的一個(gè)序關(guān)系″≤″如下：對任意的a,b∈A，a≤b當(dāng)且僅當(dāng)b-a∈C. 具有由代數(shù)錐C所誘導(dǎo)的偏序的Banach代數(shù)A稱為序Banach代數(shù)，記作(A,C).A-1表示A中所有可逆元的全體，若T:A→B為Banach代數(shù)同態(tài)，記N(T)為T的零空間. 文獻(xiàn)[20]定義了序Banach代數(shù)中的上Weyl元和上Browder元，并研究了其譜映射定理.

定義2.19[20，定義2.0.2]令(A,C)為序Banach代數(shù)，T:A→B為Banach代數(shù)同態(tài)，元素a∈A被稱為

1)上Weyl元,若存在b∈A-1和c∈C∩N(T)使得a=b+c.

2)上Browder元,若存在b∈A-1和c∈C∩N(T)使得bc=cb，a=b+c.

可逆元?上Browder元?上Weyl元?Weyl 元?Fredholm元，

其中Fredholm、Weyl、Browder為第3.4節(jié)中定義的依存于同態(tài)T的Fredholm、Weyl、Browder元. 對于上Weyl元和上Browder元，也有對應(yīng)的攝動定理.

定理2.20[20，性質(zhì)3.2.12]設(shè)(A,C)為序Banach代數(shù)，T:A→B為Banach代數(shù)同態(tài),并且a∈A.

3 Fredholm理論的提升

關(guān)于Banach代數(shù)中的Fredholm理論，近兩年出現(xiàn)了比較新穎的思考切入點(diǎn). 2020年，Berkani M定義了Fredholm族，并考慮了其解析指標(biāo)及其相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而Mohammed Berkani在2021年研究了連續(xù)Fredholm理論，正則性和半正則性. 作者在博士論文中探討了C*-代數(shù)中A 的Fredholm A-模和Weyl A-模及其攝動[34].

本節(jié)主要介紹Banach代數(shù)中兩種提升Fredholm理論的方法. 一種是利用“升維”的思想，介紹Fredholm族及其研究現(xiàn)狀；另一種則是以指標(biāo)為切入點(diǎn)，利用K理論，給出C*- 代數(shù)A的Fredholm A-模和Weyl A-模及其攝動.

3.1 Fredholm族

令B(H)為無限維可分Hilbert空間H上的有界線性算子全體，K(H)，F(xiàn)(H)分別為B(H)中的緊算子全體和有限秩算子全體. 若T∈B(H),記N(T),R(T)分別為T的零空間和值域. 記fdim(H)為H的有限維子空間全體構(gòu)成的集合,fcod(H)為H的有有限余維的子空間全體. 在fdim(H)×fcod(H)上可以定義如下等價(jià)關(guān)系:

其中dim(codim)表示線性空間的維數(shù)(余維數(shù)). 令

Ψ:[fdim(H)×fcod(H)]/R→,

定義映射ΨX:[[fdim(H)×fcod(H)]/R]Xc→nc為其中記nc表示拓?fù)淇臻gX的連通分支的勢，并且本節(jié)中總假設(shè)X至多有可列個(gè)連通分支.

定義3.1[21，定義2.1]Fredholm族T:X→Fred(H)的解析指標(biāo)為ind(T)=ΨX(q(T)).

命題3.2[21，性質(zhì)2.5]設(shè)S，T∈C(X,Fred(H)).

1)若K為緊族，則T+K為Fredholm 族并且ind(T)=ind(T+K).

2)ST為Fredholm族且ind(ST)=ind(S)+ind(T)，其中ST被定義為(ST)x=SxTx.

定義3.3[21，定義2.9]令S,T∈C(X,Fred(H))，稱S和T是Fredholm同倫的，若存在映射Φ:[0,1]×X→B(H)使得對任意的(t,x)∈[0,1]×X，有Φ(0,x)=Sx，Φ(1,x)=Tx且Φ(t,x)為Fredholm算子.

Berkani M證明了若S,T為C(X,Fred(H))中兩個(gè)Fredholm同倫的Fredholm族，則ind(T)=ind(S).除此之外，文獻(xiàn)[21]也證明了Fredholm 族的解析指標(biāo)是連續(xù)的，并且為局部常值的. 隨后，它定義了相關(guān)的Fredholm 族譜并研究了Weyl型定理. 2021 年，Berkani M將C(X,B(H))推廣為C(X,B(X))，其中X為無限維的Banach空間，討論了C(X,B(X))中的Fredholm 族，正則和半正則性.

在經(jīng)典的Fredholm理論中，注意到指標(biāo)是定義在B(H)中的Fredholm算子全體上的取值屬于的連續(xù)映射，此時(shí)將B(H)推廣為一般的C*-代數(shù)A,推廣至加法群K0(A)，即為下節(jié)將要介紹的FredholmA-模和WeylA-模.

3.2 FredholmA-模

本節(jié)中總假設(shè)A為含單位元的C*-代數(shù)，K0(A)表示A的K0群，K0(A)表示A的K0同調(diào)群.

定義3.4[3]設(shè)A為含單位元的C*-代數(shù). FredholmA-模是指(H,ρ,F)，其中

1)H為Hilbert 空間,

2)ρ:A→B(H)是*表示(連續(xù)*代數(shù)同態(tài)),

3) 有界算子F：H→H滿足條件：?a∈A，ρ(a)F-Fρ(a)，ρ(a)(FF*-I)，ρ(a)(F*F-I)均為H上的緊算子.

特別的，如果對任意a∈A，有ρ(a)F=Fρ(a)，ρ(a)FF*=ρ(a)，ρ(a)F*F=ρ(a),則稱Fredholm模(H,ρ,F)為退化Fredholm模.

對于FredholmA-模,可以定義K0同調(diào)群. 首先定義加法，

(H,ρ,F)⊕(H′,ρ′,F′)=(H⊕H′,ρ⊕ρ′,F⊕F′).

稱FredholmA-模(H′,ρ′,F′)酉等價(jià)于FredholmA-模(H,ρ,F)，若有酉同構(gòu)U:H′→H使得ρ′=U*ρU及F′=U*FU. 設(shè)有連續(xù)映射F:[0,1]→B(H) 使得所有(H,ρ,F(t))為FredholmA- 模，則稱(H,ρ,F(0))算子同倫于(H,ρ,F(1)). 若記x為FredholmA-模，則設(shè)[x]={Fredholm A-模y:y～x}，由所有A上的FredholmT-模等價(jià)類[x]所構(gòu)成的集合K0(A)以⊕為加法成為交換群，稱為K0同調(diào)群.

取P∈Mn(A)，若(H,ρ,F)為FredholmT-模，則可證

為Fredholm算子，其中ρn:Mn(A)→B(H⊕H⊕…⊕H). 另外，對偶映射φ:K0(A)×K0(A)→被定義為([P],[H,ρ,F])→ind(T). 若以上所定義的算子T的指標(biāo)為0，則稱(H,ρ,F) 為關(guān)于K0(A)的Weyl A-模.

定義3.5[3]設(shè)(H,ρ,F)，(H,ρ,F′)為Fredholm A-模. 若對任意的a∈A,有(F-F′)ρ(a)為緊算子,則稱F為F′的緊攝動.

顯然T和T′為Weyl算子. 由Weyl算子全體是道路連通的，則存在φ:[0,1]→B(H)使得φ(0)=T，φ(1)=T′且φ(t)為Weyl算子.

令h(t)=ρ(P)-1(φ(t)-ρ(1-P)),其中t∈[0,1]，則h:[0,1]→B(H)是一個(gè)連續(xù)的道路，并且(H,ρ,h(t))為WeylA- 模. 故(H,ρ,F)，(H,ρ,F′)為算子同倫的. 由文獻(xiàn)[36]可知，其指標(biāo)在緊攝動下保持不變.