李小朋 (河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段，我們會(huì)遇到各種各樣的定義，而不同場(chǎng)合下的數(shù)學(xué)定義，有些名字很像甚至完全一樣，這并不是巧合，它們之間一定有著很深刻的聯(lián)系，我們要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，這對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定義有著很大的幫助，在實(shí)變函數(shù)中就有很多這樣的例子，以下是兩個(gè)實(shí)例.

一、集合序列上下極限和數(shù)列上下極限之間的比較

實(shí)變函數(shù)理論是集合論體系之下的，所以幾乎每本實(shí)變函數(shù)教材的開始都會(huì)介紹基本的集合論知識(shí)，其中一個(gè)重要概念就是集合序列的上下極限.我們先看看集合序列上下極限是如何定義的：

定義1(集合序列上下極限)：對(duì)于一串給定的集合A1,A2,…,An,…,我們稱

{x:有無窮多個(gè)n，使得x屬于An}

{x:只有有限多個(gè)n，使得x不屬于An}

很多同學(xué)都感覺這個(gè)概念太抽象，難以理解，而數(shù)學(xué)分析里正好也有一個(gè)相似的定義，就是數(shù)列的上下極限.在聯(lián)系這兩個(gè)定義之前，我們需要把數(shù)學(xué)分析中一些相關(guān)定義進(jìn)行拓展，這是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)分析體系，并沒有引入有關(guān)無窮大的計(jì)算，而在實(shí)變函數(shù)中需要引入無窮大的相關(guān)計(jì)算.

首先是上下確界的概念需要進(jìn)行拓展.數(shù)學(xué)分析中的確界存在公理說的是有上界的數(shù)集必有上確界，有下界的數(shù)集必有下確界，上下確界的定義局限于只能描述有界集合，這里我們可以把上下確界的定義拓展到無界集合，一個(gè)無上界集合的上確界定義為+∞，一個(gè)無下界集合的下確界定義為-∞.其次是單調(diào)收斂定理也可以拓展，原來單調(diào)收斂定理是單調(diào)有界數(shù)列必有極限，現(xiàn)在可以拓展為：任意單調(diào)數(shù)列都有極限，單調(diào)增加數(shù)列的極限就是這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)集的上確界，單調(diào)減小數(shù)列的極限就是這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)集的下確界.這樣數(shù)列上下極限的討論范圍就可以從數(shù)學(xué)分析中的有界數(shù)列變?yōu)橐话銛?shù)列.

則αn↑,βn↓.由于單調(diào)數(shù)列一定有極限，所以

分別稱為數(shù)列{xn}n≥1的下極限和上極限.

首先最容易直觀感受集合序列極限變化過程的就是單調(diào)集合序列，雖然對(duì)于集合來說缺少了上下確界這個(gè)定義的輔助，但我們同樣可以對(duì)集合實(shí)現(xiàn)上下確界的內(nèi)涵邏輯，數(shù)集的下確界的直觀解釋是最大下界，對(duì)于集合序列來說其最大下界恰好可以用交運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，一列集合的交集正好比每一個(gè)集合都“小”，而且是最“大”的那個(gè)比每個(gè)集合都“小”的集合.相應(yīng)的，數(shù)集的上確界的直觀解釋是最小上界，對(duì)于集合序列來說其最小上界恰好可以用并運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，一列集合的并集正好比每一個(gè)集合都“大”，而且是最“小”的那個(gè)比每個(gè)集合都“大”的集合，這樣我們就可以定義單調(diào)集合序列的極限了.

這樣最簡(jiǎn)單的集合序列情形我們就刻畫好了.

定義2(集合序列上下極限)：設(shè){An}n≥1是一個(gè)集合序列，

由于單調(diào)集合序列一定有極限，所以

分別稱為集合序列{An}n≥1的下極限和上極限.

這個(gè)版本的集合上下極限定義和原始定義在形式上有所區(qū)別，但本質(zhì)上是等價(jià)的，下面我們來證明定義“1”和定義2這兩個(gè)版本的集合序列上下極限的定義等價(jià)：

定理：對(duì)于一串給定的集合A1,A2,…,An,…,都有下面兩式成立：

證明：

先證明第一個(gè)等式：對(duì)任意x屬于左邊集合，則有無窮個(gè)N，使得X屬于An，因此對(duì)任意大于等于1的自然數(shù)N，N之后一定有自然數(shù)K大于等于N，使得X屬于Ak，如若不然，就和已知有無窮多個(gè)An包含X矛盾，即X屬于右邊的集合，所以左邊的集合包含于右面的集合；另一方面，對(duì)任意X屬于右邊集合，由交集和并集的定義，對(duì)任意大于等于1的自然數(shù)N，都存在大于等于N的自然數(shù)K，使得X屬于Ak，按此邏輯，對(duì)于N=1，應(yīng)存在n1，使得X屬于An1，對(duì)于N等于n1+1，應(yīng)存在n2大于n1，使得X屬于An2，依次類推，我們可得到數(shù)列n1

再來證明第二個(gè)等式：對(duì)任意X屬于左邊的集合，則至多有有限個(gè)An不包含X，假設(shè)一共有I個(gè)An不包含X，按下標(biāo)從小到大順序記為An1，An2，…，Ani，這樣當(dāng)K大于ni時(shí)，一定有X屬于Ak，即X屬于等式右邊的集合，所以等式左邊的集合包含于等式右邊的集合；另一方面，對(duì)任意X屬于等式右邊的集合，由交集和并集的定義可知，存在N使得，對(duì)任意N大于等于N，必有X屬于An，這說明只有當(dāng)N小于N時(shí)才可能有X不屬于An，即至多有有限個(gè)An不包含X，所以等式右邊的集合也包含于等式左邊的集合，綜上，等式兩邊集合相等.

相信通過上面定義的比較，同學(xué)們通過定義2更容易理解和記憶集合序列上下極限這個(gè)相對(duì)比較抽象的數(shù)學(xué)定義.

二、函數(shù)列一致收斂，函數(shù)一致連續(xù)以及函數(shù)族一致可積之間的比較

實(shí)變函數(shù)中的EGOROFF定理給出了函數(shù)列幾乎處處收斂如何轉(zhuǎn)化為一致收斂的方法，其中函數(shù)列一致收斂和函數(shù)一致連續(xù)以及勒貝格積分下的函數(shù)族一致可積這三個(gè)定義中都提到了“一致”，它們之間有沒有什么聯(lián)系呢？雖然前兩個(gè)定義在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中就已經(jīng)學(xué)過了，可大多數(shù)同學(xué)對(duì)這兩個(gè)定義理解得都不到位，再加上更難理解的函數(shù)族一致可積這個(gè)新定義，更是不知所云.其實(shí)通過定義的比較，找出三者內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，這對(duì)理解這三個(gè)定義非常有幫助.我們先看看這三個(gè)定義的具體描述.

定義3(函數(shù)列一致收斂) 設(shè)函數(shù)列{fn(x)}n≥1和函數(shù)f(x)定義在閉區(qū)間[a,b]上，如果對(duì)?ε>0，都?N≥1，使得對(duì)?x∈[a,b]，當(dāng)n≥N時(shí)，有|fn(x)-f(x)|<ε，

則稱函數(shù)列{fn(x)}n≥1在[a,b]上一致收斂于f(x).

定義4(函數(shù)一致連續(xù)) 設(shè)函數(shù)f(x)定義在閉區(qū)間[a,b]上，如果對(duì)?ε>0，都?δ>0，使得對(duì)?x∈[a,b]，?y∈[a,b]，當(dāng)|x-y|<δ時(shí)，有|f(x)-f(y)|<ε，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上一致連續(xù).

這三個(gè)定義看上去有些相似，但又有很大差別，但事實(shí)上，當(dāng)我們選對(duì)觀察角度時(shí)，三者的思維邏輯是完全一樣的.所有收斂都會(huì)涉及三個(gè)問題：第一是收不收斂？第二是收斂到誰？第三是收斂的速度是多少？我們現(xiàn)在研究的這三個(gè)定義中關(guān)鍵詞“一致”，主要是和第三個(gè)問題相關(guān)，當(dāng)我們站在收斂速度這個(gè)角度來觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三者之間的聯(lián)系.

其次，我們?cè)賮砜春瘮?shù)一致連續(xù)這個(gè)定義，我們只需要把定義中的符號(hào)稍微換一下，我們馬上就能發(fā)現(xiàn)兩者的聯(lián)系.

定義4*(一致連續(xù))設(shè)函數(shù)f(x)定義在閉區(qū)間[a,b]上，如果對(duì)?ε>0，都?δ>0，使得對(duì)?x0∈[a,b]，?y∈[a,b]，當(dāng)|x-y|<δ，有|f(x0)-f(y)|<ε，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上一致連續(xù).

最后，我們來看函數(shù)族一致可積這個(gè)定義，函數(shù)族一致可積的另一個(gè)叫法是積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)族，來源于可積函數(shù)的絕對(duì)連續(xù)性，這里所說的“連續(xù)”和函數(shù)的連續(xù)在形式上有區(qū)別，但本質(zhì)邏輯是一樣的，它是指當(dāng)積分區(qū)域A的測(cè)度趨于0時(shí)，f(x)的絕對(duì)值在A上的積分也相應(yīng)地趨于0，這里我們可以把連續(xù)函數(shù)的概念抽象成一個(gè)連續(xù)映射φ來理解，把自變量對(duì)應(yīng)積分區(qū)域A的測(cè)度值，而把f(x)的絕對(duì)值在A上的積分運(yùn)算值對(duì)應(yīng)映射本身，因?yàn)楫?dāng)積分區(qū)域測(cè)度為0時(shí)，積分值一定是0，所以我們刻畫的這個(gè)映射φ在自變量為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的映射值也是0，即“φ(0)=0”，當(dāng)F為可積函數(shù)時(shí)，由可積函數(shù)的絕對(duì)連續(xù)性定理，當(dāng)自變量(也就是A的測(cè)度值)趨于0時(shí)，映射φ的像趨于φ(0)=0，這和普通函數(shù)在0點(diǎn)的連續(xù)性是一樣的，因此才有“連續(xù)”這個(gè)叫法.再回到定義5，對(duì)任意f∈F可看出當(dāng)mA趨于0時(shí)，有f(x)的絕對(duì)值在A上的積分趨于0，但是不對(duì)不同的F，積分值趨于0的速度是不一樣的，這個(gè)速度正是由定義中的ε和δ的配比關(guān)系所決定的，相同ε時(shí)，可取得的δ越大，收斂速度越快，反之則越慢，而定義5中的ε和δ是可以控制每一個(gè)F的收斂速度，也就是找到了一個(gè)所謂的“最慢收斂速度”，這就和前面兩個(gè)定義中“一致”完全對(duì)應(yīng)上了，事實(shí)上數(shù)學(xué)里有很多和“一致”相關(guān)的定義，基本上都是這個(gè)邏輯，所謂一致，一定是和無窮個(gè)收斂速度相關(guān)，在這無窮個(gè)收斂速度里如果能找到一個(gè)最慢的收斂速度，也就是前面反復(fù)提到的那個(gè)“控制速度”，那就是“一致”的，相信經(jīng)過這樣的比較，學(xué)生會(huì)對(duì)這三個(gè)定義有了更加深刻的認(rèn)識(shí).