單 堯 (廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué),廣東 中山 528400)

高中數(shù)學(xué)是中學(xué)的一門非常重要的基礎(chǔ)性課程，同時(shí)也是一門比較容易丟失分?jǐn)?shù)的學(xué)科.這是因?yàn)檫@門學(xué)科本身具有一定的學(xué)習(xí)難度，再加上對(duì)學(xué)生也做出了較高的思維要求.這也就容易出現(xiàn)這樣一種情況：當(dāng)學(xué)生解決不出某一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生就會(huì)對(duì)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)產(chǎn)生出一定的消極情緒.而數(shù)學(xué)知識(shí)之間是具有一定的聯(lián)系性和連貫性的，高中數(shù)學(xué)教師可以基于這一特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行合理的“題根”模式教學(xué)，幫助學(xué)生正確找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的技巧，從而有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得到明顯提升.

一、題根教學(xué)法的概述

“詞根”這個(gè)詞最初是在英語(yǔ)教學(xué)中產(chǎn)生的，其含義比較固定，掌握了詞根，就能迅速記住英語(yǔ)詞匯.而高中數(shù)學(xué)習(xí)題的題干則是由幾個(gè)已知的條件和最后的結(jié)論構(gòu)成的，這些已知的條件，也就是數(shù)學(xué)問(wèn)題的“題根”.很多數(shù)學(xué)練習(xí)看似不同，其實(shí)都使用了同類的解題方式.我們把課本上的例題、習(xí)題，或一系列的變形、擴(kuò)展、提煉，最后可以被廣泛地運(yùn)用于解題的結(jié)論，統(tǒng)稱為“題根”.若是能抓住這些數(shù)學(xué)習(xí)題的題根展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生就能找到該類型數(shù)學(xué)習(xí)題的大致解決思路，這些數(shù)學(xué)習(xí)題也就可以迎刃而解.而題根可以是一個(gè)已知條件，也可以是一個(gè)數(shù)學(xué)公式，或者是一個(gè)數(shù)學(xué)定義等等，它是一類具有典型性和代表性的問(wèn)題.作為一名高中數(shù)學(xué)教師，在實(shí)施題根教學(xué)法的過(guò)程中，必須帶領(lǐng)學(xué)生正確找到題根，學(xué)生才能真正領(lǐng)會(huì)到該教學(xué)方法的真諦，通過(guò)這種方式，學(xué)生們才能真正體會(huì)到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè).

二、題根教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)價(jià)值

(一)題根教學(xué)法有利于幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

很多高中數(shù)學(xué)教師在選擇數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候，往往習(xí)慣于選擇一些自己所熟悉的或者難度較高的數(shù)學(xué)習(xí)題，但是這些習(xí)題有時(shí)候并不是學(xué)生所需要的.這樣的數(shù)學(xué)習(xí)題選擇，不但讓這些數(shù)學(xué)習(xí)題失去了本身原有的教學(xué)價(jià)值，而且會(huì)浪費(fèi)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)這門課程的時(shí)間和精力，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果不理想.而題根教學(xué)法的實(shí)施，則可以幫助教師在數(shù)量廣大的數(shù)學(xué)習(xí)題中找到既促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)完成又滿足學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求的數(shù)學(xué)習(xí)題.教師通過(guò)務(wù)實(shí)基礎(chǔ)選擇數(shù)學(xué)習(xí)題，這樣不僅可以幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且可以讓學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題思路.

比如，在學(xué)習(xí)“棱錐”的時(shí)候：首先，教師可以為學(xué)生選擇一道求三棱錐體積的習(xí)題，并且令學(xué)生獨(dú)立思考解決該習(xí)題的思路.其次，教師不要急于說(shuō)出正確的解題方法，而是讓學(xué)生舉手分享自己的內(nèi)心想法.有的學(xué)生可能會(huì)舉手說(shuō)：“我認(rèn)為可以用定義法來(lái)解決.”有的學(xué)生可能還會(huì)舉手補(bǔ)充：“我認(rèn)為還可以用分割法來(lái)解決.”最后，教師可以向?qū)W生講解所有的解題思路，并且將學(xué)生所做出的回答進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生了解到解決這道習(xí)題的秘訣在于找到三棱錐中的垂直關(guān)系，這是錐體體積習(xí)題的題根，同時(shí)也是解決錐體體積習(xí)題的重要思路.通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生也就可以正確認(rèn)識(shí)到錐體體積習(xí)題的題根，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)得到更好的鞏固.

(二)題根教學(xué)法有利于幫助學(xué)生形成靈活思維

變式訓(xùn)練，是高中數(shù)學(xué)這門課程中的重要教學(xué)模式之一，但變式訓(xùn)練并不是簡(jiǎn)單地將某一個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)題的數(shù)據(jù)進(jìn)行修改.一個(gè)好的數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練應(yīng)該是對(duì)某一類數(shù)學(xué)習(xí)題的再次鞏固和升華，更是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種開(kāi)拓.而“題根”教學(xué)方法能使高中數(shù)學(xué)教師更好地進(jìn)行“變式”的練習(xí).教師可以將某個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)題的題根作為引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)探究的起點(diǎn)，隨之而來(lái)的將會(huì)是更多的數(shù)學(xué)習(xí)題，使學(xué)生可以從中得出更加深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí).學(xué)生要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)這門課程，本身就必須形成更加靈活的思維，才能更加輕松地拿下這門課程.

比如，依舊以“棱錐”為例子.首先，教師可以將上面求三棱錐體積的習(xí)題進(jìn)行改變，讓學(xué)生求取該三棱錐體積的最大值，并且令學(xué)生思考該習(xí)題有幾種解決方法.其次，教師可以在學(xué)生思考的過(guò)程中進(jìn)行提點(diǎn)：“想一想，這道習(xí)題與我們之前所講解的是否有相似之處？它的題根是什么呢？”這時(shí)候，有的學(xué)生可能就會(huì)從中受到啟發(fā)：“我認(rèn)為首先應(yīng)該列出求三棱錐體積的公式，找到其中的變量，這樣才可以求出該三棱錐體積的最大值.”最后，教師就可以向?qū)W生公布所有可能讓三棱錐體積最大的情況，并且再次為學(xué)生留出獨(dú)立思考的時(shí)間，讓學(xué)生可以自主確定該變式習(xí)題的正確答案.通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也將會(huì)得到更好的培養(yǎng).

(三)題根教學(xué)法有利于幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)難題

高中數(shù)學(xué)這門課程的講解肯定需要用到數(shù)量眾多的數(shù)學(xué)難題，但是，直接將這些數(shù)學(xué)難題擺放在學(xué)生的眼前，學(xué)生往往很難做到一下子完全接受，甚至還會(huì)因此而產(chǎn)生出一定的消極情緒.而題根教學(xué)法，則可以幫助學(xué)生克服掉這些數(shù)學(xué)難題.教師可以找出某一題根，將其作為數(shù)學(xué)難題的一個(gè)跳板，為學(xué)生做好鋪墊.當(dāng)學(xué)生有了之前的數(shù)學(xué)鋪墊之后，學(xué)生也就可以自然而然地過(guò)渡到數(shù)學(xué)難題的解題思路中.這樣不僅可以讓學(xué)生產(chǎn)生出克服數(shù)學(xué)難題的成就感和自豪感，而且可以有效提升學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的參與度，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)也就會(huì)直線上升.

比如，依舊以“棱錐”為例子.首先，教師可以選擇一道歷年求取三棱錐體積的數(shù)學(xué)真題，由于有了之前的鋪墊，相信學(xué)生對(duì)該類型的數(shù)學(xué)習(xí)題已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ).其次，教師可以讓學(xué)生之間互相討論這道求三棱錐體積數(shù)學(xué)真題的解決方案，增進(jìn)學(xué)生之間的數(shù)學(xué)交流.最后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理以及精確的計(jì)算而得出這道習(xí)題的正確答案.通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生也就會(huì)建立起克服數(shù)學(xué)難題的自信心.

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“題根”教學(xué)法的實(shí)踐途徑

(一)正確尋找題根，發(fā)掘本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)教師要想讓題根教學(xué)法能夠發(fā)揮出真正的教學(xué)價(jià)值，第一步要做的就是帶領(lǐng)學(xué)生正確尋找數(shù)學(xué)習(xí)題的題根，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘出數(shù)學(xué)習(xí)題的本質(zhì).當(dāng)學(xué)生能夠充分掌握到某類型數(shù)學(xué)習(xí)題的題根之后，他們也就可以將這些數(shù)學(xué)習(xí)題輕松解決掉.

(二)展開(kāi)多種變式，加強(qiáng)鍛煉

當(dāng)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)如何正確尋找數(shù)學(xué)習(xí)題的題根之后，為了幫助學(xué)生更好地鞏固，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該靈活地展開(kāi)多種數(shù)學(xué)變式教學(xué)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維鍛煉.當(dāng)學(xué)生可以輕松地解決數(shù)量較多的數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力也就會(huì)得到相應(yīng)的提高.

(三)引導(dǎo)總結(jié)題根，深化認(rèn)知

總結(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程過(guò)程中不可或缺的重要部分.單單只靠尋找題根和變式教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)是不完整的，甚至還會(huì)產(chǎn)生出邊學(xué)邊忘的尷尬情景.因此，高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)題根，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題根的認(rèn)知，以此促使學(xué)生可以正確認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)典型習(xí)題為他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的巨大價(jià)值.

比如，依舊以“正弦定理和余弦定理”為例.首先，教師可以讓學(xué)生回顧剛剛的解題過(guò)程，并且進(jìn)行一定的反思，讓學(xué)生找出剛剛的不足之處.其次，教師可以讓學(xué)生將之前所做過(guò)的習(xí)題擺放在一起進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些習(xí)題之間的遞進(jìn)性.最后，教師可以讓學(xué)生總結(jié)解決這些習(xí)題所用到的題根，以此來(lái)幫助學(xué)生加深印象，使學(xué)生在今后遇到正弦定理或者余弦定理習(xí)題的時(shí)候，可以有更加明確的解題思路.所以，教師通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)題根進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)課程的奧妙之處，并且提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題方法的認(rèn)識(shí)以及運(yùn)用能力.

(四)有效設(shè)計(jì)范例——題根，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力

有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，表面上看起來(lái)很不一樣，但實(shí)際上所用到的方法卻是類似的.在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們?nèi)裟懿蹲降竭@些典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并將其作為范例形式加強(qiáng)訓(xùn)練，那么在面對(duì)成千上萬(wàn)的數(shù)學(xué)題時(shí)，學(xué)生將不再感到不知所措，而是能夠迅速地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到關(guān)鍵的題根，從而掌握問(wèn)題的精髓，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力.那么題根該從哪里探尋呢？

1.公式題根

比如，已知tana=2,

由于已知分子、分母是齊次式，所以可直接除以cosa，轉(zhuǎn)換為僅包含tana的式子，即進(jìn)行求解，得到8.

在上述范例中，我們不斷地抓住來(lái)自公式的題根，從而掌握問(wèn)題的本意.在無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)公式中，每一個(gè)公式都可以作為解題的一個(gè)新的增長(zhǎng)點(diǎn)，產(chǎn)生新的問(wèn)題和知識(shí).在此過(guò)程中，我們不能忽略公式的變式，可以看出，公式和公式的變形形式是題根的一個(gè)重要因素和來(lái)源.

2．方法題根

當(dāng)解答一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)有一定的解法和步驟，如果能熟練地掌握和運(yùn)用這些解法和步驟，當(dāng)學(xué)生遇到這一類的問(wèn)題時(shí)，就可以很好地解決問(wèn)題了.

比如，(1)計(jì)算y=x3-x+3在(1，3)處的切線方程.在某點(diǎn)處的切線方程中，其關(guān)鍵字是“在”，表示此點(diǎn)為切點(diǎn)，因此該直線是唯一的.過(guò)某點(diǎn)處的切線方程中，其關(guān)鍵字是“過(guò)”，說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)未必就是切點(diǎn)，所以這條線并非唯一的.在實(shí)際教學(xué)中，可將此解法分成如下步驟：(1)設(shè)切點(diǎn)；(2)寫切線方程；(3)代入所過(guò)點(diǎn)；(4)求解方程，得到切點(diǎn)坐標(biāo)；(5)從切點(diǎn)求得切線方程，最終得到2x-y+1=0，或x+4y-13=0.

這兩個(gè)問(wèn)題是高中階段數(shù)學(xué)切線問(wèn)題中的一個(gè)重要考題，其重點(diǎn)是對(duì)特征詞的判斷和對(duì)切點(diǎn)的判斷，是一種很明顯的方法類題根.在日常教學(xué)中，通過(guò)幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)關(guān)鍵字，并能正確理解具體的操作步驟，可以減少學(xué)習(xí)上的錯(cuò)誤.

上面的例子統(tǒng)稱為“范例題根”.通過(guò)對(duì)老師所提供的范例的觀察，學(xué)生可以對(duì)傳統(tǒng)的解題方式進(jìn)行研究，從而使問(wèn)題的解法更易于由學(xué)生進(jìn)行歸納和提煉.與傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式相比較，范例學(xué)習(xí)與題根教學(xué)密切相關(guān)，其優(yōu)點(diǎn)在于：(1)范例學(xué)習(xí)中，采用標(biāo)準(zhǔn)范例，提出了恰當(dāng)?shù)慕忸}方式，讓學(xué)生更注重知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，避免出現(xiàn)問(wèn)題的錯(cuò)誤解決方式，不但節(jié)省了時(shí)間，而且可以緩解學(xué)生在學(xué)習(xí)中的壓力，幫助他們提高學(xué)習(xí)效果.(2)大部分學(xué)生會(huì)選擇對(duì)老師所給出的范例進(jìn)行分析，而非依靠自己的復(fù)雜無(wú)章的計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題，所以，范例學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生更輕松地獲得知識(shí).教師在教學(xué)中要為學(xué)生提供大量的學(xué)習(xí)、研究和模仿的范例，以及研究怎樣設(shè)計(jì)范例“題根”.(3)范例學(xué)習(xí)能夠最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，改變他們的被動(dòng)接受習(xí)慣，所以，范例學(xué)習(xí)能夠加速學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移，幫助他們高效率地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(五)善于發(fā)掘表面上簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，深入思考尋找“根”

從簡(jiǎn)單到復(fù)雜是解決問(wèn)題的一條有效途徑.在實(shí)際的解題教學(xué)中，不少老師都對(duì)這種重要的教學(xué)方式未給予重視，甚至存在著不以為然的態(tài)度.有些學(xué)生對(duì)于覺(jué)得很簡(jiǎn)單的問(wèn)題就會(huì)馬上入手解答.有些老師在教學(xué)中，對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題往往點(diǎn)到為止、一帶而過(guò)，覺(jué)得“題目太簡(jiǎn)單，沒(méi)什么好講解的”.但是，復(fù)雜的本質(zhì)來(lái)源于簡(jiǎn)單，不管是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，或者培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思考和探索的能力，都是從簡(jiǎn)單開(kāi)始的.對(duì)一些看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題目，教師要善于激活學(xué)生的思維之門，將學(xué)生的主觀能動(dòng)性調(diào)動(dòng)起來(lái)，使其經(jīng)過(guò)必要的“變化”來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的普遍形式，從而在深層思考中尋“根”.

例如：在一節(jié)關(guān)于數(shù)列的練習(xí)中，教師會(huì)給學(xué)生提供下列練習(xí)：

如果是平時(shí)，許多教師都只是簡(jiǎn)單地解答這道題，而那些有著豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，在看到問(wèn)題后，首先會(huì)深思：“這道題很容易，但如何才能將‘簡(jiǎn)單’教得更有效？”對(duì)此，在教學(xué)中融入“以學(xué)定教”與“以教導(dǎo)學(xué)”教學(xué)理念，即教師不能包攬、代勞，要避免越俎代庖，而要根據(jù)學(xué)情來(lái)確定教法；同時(shí)，教學(xué)要避免停留于表面，即在傳授知識(shí)、滲透數(shù)學(xué)思維和方法的過(guò)程中，要進(jìn)行循循善誘的引導(dǎo).為此，可以采用以下幾種教學(xué)方式：

教師在確定學(xué)生們對(duì)這些一般性結(jié)論和探究方式有了更深入的了解之后，就給他們安排了一個(gè)新的任務(wù)：利用已學(xué)“題根”，學(xué)習(xí)小組間進(jìn)行編題、解題活動(dòng)，回答別人編寫的問(wèn)題，并做出相應(yīng)的評(píng)價(jià).在這種情況下，“題根”的有效教學(xué)使學(xué)生更積極地參與到數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際操作中，使有關(guān)的“聯(lián)成體”“串成線”“生成根”的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到了進(jìn)一步了解,意識(shí)到題根在數(shù)學(xué)中的重要作用.

四、結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，題根教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)課堂上的實(shí)施已經(jīng)變得尤為重要了.因此，高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)施該教學(xué)方法的過(guò)程中要帶領(lǐng)學(xué)生正確尋找題根，使學(xué)生可以理清楚這類數(shù)學(xué)習(xí)題的解決方法，學(xué)生也就不會(huì)像一個(gè)無(wú)頭蒼蠅一樣，同類題目做了很多遍，稍微變化一點(diǎn)，就又不會(huì)做了.教師要對(duì)這一類型的題根展開(kāi)適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，從而幫助學(xué)生跳出數(shù)學(xué)題海，在舉一反三中找到學(xué)好高中數(shù)學(xué)課程的新思路.