陳誼

摘 要：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求高中生重點(diǎn)掌握的數(shù)學(xué)思想?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的理解，對數(shù)形結(jié)合思想蘊(yùn)含的想象能力提出較高的要求。數(shù)學(xué)教育改革要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本思想方法，教學(xué)中要將數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)作為教學(xué)任務(wù)。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，教師要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想能力，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。以往數(shù)學(xué)教學(xué)中很多教師讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，但學(xué)生解題思路未達(dá)到預(yù)期效果，因此，教師需要研究高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題方法，研究闡述高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想方法的作用，分析數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的問題，提出高中數(shù)學(xué)解題數(shù)形結(jié)合法的有效教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題法;教學(xué)策略

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)形是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要方面，數(shù)形結(jié)合思想是基本的數(shù)學(xué)思想?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，逐步提高解決問題的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感知，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)對數(shù)形結(jié)合思想的重視，建立代數(shù)幾何的關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的體現(xiàn)。近年來，我國高考數(shù)學(xué)試題日益關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握，試卷運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想命題形式靈活，如果教師在教學(xué)中存在重結(jié)果輕過程，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對類似題目只能機(jī)械模仿，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題存在構(gòu)圖不精確等現(xiàn)象，因此，數(shù)學(xué)思想方法解題教學(xué)成為數(shù)學(xué)教育研究熱點(diǎn)。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想解題教學(xué)研究

數(shù)形結(jié)合思想貫穿于高中數(shù)學(xué)知識體系中，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[1]。數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題提供更好的解題思路。隨著高考改革不斷深化，大多數(shù)學(xué)生為掌握相關(guān)知識，采取“題?！睉?zhàn)術(shù)，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率非常迫切。需要讓學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)思想通過數(shù)學(xué)知識加工提煉，對學(xué)生學(xué)習(xí)具有重要指導(dǎo)意義。數(shù)形結(jié)合具有很高的教學(xué)價(jià)值，是高考的重要考點(diǎn)，研究高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)，需要深刻認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想方法的作用和價(jià)值。

（一）數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)與具體的形結(jié)合解決問題的思想[2]?！皵?shù)”是數(shù)學(xué)公式等，“形”是幾何圖形等，利用代數(shù)解釋幾何問題，使抽象的數(shù)學(xué)問題更加直觀。數(shù)形是數(shù)學(xué)研究的重要概念，數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，主要包括數(shù)形結(jié)合、化歸分類思想等，教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想才能內(nèi)化知識，提高數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力。數(shù)形之間相輔相成，相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想提供解題方法是解題的指導(dǎo)思想，是抽象與形象思維的完美結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決方法最優(yōu)化[3]。

1964年，我國數(shù)學(xué)家華羅庚首次提出數(shù)形結(jié)合概念，定義數(shù)形結(jié)合是富有數(shù)形特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，用圖形性質(zhì)說明數(shù)的事實(shí)[4]。數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)學(xué)語言與直觀圖像結(jié)合，可以使代數(shù)問題幾何化。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)界得到認(rèn)可，學(xué)者對數(shù)形結(jié)合思想的研究不斷深入。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)造具體形象的幾何圖形，利用數(shù)的準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)性解釋圖形信息。數(shù)軸的建立使人們對數(shù)形統(tǒng)一產(chǎn)生新的認(rèn)識，笛卡爾將數(shù)軸拓展到平面直角坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對應(yīng)，坐標(biāo)系有對應(yīng)點(diǎn)，代數(shù)中的方程與坐標(biāo)系曲線有對應(yīng)關(guān)系，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何學(xué)科是代數(shù)與幾何結(jié)合的產(chǎn)物，達(dá)成數(shù)形的統(tǒng)一。解析幾何出現(xiàn)后數(shù)形關(guān)系密切，產(chǎn)生微積分等學(xué)科[5]。

（二）高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)價(jià)值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出新的要求，強(qiáng)調(diào)對基本數(shù)學(xué)思想的理解掌握，要求教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)例中抽象數(shù)學(xué)概念[6];重視邏輯運(yùn)算，處理計(jì)算器使用等能力;隨著教育教學(xué)改革的深入，要與時(shí)俱進(jìn)改進(jìn)教學(xué)模式，充分體現(xiàn)新課改的理念，新課程將數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)教學(xué)重要思想，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想具有重要作用，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想具有輔助解題等價(jià)值。

數(shù)形結(jié)合教育價(jià)值在高中數(shù)學(xué)解題中體現(xiàn)突出，圖形整體性特征可以全面把握事物要素，數(shù)形結(jié)合思想具有較強(qiáng)的教學(xué)功能，學(xué)生處理問題可以將抽象與形象問題轉(zhuǎn)化。推行直觀性，使抽象問題直觀化，數(shù)形結(jié)合使數(shù)學(xué)問題數(shù)量關(guān)系與幾何意義溝通轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合溝通高中數(shù)學(xué)數(shù)形方面知識聯(lián)系，對提高解題能力具有獨(dú)特作用。數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問題簡化，實(shí)現(xiàn)數(shù)形相互滲透[7]。高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想具有導(dǎo)向簡化與完善功能，單純利用圖形直觀性不能解決某些問題，需要利用數(shù)的要素解決。數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，利用數(shù)形結(jié)合直觀性特點(diǎn)可以啟迪學(xué)生思維，使解決問題途徑明朗。

二、高中數(shù)學(xué)解題數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)現(xiàn)狀

數(shù)形結(jié)合法具有直觀形象特點(diǎn)，但其直觀性使學(xué)生忽視精確的計(jì)算，快速性使學(xué)生忽視嚴(yán)密性，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題表現(xiàn)出數(shù)形分離，數(shù)形轉(zhuǎn)化途徑不恰當(dāng)，解題轉(zhuǎn)化失真等現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生不善于用數(shù)表達(dá)形的特征，使得數(shù)形信息不能有效溝通。由于數(shù)形結(jié)合目標(biāo)不明確，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中數(shù)形結(jié)合應(yīng)用存在許多問題，表現(xiàn)為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想意識不強(qiáng)，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解題易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（一）高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)中的問題

數(shù)形結(jié)合突破口是解決問題的關(guān)鍵，不少學(xué)生不能找到解題突破口。當(dāng)前高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)中存在學(xué)生對思想方法理解片面，對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意識不強(qiáng)等問題。學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意識不強(qiáng)體現(xiàn)在數(shù)形分離上，面對問題僅從單方面考慮，未從數(shù)形結(jié)合思想角度解答，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解題易出現(xiàn)錯(cuò)誤，包括數(shù)形相互表征問題、數(shù)形轉(zhuǎn)化不等價(jià)等。數(shù)形轉(zhuǎn)化相互表征問題是學(xué)生不擅長用數(shù)的形式關(guān)系表示形的特征，解決問題時(shí)難以將對應(yīng)表征統(tǒng)一協(xié)調(diào)。

高中數(shù)學(xué)解題數(shù)形結(jié)合教學(xué)問題主要原因包括：教師教學(xué)中強(qiáng)調(diào)不夠，學(xué)生不能有意識解決問題，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識不夠深刻，難以將數(shù)形結(jié)合思想落實(shí)到解題中。數(shù)形轉(zhuǎn)化要求學(xué)生具有較高的思維能力，學(xué)生難以找到突破口，原因是數(shù)學(xué)思想要求學(xué)生個(gè)人能力達(dá)到一定水平。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合是借助幾何圖像解決代數(shù)問題，對數(shù)形結(jié)合思想理解不夠。學(xué)生遇到幾何函數(shù)等問題時(shí)意識到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，但對數(shù)列、向量等問題沒有應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想意識。高中生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想常見錯(cuò)誤包括作圖不精確、不完整等。

（二）高中數(shù)學(xué)解題數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)問題分析

高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題思想教學(xué)問題有多種原因，主要包括：學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣與教師教學(xué)方法等主客觀原因。由于男女生思維方式不同，對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力存在差異。相對女生來說，男生對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力較強(qiáng)，更擅長利用數(shù)形結(jié)合思想解題。

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容繁多復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)節(jié)奏快，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣可以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績。經(jīng)常對數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)可以更好地掌握數(shù)形結(jié)合思想，大多數(shù)學(xué)生僅將錯(cuò)題進(jìn)行反思，多數(shù)學(xué)生缺乏反思總結(jié)習(xí)慣，對數(shù)學(xué)思想方法缺乏學(xué)習(xí)應(yīng)用意識。教師要注意滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。教師對數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)情況直接影響學(xué)生的掌握情況，教師如果僅在習(xí)題中滲透數(shù)形結(jié)合思想，就將導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識停留于簡單的題型層面，使得學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力欠缺。因此，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，激發(fā)其對學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使其對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)。

三、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)策略

現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以為社會(huì)各行業(yè)的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)，是國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的巨大動(dòng)力。隨著社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)應(yīng)用日益廣泛。數(shù)學(xué)教學(xué)核心是思維教學(xué)，新課改的深入推進(jìn)，更加重視對學(xué)生思維能力的考查和培養(yǎng)。教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，高中數(shù)學(xué)解題法教學(xué)可以在集合、函數(shù)、立體幾何等多方面應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想解題教學(xué)要求教師更新教學(xué)理念，突出數(shù)形結(jié)合地位，加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題錯(cuò)誤分析。

（一）高中數(shù)學(xué)解題法數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)要求

高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)需要積極尋求數(shù)學(xué)思想應(yīng)用滲透途徑，挖掘數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)典素材，歸納數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用原則。數(shù)學(xué)思想是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的精髓，要求教師重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，重視教學(xué)中對數(shù)形結(jié)合思想的滲透。教師要擺脫傳統(tǒng)教學(xué)模式的束縛，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將數(shù)形結(jié)合思想落實(shí)到教學(xué)中。如在新課講授、習(xí)題鞏固等教學(xué)環(huán)節(jié)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)興趣，完成滲透數(shù)形結(jié)合教學(xué)任務(wù)。

高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容由數(shù)學(xué)知識與思想組成，數(shù)學(xué)思想隱含在多個(gè)知識模塊中，需要教師深度挖掘教材內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于高中數(shù)學(xué)知識體系，高一教材有很多蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典素材，如必修1基本初等函數(shù)與函數(shù)圖像等。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識體會(huì)數(shù)學(xué)思想，可以使學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。高二教材中選修內(nèi)圓錐曲線與方程等，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢，建立向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，向量為立體幾何提供新的解題方向，如線與面的夾角等問題可以利用數(shù)形結(jié)合思想解決。高三進(jìn)入考查數(shù)形結(jié)合思想綜合能力的時(shí)段，學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以提高解題速度，教師要準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以數(shù)學(xué)知識內(nèi)容為載體，在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，遵循目標(biāo)性、系統(tǒng)性等原則充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)價(jià)值，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)等起到重要作用。

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的方法，利用常規(guī)方法解決困難的高中數(shù)學(xué)問題比較麻煩，借助數(shù)形結(jié)合的方法可以快速解決代數(shù)、幾何的問題，使高中數(shù)學(xué)復(fù)雜的問題簡單化。要厘清高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的基本原則，要遵循雙向性、直觀性等基本原則。對代數(shù)進(jìn)行全面探索，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合有效統(tǒng)一，簡潔性原則要求體現(xiàn)幾何構(gòu)圖的直觀性與簡潔性的有效統(tǒng)一，降低學(xué)生理解的難度。直觀性原則要求師生利用坐標(biāo)解題，開拓?cái)?shù)形結(jié)合的教學(xué)模式。等價(jià)性原則指幾何圖形與代數(shù)性質(zhì)變形的對等。高中數(shù)學(xué)教師要分析學(xué)生實(shí)際情況，積極尋找新的操作性強(qiáng)的教學(xué)方式。數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)要選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)滲透，要注意首先注重對數(shù)形結(jié)合思想的挖掘，要把握好運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的方法，數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)需要教師長期積累，不斷總結(jié)，使學(xué)生掌握靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的方法。

（二）高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想解題教學(xué)應(yīng)用

隨著數(shù)學(xué)新課改的深入，高考命題向知識多變性方向發(fā)展，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想，是解答高考數(shù)學(xué)試題的常用方法，成為高考必考內(nèi)容。重點(diǎn)部分包括：一元二次不等式解法、函數(shù)定義域、絕對值不等式解法等，利用數(shù)形結(jié)合解題考查學(xué)生對圖形的理解能力等，從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征可以快速得出正確答案。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵是數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，可以通過運(yùn)用向量提升以數(shù)解形能力，以形助數(shù)解決代數(shù)問題。以數(shù)解形是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)，借助數(shù)的精確性解釋幾何屬性，需要用數(shù)對圖形進(jìn)行標(biāo)注說明。

高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)中需要教師給予趣味引導(dǎo)，優(yōu)化解題方法，學(xué)生要理解知識點(diǎn)的內(nèi)在含義。數(shù)學(xué)是枯燥的學(xué)科，教師要激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣才能讓其對數(shù)學(xué)知識充滿渴望，以便達(dá)到良好的教學(xué)效果。課堂中擺脫教材結(jié)合實(shí)際講解生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)教育故事，使學(xué)生思維活躍，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)習(xí)晦澀內(nèi)容時(shí)教師可以借助多媒體課件，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具軟件編輯學(xué)習(xí)，例如，教師可以在教學(xué)中講解有趣的心形曲線，吸引學(xué)生的注意力。教師需要長時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生形成正確的學(xué)習(xí)思路，要結(jié)合學(xué)生各階段學(xué)習(xí)狀態(tài)研究教材，明確教材設(shè)計(jì)思想，巧妙滲透數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是分析研究對象的代數(shù)含義，尋找有效的數(shù)學(xué)解題思路。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。實(shí)際教學(xué)中可以對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想具體知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，可以歸納數(shù)形結(jié)合在解題應(yīng)用中的注意要點(diǎn)。通過總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合思想方法，使學(xué)生深入地認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想。

結(jié)束語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)是研究空間形式的科學(xué)，要體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是理解掌握數(shù)學(xué)概念，應(yīng)用蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系。教師要深入貫徹課改精神，通過解題分析傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想。要求掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，建立數(shù)形對應(yīng)關(guān)系非常必要。高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)要求教師挖掘其解題功能，研究數(shù)形結(jié)合思想解題應(yīng)用經(jīng)典案例，解決學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題存在構(gòu)圖不當(dāng)、缺乏邏輯性等問題，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。

參考文獻(xiàn)

[1]王婷婷.例談高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)的有效策略[J].數(shù)理化解題研究，2019（3）：12-13.

[2]陳宏科.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用方法研究[J].考試周刊，2021（39）：53-54.

[3]張世中.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究，2020（3）：38-39.

[4]張松柏.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用方法探究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2020，14（1）：161.

[5]孫小莉.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[J].文淵（中學(xué)版），2019（8）：279.

[6]王秀平.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2018，12（14）：231.

[7]彭玉蘭.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中巧妙滲透[J].中外交流，2020，27（3）：325.