蔡志鑫，黨 章,3，文 明，呂 勇，余 震

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；3.武漢科技大學(xué)機(jī)械國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，湖北 武漢，430081)

滾動(dòng)軸承廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械，其健康狀況與整個(gè)設(shè)備的穩(wěn)定運(yùn)行有很大的關(guān)系，然而受結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和使用環(huán)境的影響，軸承又通常是最易發(fā)生故障的機(jī)械部件之一[1-2]。對(duì)于大部分造成設(shè)備停機(jī)或重大事故的滾動(dòng)軸承，在其服役的早期一般都有不易發(fā)現(xiàn)的微弱故障[3]。隨著役齡的增加，軸承故障越來越嚴(yán)重，潛在的各類風(fēng)險(xiǎn)也逐漸增大。為了提高設(shè)備運(yùn)行的穩(wěn)定性和可靠性，增強(qiáng)企業(yè)的安全生產(chǎn)能力，對(duì)軸承進(jìn)行故障診斷、健康監(jiān)測(cè)和剩余壽命預(yù)測(cè)十分必要。

目前，軸承故障診斷方法有多種多樣且較為成熟，如經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?empirical model decomposition,EMD)[4]、動(dòng)態(tài)模式分解(dynamic mode decomposition,DMD)[5]、變分模式分解(variational mode decomposition,VMD)[6]等方法及其擴(kuò)展方法已被廣泛應(yīng)用于軸承和齒輪等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)信號(hào)分析中[7-10]。相對(duì)而言，對(duì)軸承剩余使用壽命預(yù)測(cè)與健康管理的研究還較為欠缺。要想準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軸承壽命就必須建立可靠的健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)，文獻(xiàn)[11]從信號(hào)處理、建模以及機(jī)器學(xué)習(xí)三個(gè)方面綜述了軸承和齒輪健康指標(biāo)的構(gòu)建方法。現(xiàn)有的軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)主要是通過統(tǒng)計(jì)模型和機(jī)器學(xué)習(xí)等方法建立，這些方法的基本原理相對(duì)復(fù)雜，構(gòu)造過程比較繁瑣，而且參數(shù)需要人工干預(yù)。目前還沒有一個(gè)簡(jiǎn)單、直接的監(jiān)測(cè)指標(biāo)來表征軸承的健康狀況。

DMD是一種完全無需先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄?shù)據(jù)處理工具[12]，它能將蘊(yùn)含機(jī)械動(dòng)力學(xué)特性的信號(hào)分解成一系列具有內(nèi)在時(shí)空特征的單頻非正交模式，每個(gè)模式對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值，其虛部代表頻率，實(shí)部代表增長(zhǎng)(衰減)率[13-14]。正常的軸承信號(hào)含有噪聲成分，因此其模式增長(zhǎng)(衰減)率呈現(xiàn)隨機(jī)性。當(dāng)軸承故障加深時(shí)，故障頻率對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)(衰減)率將逐漸偏離隨機(jī)狀態(tài)，呈現(xiàn)出不同于噪聲成分的特點(diǎn)，致使特征值實(shí)部出現(xiàn)極值。但是，軸承健康指標(biāo)的建立需要依賴大量正常以及故障軸承全生命周期的信號(hào)，而DMD在高采樣頻率下的分解會(huì)導(dǎo)致算法耗時(shí)太長(zhǎng)。壓縮動(dòng)態(tài)模式分解 (compressed dynamic mode decomposition,CDMD)[15-17]將壓縮感知理論與動(dòng)態(tài)模式分解理論相結(jié)合，在減少數(shù)據(jù)量和計(jì)算存儲(chǔ)空間的同時(shí)能高效恢復(fù)出原始信號(hào)。

基于上述分析，本文擬從DMD獲得的特征值入手，采用表征數(shù)值極端程度的峭度(kurtosis)和表征模式幅值的均方根值來構(gòu)建軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)，同時(shí)，為了加快特征提取速度，本文結(jié)合壓縮感知理論，提出基于CDMD的滾動(dòng)軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)構(gòu)建方法，并通過仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)來驗(yàn)證該方法的可行性。

1 DMD與CDMD基本原理

假設(shè)以等時(shí)間間隔Δt=t(2)-t(1)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行采樣，獲得的時(shí)域信號(hào)為x=[x1,x2,…,xn]，xi∈R，以延遲等于1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的定長(zhǎng)窗口在信號(hào)x中多次滑動(dòng)來截取數(shù)據(jù)，并將其按行排列為如式(1)所示的Hankel矩陣：

=[X1X2…Xn]

(1)

將矩陣X分解為在時(shí)間上具有先后關(guān)系的矩陣Xt和Xt+1，且用一個(gè)最佳線性算子A表示前后兩個(gè)矩陣的映射關(guān)系，具體表達(dá)為：

(2)

(3)

Xt+1=AXt

(4)

其中A包含了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)信息。

(5)

(6)

通過式(6)得到最佳解為：

(7)

(8)

(9)

(10)

對(duì)于高采樣率的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)來說，在采集一個(gè)信號(hào)后，式(5)中A的奇異值分解過程是十分耗時(shí)的，而且占用的內(nèi)存空間巨大，這對(duì)于長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)系統(tǒng)來說十分不利。為了提高效率，文獻(xiàn)[15-17]給出了CDMD方法，將壓縮感知算法中的壓縮部分與DMD結(jié)合，利用一個(gè)低維隨機(jī)觀測(cè)矩陣[18]對(duì)矩陣Xt、Xt+1進(jìn)行壓縮，從而生成壓縮的Hankel矩陣Yt和Yt+1，然后根據(jù)式(7)進(jìn)行分解，從而減少了高維SVD，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。但是采用CDMD方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，本文先對(duì)信號(hào)進(jìn)行初步投影去噪，再進(jìn)行壓縮，如下所示：

(11)

(12)

將降噪后的矩陣導(dǎo)入式(9)可得壓縮的模式矩陣。最后，CDMD狀態(tài)模式可由下列式子近似獲得：

(13)

式中：下標(biāo)Y表示壓縮狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的矩陣。

2 滾動(dòng)軸承健康指標(biāo)的建立

根據(jù)DMD算法中算子A的具體意義，當(dāng)滾動(dòng)軸承出現(xiàn)故障時(shí)，其故障頻率對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)(衰減)率理論上將呈現(xiàn)出不同于其他模式(噪聲)的分布，隨著故障的進(jìn)一步加深，這一特征將逐漸突出，同時(shí)信號(hào)沖擊成分更加明顯，信號(hào)的幅值也將增大，故而作為表達(dá)模式幅值的參數(shù)，向量b也具有表征軸承狀態(tài)的能力。

本文采用峭度K與均方根值RMS分別對(duì)基于增長(zhǎng)(衰減)率以及向量b的假設(shè)進(jìn)行描述，其中，峭度用來衡量實(shí)數(shù)隨機(jī)變量概率分布的峰態(tài)，峭度高意味著方差增大是由低頻度的大于或小于平均值的極端差值引起。在實(shí)際應(yīng)用中，通常將峭度值做減3處理，使得正態(tài)分布的峭度為0。峭度計(jì)算公式為：

(14)

均方根值計(jì)算公式為：

(15)

綜上所述，本文構(gòu)建軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)的技術(shù)路線如圖1所示。

圖1 軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)構(gòu)建流程

3 仿真信號(hào)驗(yàn)證

由于本文方法的基本原理是根據(jù)DMD算法得到的特征值來建立軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)，因此通過減少計(jì)算耗時(shí)的CDMD算法所得特征值不能與DMD所得特征值有太大誤差，否則會(huì)嚴(yán)重影響監(jiān)測(cè)結(jié)果。

本節(jié)通過仿真信號(hào)對(duì)兩種算法獲得的特征值進(jìn)行比較。利用Randall等[19]提出的軸承仿真信號(hào)模型，假設(shè)以等時(shí)間間距對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，S(t)為軸承的自然衰減頻率函數(shù)，Ak為第k個(gè)沖擊響應(yīng)的幅值，N(t)是均值為零的背景噪聲，仿真模型表示為：

(16)

式中：T為采樣周期；ak為第k次沖擊能量幅值；γ和φA為初始相位；fm為調(diào)制頻率；fn為故障頻率；M為沖擊總次數(shù)；B為軸承系統(tǒng)相關(guān)的衰減系數(shù)；τk為波動(dòng)引起的滯后時(shí)間；cA為常數(shù)。

仿真模型中的參數(shù)設(shè)置如表1所示，其中fo為軸承外圈故障頻率，fr為轉(zhuǎn)頻。在軸承故障信號(hào)中，背景噪聲充滿整個(gè)頻域，因此在仿真信號(hào)中添加1 dB的高斯白噪聲來模擬背景噪聲，其中采樣頻率fs=10 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=15 000，Hankel矩陣階數(shù)m=6000。

表1 軸承仿真參數(shù)

根據(jù)式(4)～式(13)分別進(jìn)行DMD與CDMD計(jì)算，結(jié)果如圖2所示，圖中圓圈表示DMD和CDMD處理后得到的特征值實(shí)部與虛部數(shù)值，方框標(biāo)記信號(hào)特征值中的前四倍故障頻率值，由于DMD和CDMD分解后的特征值為共軛復(fù)數(shù)，故虛部存在正負(fù)之分。用模型(16)生成多個(gè)信號(hào)進(jìn)行分解并記錄分解過程耗時(shí)，結(jié)果如圖3所示。

從圖2可以看出，CDMD從經(jīng)過壓縮的低維數(shù)據(jù)中得到的特征值與DMD從原始高維數(shù)據(jù)中得到的特征值誤差很小。從圖3可以看出，DMD計(jì)算時(shí)間在300 s上下，且波動(dòng)幅度較大，均值為299.0903 s；而CDMD計(jì)算時(shí)間在20 s上下，不僅耗時(shí)遠(yuǎn)小于DMD，且計(jì)算時(shí)間更穩(wěn)定，均值為14.3761 s。通過以上結(jié)果可知，CDMD有望被用于大數(shù)據(jù)的模式分解，既能節(jié)省儲(chǔ)存空間，還能減少計(jì)算耗時(shí)。當(dāng)然，CDMD算法需要提前進(jìn)行信號(hào)的初步降噪處理，以此獲得足夠的精度及計(jì)算效率，故其在長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)系統(tǒng)以及需要即時(shí)處理的系統(tǒng)應(yīng)用中更具優(yōu)勢(shì)。

(a) DMD

圖3 DMD與CDMD計(jì)算時(shí)間對(duì)比

4 實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證

軸承健康指標(biāo)的建立需要依靠完整生命周期數(shù)據(jù)，其中包括正常軸承信號(hào)和各種故障階段的軸承信號(hào)。本節(jié)以美國(guó)Cincinnati大學(xué)公布的軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[20]的第2個(gè)數(shù)據(jù)集作為研究對(duì)象，該數(shù)據(jù)集包含998個(gè)軸承從正常運(yùn)行到失效的全生命周期信號(hào)。原信號(hào)采樣頻率fs=20 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=20 480，為了降低計(jì)算壓力、縮短計(jì)算時(shí)間和減小儲(chǔ)存空間，對(duì)其進(jìn)行降采樣，使得fs=10 kHz，N=10 240。

為了驗(yàn)證CDMD與DMD在實(shí)際含噪信號(hào)中的等效性，以第2個(gè)數(shù)據(jù)集中的第533個(gè)故障信號(hào)為例進(jìn)行對(duì)比分析，采用CDMD和DMD算法得到的特征值分布如圖4所示。

與仿真信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果相似，對(duì)于經(jīng)預(yù)處理后的實(shí)驗(yàn)信號(hào)，CDMD所得特征值與DMD所得特征值十分接近，說明CDMD可以代替DMD實(shí)現(xiàn)信號(hào)的加速分解并獲得精確的特征值。

為了驗(yàn)證借助特征值建立軸承健康指標(biāo)的有效性，對(duì)Cincinnati第2個(gè)數(shù)據(jù)集中984個(gè)信號(hào)的特征值實(shí)部進(jìn)行峭度計(jì)算，同時(shí)對(duì)幅值進(jìn)行均方根值計(jì)算并歸一化。將文獻(xiàn)[11]中信號(hào)經(jīng)過直接量化后得到的峭度和歸一化RMS值與本文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，分別如圖5和圖6所示。

由圖5可見，RMS值在信號(hào)序列533處出現(xiàn)明顯增大的趨勢(shì)，表明軸承狀態(tài)開始變化，即出現(xiàn)早期故障。在信號(hào)序列704處，RMS值出現(xiàn)明顯的跳躍，表明軸承故障開始加深。由圖6(a)可見，軸承信號(hào)經(jīng)CDMD處理所得的歸一化RMS存在明顯的變化階段，表現(xiàn)為模式幅值在信號(hào)序列532處開始出現(xiàn)明顯的整體升高，表明軸承狀態(tài)開始變化，在信號(hào)序列701處左右，幅值出現(xiàn)躍遷，且后續(xù)幅值整體波動(dòng)大，表明軸承健康狀況劇烈惡化。同時(shí)，如圖6(b)所示，各信號(hào)模式的峭度在整個(gè)軸承生命周期上也出現(xiàn)類似的變化階段，由平穩(wěn)期到增長(zhǎng)(衰減)期，再到不穩(wěn)定期。以圖6中指標(biāo)的最大躍遷處作為分界點(diǎn)來分離不同的階段，結(jié)果與圖5高度相似，由于信號(hào)噪聲的存在，二者之間有1～3個(gè)信號(hào)序列的偏差。圖5的曲線更加平整，雖然能夠劃分出不同的階段，但是出現(xiàn)早期故障的節(jié)點(diǎn)及變化趨勢(shì)相對(duì)不明顯；圖6(a)相對(duì)于圖5在階段區(qū)分上比較明顯，但是曲線波動(dòng)較大，且存在部分極端值；與圖5和圖6(a)相比，圖6(b)的曲線走勢(shì)更加明顯，軸承不同運(yùn)行階段之間更加容易區(qū)分，界線更加清晰。

(a) DMD

圖5 參考文獻(xiàn)[11]中的峭度和歸一化RMS

(a)歸一化RMS

綜上，通過CDMD得到的表征模式幅值的均方根值以及表征模式增長(zhǎng)(衰減)率的峭度值都能有效區(qū)分軸承生命周期中的不同運(yùn)行階段，由于CDMD能夠加速模式分解，大大降低計(jì)算時(shí)間，因此本文方法具有較大的應(yīng)用潛力。

5 結(jié)語

DMD在故障軸承振動(dòng)信號(hào)分析中應(yīng)用較多，所獲得的特征值具有表征各個(gè)模式增長(zhǎng)或衰減的特點(diǎn)，能描述軸承的運(yùn)行狀態(tài)，但在高采樣頻率下DMD計(jì)算耗時(shí)太長(zhǎng)。為了解決該問題，本文在對(duì)軸承信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理后引入壓縮感知理論對(duì)DMD進(jìn)行優(yōu)化，提出了基于CDMD的滾動(dòng)軸承健康指標(biāo)構(gòu)建方法，根據(jù)模式分解得到的特征值的峭度和模式幅值的均方根值對(duì)軸承生命周期的不同運(yùn)行階段進(jìn)行劃分。最后通過軸承的仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。

然而，盡管基于本文方法所繪制的軸承健康監(jiān)測(cè)指標(biāo)曲線的變化趨勢(shì)明顯，能夠區(qū)分出軸承運(yùn)行的各個(gè)階段，但在軸承正常運(yùn)行階段，曲線波動(dòng)還是較大，對(duì)其推廣應(yīng)用會(huì)有不利影響。下一步研究將通過特征值尋找波動(dòng)更小的指標(biāo)，以減少其應(yīng)用過程中可能存在的不確定性。