張家豪,段現(xiàn)銀 ,陳 晨,張 樵 ,朱澤潤

(1.武漢科技大學(xué)機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430081；2.華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢，430074；3.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；4.深圳市匯川技術(shù)股份有限公司研發(fā)管理部技術(shù)中心，廣東 深圳，518109)

工業(yè)機器人具有靈活性好、工作空間大、設(shè)備成本相對低等諸多優(yōu)勢，且便于布置傳感器實現(xiàn)智能化升級[1-2]，從而被廣泛應(yīng)用于加工制造領(lǐng)域[3]，其加工應(yīng)用范圍也從低材料去除率加工(如磨削、拋光和去毛刺等)擴展到高材料去除率加工(如鉆孔、銑削等)。特別是在航空航天[4]、國防、船舶等領(lǐng)域，工業(yè)機器人在艦船螺旋槳葉片銑削、飛機蒙皮切邊銑削[5]、飛行器殼體銑削[6]等加工中能夠使得加工從車間到現(xiàn)場，顯著提升加工效率。雖然工業(yè)機器人越來越多地應(yīng)用于螺旋槳銑削中，但由于其具有多關(guān)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)特點和相對于機床的強柔度特性[7]，以及銑削加工的高材料去除率引起的高負載特性，切削力導(dǎo)致的讓刀變形使得工件在表面法線方向產(chǎn)生較大誤差，給工件加工精度控制帶來較大挑戰(zhàn)，因此，工業(yè)機器人銑削加工中的力致誤差控制是其在工程應(yīng)用中面臨的關(guān)鍵問題。

研究人員針對工業(yè)機器人在笛卡爾空間柔度或剛度的問題開展了大量的研究。在笛卡爾空間中，機器人柔度隨著姿態(tài)的變化而改變，優(yōu)化機器人的姿態(tài)可以改善其柔度特性。Lin等[8]根據(jù)機器人運動學(xué)性能和形變評估指標(biāo)，繪制加工性能圖進行鉆孔姿態(tài)優(yōu)化。Bu等[9]考慮到鉆孔機器人法蘭位置和刀具中心點處剛度橢球的差異性，提出以鉆孔刀具軸向變形為參考的加工性能指標(biāo)，用于優(yōu)化機器人姿態(tài)，保證了埋頭孔深度和孔軸向上的精度。Guo等[10]提出坐標(biāo)依賴的剛度性能評價指標(biāo)，研究了冗余軸相關(guān)的剛度值變化規(guī)律，用于優(yōu)化機器人姿態(tài)。Xiong等[11]通過考慮機器人末端執(zhí)行器上三個點處位移，開發(fā)了一種基于剛度的姿態(tài)優(yōu)化方法。Chen等[12]研究了不同姿態(tài)和進給方向機器人的剛度特性，提出綜合剛度性能指標(biāo)和表面法向剛度性能指標(biāo)，通過機器人姿態(tài)優(yōu)化來提高機器人銑削加工精度。

上述研究通過優(yōu)化機器人姿態(tài)改善其末端柔度特性，取得了較多進展。然而，機器人的剛性較好時其姿態(tài)可能處于奇點位置，或使其末端執(zhí)行器位于不方便加工的位置，因此，為了進一步優(yōu)化工件與機器人的相對位姿，除了考慮機器人的姿態(tài)，還可通過優(yōu)化工件位姿實現(xiàn)。研究人員對機床加工的工件位姿優(yōu)化進行了研究，Yang等[13]使用Brute-Force搜索算法優(yōu)化工件在五軸機床工作臺上的放置位置，以減小旋轉(zhuǎn)伺服驅(qū)動器的輪廓誤差。Lin等[14]改進了粒子群算法辨識RT型機床的最優(yōu)工件裝夾位置，以減少由旋轉(zhuǎn)軸非線性運動引起的誤差。Campatelli等[15]采用改變工件在機床工作臺上姿態(tài)來減少銑削過程中的能量消耗。Pessoles等[16]通過優(yōu)化工件的位姿減小運動軸的運動行程，以提高加工效率。這些研究進展對于機床加工中的驅(qū)動器輪廓誤差控制、非線性誤差控制、能量消耗控制和加工效率提升等方面有推進作用，但未涉及切削力導(dǎo)致的加工誤差控制，并且，工業(yè)機器人相對于機床具有更多的自由度，其笛卡爾空間以及關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系更加復(fù)雜，有必要針對機器人加工中工件位姿優(yōu)化進行研究。

在工業(yè)機器人銑削中的工件位姿優(yōu)化方面，也有少量文獻報道。Caro等[17]在自定義的機器人銑削加工準(zhǔn)則下通過計算機器人末端變形優(yōu)化固定刀具姿態(tài)工況下的工件位置，僅針對末端走直線軌跡工況，且僅給出變形的定義公式，未構(gòu)建切削力模型、機器人剛度模型或末端變形模型。Qin等[18]通過數(shù)值模擬的方法研究了機器人銑削加工中通過最小化刀具振動引起的偏移以實現(xiàn)工件位姿優(yōu)化。Schnoes等[19]針對機器人銑削提出了以可達性為幾何約束、以工件位姿為優(yōu)化變量來優(yōu)化機器人末端平均變形的思路。Li等[20]從機器人的刀具軌跡及工件夾緊位置兩個方面對機器人加工過程中的顫振問題開展研究，為減小顫振和提高加工質(zhì)量提供了新的方向。這些研究僅針對簡單軌跡加工或未涉及刀具姿態(tài)因素，且沒有涉及工件表面法向力致誤差這一顯著影響加工精度的因素；在實際的工業(yè)機器人銑削加工中，機器人的柔度對加工精度影響也非常明顯[21]，是需要在優(yōu)化模型中考慮的重要因素，因此，有必要在構(gòu)建機器人柔度模型和切削力模型基礎(chǔ)上，建立工業(yè)機器人法向力致誤差模型，為此，本文針對工業(yè)機器人銑削加工過程中力致誤差問題，以工件位姿為優(yōu)化變量、工件表面法向力致誤差為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建工業(yè)機器人銑削加工力致誤差模型及工件位姿優(yōu)化模型，通過算法設(shè)計對優(yōu)化模型進行求解，以確定最優(yōu)工件位姿，并在ABB IRB6660工業(yè)機器人銑削加工平臺上對優(yōu)化模型進行實驗驗證，以期為控制工業(yè)機器人銑削加工中的力致誤差并提高其加工精度提供參考。

1 工件位姿優(yōu)化建模

在工業(yè)機器人的銑削加工中，機器人與工件的相對位姿不僅影響機器人末端工具與工件的接觸關(guān)系，使切削力發(fā)生改變，并且對機器人的柔度產(chǎn)生一定影響。在機器人位姿調(diào)整受限情況下(如奇點位置、不便加工位置等)，有必要通過調(diào)整工件位姿進行加工優(yōu)化。

1.1 基于力致誤差的優(yōu)化建模

工業(yè)機器人的多臂桿和多關(guān)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)使其具有典型的強柔度特性，而銑削加工通常具有相對較大切除余量，使得刀具與工件材料之間發(fā)生較大作用力，機器人末端在弱剛性和大負載作用下會導(dǎo)致不可忽略的變形，這一變形在切削時會映射到工件表面，產(chǎn)生力致誤差。工件表面法向的誤差最終決定其加工精度，因此，本文選擇工件表面法向力致誤差作為優(yōu)化目標(biāo)。

(a)機器人末端在Pj處法向力致誤差 (b)法向力致誤差建模思路

綜上所述，可得出機器人末端在點Pj處的法向力致誤差enj為

(1)

式中，npj為刀觸點Pj處法向矢量；Cttj為Pj處機器人平移柔度子矩陣；Ffj為機器人在點Pj處銑削加工時的切削力矢量。

(2)

式中，Δlj為刀觸點第j點與第j+1點之間的步距。

以上述建立的法向力致誤差作為優(yōu)化目標(biāo)，以工件位姿坐標(biāo)w(x,y,θ)作為優(yōu)化變量，以機器人關(guān)節(jié)運動約束作為約束條件，建立基于力致誤差模型的工件位姿優(yōu)化模型，通過最小化優(yōu)化目標(biāo)力致誤差確定最優(yōu)工件位姿，其中，關(guān)節(jié)運動約束需滿足：工件位姿選擇區(qū)域需在機器人的可達區(qū)域內(nèi)，即機器人各關(guān)節(jié)運動限制在一定范圍內(nèi)，并且該區(qū)域應(yīng)在工作臺中心位置一定范圍內(nèi)，避免導(dǎo)致機器人加工時過于貼近邊界位置使其發(fā)生奇異問題。工件位姿優(yōu)化模型為

(3)

式中，qi為機器人第i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角；Ax，Ay，Aθ和Aq分別為工件位姿(x,y,θ)和關(guān)節(jié)角q的范圍集合。

1.2 工件位姿與機器人姿態(tài)的映射關(guān)系建立

工件位姿與機器人姿態(tài)的映射關(guān)系是建立機器人柔度及力致誤差模型的前提，是描述工件姿態(tài)到機器人姿態(tài)的轉(zhuǎn)換方法。本文以ABB IRB6660/1.9工業(yè)機器人為研究對象，其加工平臺現(xiàn)場及運動學(xué)模型如圖2所示，ABB IRB6660機器人D-H參數(shù)如表1所示。ABB IRB6660/1.9工業(yè)機器人的定位誤差為0.05 mm，重復(fù)定位誤差為0.08 mm，根據(jù)此機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，運用D-H法建立機器人各臂桿的坐標(biāo)系，見圖2(b)。

(a)加工平臺現(xiàn)場 (b)運動學(xué)模型

表1 ABB IRB6660機器人D-H參數(shù)

(4)

式中，αi-1為機器人臂桿角度；qi為i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角。

(5)

圖3 不同坐標(biāo)系以及刀具路徑上的刀觸點示意圖

(6)

式中，x0，y0和z0為初始工件坐標(biāo)系CSW0坐標(biāo)原點在基坐標(biāo)系BCS下的坐標(biāo)值。

(7)

式中，θ為工件繞初始工件坐標(biāo)系CSW0上ZW軸的旋轉(zhuǎn)角。

(8)

式中，θf為刀具進給方向角；c1和c2為中間變量，計算式為

(9)

(10)

式中，θR為機器人冗余角；(Txp,Typ,Tzp)為刀觸點P在刀具坐標(biāo)系CST下的描述，可通過刀具幾何參數(shù)和刀具姿態(tài)確定，具體為

(11)

式中，D和r分別為刀具的直徑和圓角半徑，mm；κCC和φCC為刀觸點處的刀具接觸角，即

(12)

由式(5)和式(12)，建立工件位姿與機器人姿態(tài)的映射關(guān)系為

(13)

1.3 機器人銑削加工切削力建模

根據(jù)五軸銑削加工過程切削力理論模型[22-23]預(yù)測機器人切削力，其在刀具坐標(biāo)系CST下的表示為

Fx,y,z(α,β)

(14)

式中，f為每齒進給量，mm；N為刀具齒數(shù)；κ為刀具軸向接觸角；z1,j和z2,j分別為第j切削刃上參與切削微元的下限和上限;A為切削力系數(shù)和刀具接觸角的中間變量矩陣，表示為

(15)

式中，φ為刀具徑向接觸角；Kr、Kt和Kα分別為刀具徑向、切向和軸向的切削力系數(shù)。

對于機器人銑削，還需將上述切削力預(yù)測模型轉(zhuǎn)換到機器人基坐標(biāo)系CSB下進行描述，CSB下切削力模型Ff表示為

(16)

(17)

1.4 機器人柔度及力致變形建模

當(dāng)機器人臂桿和末端刀具具有較好剛度特性時，其末端變形主要由各運動關(guān)節(jié)在末端負載作用下的變形決定，在此情況下機器人剛度模型為K=JT(Kq-Kc)J-1，其中Kc為補償剛度矩陣。對于具有良好運動性能的機器人，Kc對K的影響很小，通常忽略不計[24]，本文基于此進行剛度建模。柔度矩陣C為剛度矩陣K的逆，采用柔度矩陣C代替剛度矩陣K可避免求解雅可比矩陣J的逆。機器人的柔度矩陣C、雅可比矩陣J和關(guān)節(jié)剛度矩陣Kq為6×6矩陣，按照矩陣元素的物理意義，可將其分為四個3×3的子矩陣，即

(18)

式中，Ctt為平移柔度子矩陣；Crr為旋轉(zhuǎn)柔度子矩陣；Ctr為耦合柔度子矩陣；雅可比矩陣J由表1中的機器人D-H參數(shù)計算得到；對角矩陣Kq為機器人的關(guān)節(jié)剛度，各關(guān)節(jié)剛度值如表2所示[12]；雅可比矩陣J和對角矩陣Kq的矩陣分別描述為

(19)

表2 機器人ABB IRB6660關(guān)節(jié)剛度值

基于柔度矩陣C，可得機器人末端變形ΔX與其作用力F之間的關(guān)系為

(20)

式中，ΔX為機器人末端上的平移(mm)和旋轉(zhuǎn)位移(rad)；F為作用在末端上的廣義力，包括力(N)和力矩(N·m)。ΔX、F矩陣分別描述為

(21)

假設(shè)作用在刀具上力矩很小，引起的旋轉(zhuǎn)變形微小，可忽略作用力矩及其引起的旋轉(zhuǎn)變形，將式(20)轉(zhuǎn)換為

(22)

式中，ΔXt= [dxdydz]T為ΔX中的平移位移部分，即為機器人末端力致變形；Ff=[Fx

FyFz]T為F中作用力部分，由切削力模型確定。

將式(18)代入式(22)，得到力致變形ΔXt為

(23)

2 優(yōu)化模型求解

本文選取工件沿機器人基坐標(biāo)系CSB的XB軸和YB軸方向平移位置(x,y)及繞Z軸方向旋轉(zhuǎn)角度θ作為優(yōu)化變量，故可在XBOYB平面上將工件的可達區(qū)域進行離散化，如圖4所示。圖4中，在XB軸方向上離散為m2個工件平移位置，在YB軸方向上離散為m1個工件平移位置，在繞ZB軸旋轉(zhuǎn)方向上離散為m3個工件旋轉(zhuǎn)位置，則可在所選取空間內(nèi)離散出m1×m2×m3個位姿點，圖中圓點及其上箭頭分別表示工件位置與朝向。m1×m2×m3個位姿點組成了工件位姿優(yōu)化模型的搜索空間w，該空間中的某位姿點k處工件位姿坐標(biāo)可表示為

圖4 工件位姿搜索空間示意

w(k1,k2,k3)=(xk1,yk2,θk3)

(24)

設(shè)計優(yōu)化模型求解方法，通過輸入工件位姿坐標(biāo)值，計算工件平均法向力致誤差的最小值，并確定工件位姿搜索空間內(nèi)最優(yōu)工件位姿wopt，其求解流程圖如圖5所示。

3 實驗驗證與分析

3.1 實驗設(shè)置

本實驗所選用加工平臺的工作臺尺寸范圍為1500 mm×1000 mm，因此，設(shè)計了工件加工位置空間范圍的尺寸為1400 mm×800 mm×90°。設(shè)置初始工件坐標(biāo)系CSW0的坐標(biāo)原點在基坐標(biāo)系BCS下的坐標(biāo)值(x0,y0,z0)為(0,0,0)，根據(jù)工作臺相對于機器人的實際位置，工件位姿的搜索范圍為

(25)

實驗設(shè)置現(xiàn)場如圖6所示。圖6中長方體工件的尺寸為1000 mm×100 mm×100 mm，工件材料為Al6065。從圖6中可以看出，在長方體工件上進行連續(xù)銑削加工的過程相當(dāng)于對若干個不同位置處的小工件進行加工(見圖6(a))；同時，對這些小工件都設(shè)置了90°、60°和45°的旋轉(zhuǎn)角度，如圖6(a)～圖6(d)所示。

(a)工件旋轉(zhuǎn)姿態(tài)θ=90° (b)工件旋轉(zhuǎn)姿態(tài)θ=0°

實驗中設(shè)置了20組工件位姿點，這些位姿點的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)和θ旋轉(zhuǎn)角如表3所示，z坐標(biāo)均為1170 mm，其中，前5組位姿點的設(shè)置為：x坐標(biāo)為1400 mm、姿態(tài)角θ為90°、y軸坐標(biāo)分別為200、300、400、500、600 mm；然后，再將工件分別旋轉(zhuǎn)60°、45°和0°，設(shè)置6～20組位姿。

表3 實驗中設(shè)置的位姿點

實驗中通過超高速激光位移檢測儀測量機器人末端力致變形，如圖6(a)所示，其中所用的傳感器測頭(Keyence LK-H050)固定于機器人銑削主軸末端，激光點射在工作臺面上，獲取到的末端變形數(shù)據(jù)經(jīng)由控制器連接到PC端進行采集，如圖6(e)所示。為避免銑削加工前系統(tǒng)誤差及安裝誤差等的影響，如傳感器測頭發(fā)射激光在ZB方向的傾斜所引入的誤差及工作臺面的平面度誤差，分別在切削和空走刀兩種狀態(tài)下采集機器人末端在相同路徑上沿加工面法向力致變形，兩次采集數(shù)據(jù)的差值在工件表面法向的投影即為法向力致誤差。

將機器人冗余角θR、刀具進給方向角θf、刀具前傾角α和刀具側(cè)傾角β均設(shè)定為零，加工路徑分別為垂直于基坐標(biāo)系XW軸和垂直于YW軸方向的直線，加工路徑上刀觸點Pj處法矢與基坐標(biāo)系ZB軸平行。設(shè)置加工路徑上刀觸點Pj間距Δl為10 mm、刀觸點數(shù)量Np為5個。實驗中所選取的刀具參數(shù)和所設(shè)置的切削參數(shù)表4所示。

表4 工業(yè)機器人主要刀具參數(shù)和切削參數(shù)

3.2 實驗結(jié)果及分析

工作表面平均法向力致誤差和機器人法向柔度如圖7所示，其中法向柔度計算公式為

(26)

從圖7(a)中可以看出，工件表面法向力致誤差預(yù)測值與實驗值具有相同的變化趨勢，且法向力致誤差的預(yù)測值均小于其實測值，這主要是因為在機器人末端柔度建模中未考慮臂桿等非關(guān)節(jié)柔性部件的影響以及在力致變形建模中忽略了扭矩的作用。對比圖7(a)和圖7(b)可以發(fā)現(xiàn)，工件表面法向力致誤差在不同工件位姿下的變化規(guī)律呈現(xiàn)出與機器人法向柔度變化趨勢一致，這是由于在整個切削過程中，工件材料、刀具幾何參數(shù)和切削參數(shù)等加工條件保持不變，所以切削力的變化規(guī)律保持不變；由式(23)可知，機器人的柔度是其變形改變的影響因素，而且實驗中設(shè)置的是采用固定刀具姿態(tài)加工平面工件，法向誤差即為法向變形，因此，工件表面法向力致誤差與機器人法向柔度具有相同變化趨勢。從圖7(a)中還可以看出，1～5組工件表面法向力致誤差值均明顯大于6～15組工件表面法向力致誤差值，這是因為1～5組機器人法向柔度值均明顯大于6～15組機器人的法向柔度值(見圖7(b))。

(a)力致誤差 (b) 法向柔度

4 結(jié)語

(1)針對工業(yè)機器人銑削加工過程的大負載和弱剛性帶來的較大力致誤差問題，以工件位姿為優(yōu)化變量、工件表面法向力致誤差為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建工業(yè)機器人銑削加工力致誤差模型及工件位姿優(yōu)化模型，通過算法設(shè)計對優(yōu)化模型進行求解，以確定最優(yōu)工件位姿。

(2)采用優(yōu)化模型求解確定的最優(yōu)工件位姿處的平均法向力致誤差相比優(yōu)化前降低61.0%，應(yīng)用優(yōu)化方法能夠有效地控制工業(yè)機器人銑削加工中的力致誤差，提高工業(yè)機器人的加工精度。