彭 暢， 柏 林， 劉小峰

(1.中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司國家工程研究中心 青島，266111) (2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400030)

基于魯棒性小波包峭度圖的滾動軸承故障診斷*

彭 暢1，2， 柏 林2， 劉小峰2

(1.中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司國家工程研究中心 青島，266111) (2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400030)

由于基于小波包變換濾波器的設(shè)計方法仍然是采用基于樣本四階矩的譜峭度，因此在實(shí)際應(yīng)用中可能會存在非魯棒性等問題。在此基礎(chǔ)上定義了具有魯棒性的譜峭度系數(shù)，提出了基于小波包變換的具有魯棒性的峭度圖算法。滾動軸承的實(shí)測信號驗(yàn)證了所提出的方法不僅能夠真實(shí)地反映譜峭度大小，而且能夠準(zhǔn)確過濾出故障瞬態(tài)沖擊成分，有利于基于包絡(luò)譜分析軸承故障特征頻率檢測，說明其具有較好的應(yīng)用前景。

滾動軸承； 小波包變換； 峭度圖； 魯棒性； 譜峭度

引 言

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要零部件之一，其振動信號的分析與研究在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷領(lǐng)域中有著廣泛的關(guān)注。近年來，用于從工況背景噪聲中提取由滾動軸承故障引起的沖擊成分的理論與算法得到了迅速的發(fā)展與改進(jìn)。Antoni[1]首次正式定義了用于非平穩(wěn)信號分析的基于Wold-Cramér分解的譜峭度。Antoni等[2]提出了一種定義在頻率和譜分辨率聯(lián)合分布上的基于短時傅里葉變換的譜峭度圖，并應(yīng)用其成功過濾出故障瞬態(tài)信號成分。Antoni[3]將快速傅里葉變換原理引入譜峭度圖算法中，提出了能夠用于實(shí)際工況下滾動軸承故障信號在線分析與處理的快速譜峭度圖算法。相比傳統(tǒng)的基于短時傅里葉變換的峭度圖算法，Lei等[4]提出了使用小波包變換濾波器替代短時傅里葉變換濾波器或有限長單位沖激響應(yīng)濾波器的改進(jìn)算法，有效提高了提取微弱故障特征算法的運(yùn)算效率以及結(jié)果的準(zhǔn)確性。張志剛等[5]提出了基于灰色關(guān)聯(lián)度與互信息改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與譜峭度相結(jié)合的滾動軸承故障診斷方法，相比傳統(tǒng)包絡(luò)解調(diào)分析所提取的故障特征頻率更為突出。從飛云等[6]提出了基于自回歸預(yù)測濾波的譜峭度分析方法，不僅能夠消除背景噪聲干擾，而且能增強(qiáng)譜峭度的穩(wěn)定性。以上峭度圖算法中的峭度系數(shù)都是基于樣本四階矩的統(tǒng)計量，但該參數(shù)易受到數(shù)據(jù)點(diǎn)中奇異點(diǎn)的影響，導(dǎo)致計算結(jié)果產(chǎn)生很大的偏差或者具有不穩(wěn)定性。因此，在統(tǒng)計學(xué)中關(guān)于度量峭度的魯棒性研究一直以來廣受關(guān)注。Moors[7]提出了一種基于八分位數(shù)且具有魯棒性的系數(shù)用以替代傳統(tǒng)峭度公式來度量分布的離散度。此外，Hogg[8-9]在研究厚尾分布時定義了基于分位數(shù)的峭度系數(shù)。文獻(xiàn)[10]定義了另外一種基于分位數(shù)的峭度系數(shù)。

筆者將具有魯棒性的峭度系數(shù)引入到基于小波包變換的峭度圖算法中，提出了一種改進(jìn)的用于滾動軸承故障信號分析的算法，并將提出的改進(jìn)算法應(yīng)用于分析仿真及實(shí)際工況下的滾動軸承故障信號,驗(yàn)證了其有效性及優(yōu)越性。

1 理論介紹

1.1 譜峭度

文獻(xiàn)[1]定義了條件型非平穩(wěn)信號x(n)的Wold-Cramér離散分解形式，表示為

(1)

其中：X(n,f)為x(n)在頻率f處的復(fù)包絡(luò)譜；dY(f)為正交化的譜增量。

基于四階統(tǒng)計累積量的譜峭度可定義為

(2)

在沖擊故障信號中引入疊加的平穩(wěn)噪聲時，計算的譜峭度可定義為

(3)

其中：ρ(f)為噪信比值。

1.2 魯棒性譜峭度系數(shù)

文獻(xiàn)[11]指出，傳統(tǒng)的峭度可解釋為在μ±σ之間數(shù)據(jù)分布的離差，因此其易受到分布概率密度的影響。依據(jù)文獻(xiàn)[7]，筆者定義了一種基于八分位數(shù)且具有魯棒特性的Moors譜峭度系數(shù)，表示為

(4)

其中：常量1.23為修正因子。

Em表示信號復(fù)包絡(luò)模|X(n,f)|第m八分位數(shù)，其公式為

(5)

其中：F為被分析信號復(fù)包絡(luò)模|X(n,f)|的累積分布函數(shù)。

式(4)中的分子E7-E5和E3-E1由集中在E6和E2鄰近的分布質(zhì)量密度的取值決定。分母E6-E2為一個歸一化因子，用以保證線性變換中的統(tǒng)計不變特性。

依據(jù)文獻(xiàn)[8-9]，筆者定義了另外一種基于分位數(shù)的Hogg譜峭度系數(shù)，表示為

(6)

其中：2.59為修正常量。

Uα和Lα分別為信號復(fù)包絡(luò)模|X(n,f)|上α分位數(shù)以及下α分位數(shù)，定義為

(7)

(8)

根據(jù)Hogg進(jìn)行仿真試驗(yàn)，當(dāng)α=0.05,β=0.5時，該峭度系數(shù)能夠達(dá)到最理想的效果。

依據(jù)文獻(xiàn)[10]，筆者給出了第3種基于分位數(shù)的譜峭度系數(shù)，表示為

(9)

其中：F-1(α)為信號復(fù)包絡(luò)模|X(n,f)|的α分位數(shù)；2.91為修正常量。

值得注意的是，SK2在衡量峭度時會完全忽略奇異點(diǎn)的影響，而SK3和SK4則會將奇異點(diǎn)的影響計算在內(nèi)，但相對于傳統(tǒng)的譜峭度，二者在結(jié)果上又不會發(fā)生偏差。

1.3 基于小波變換的峭度圖

由于短時傅里葉變換或有限長單位沖激響應(yīng)濾波器限制了峭度圖算法的準(zhǔn)確性，因此文獻(xiàn)[4]提出了一種基于小波包變換的峭度圖算法，成功從強(qiáng)背景噪聲污染下的滾動軸承實(shí)測信號中提取出了有效故障沖擊成分。信號小波包變換的公式可表示為

(10)

其中：xi,j為在被分解的i層中的第j個子信號；Hn和Gn分別為低通和高通小波濾波器。

與傳統(tǒng)的峭度圖相比較，該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1) 克服了基于復(fù)Morlet小波變換的峭度圖中的復(fù)雜計算問題；

2) 使用的Daubechies小波具有正交、緊支集以及接近對稱的優(yōu)點(diǎn)，小波包變換避免了信息冗余或丟失，能夠很好地匹配瞬態(tài)故障沖擊特征；

3) 小波包變換能夠有效分解軸承故障頻率集中的高頻帶。

筆者提出了基于Daubechies小波包變換的具有魯棒性的峭度圖算法用于滾動軸承故障診斷研究。改進(jìn)后的方法不僅繼承了小波包峭度圖的優(yōu)點(diǎn)，即實(shí)現(xiàn)了信號高低全頻帶上的小波分解，確保了滾動軸承瞬態(tài)故障沖擊特征提取的完整性，并且避免了復(fù)Morlet小波峭度圖中的復(fù)雜計算過程。此外，與傳統(tǒng)的基于四階統(tǒng)計累計量的峭度系數(shù)相比，基于魯棒性的峭度系數(shù)能夠很好地消除小波包分解后信號中奇異點(diǎn)的影響，反映信號的真實(shí)峭度水平，從而保證了濾波器中心頻率fc和帶寬選擇以及包絡(luò)解調(diào)分析的準(zhǔn)確性。改進(jìn)的故障診斷流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)的滾動軸承故障診斷算法流程圖Fig.1 Flowchart of the proposed method

依據(jù)文獻(xiàn)[4]，改進(jìn)的方法中使用了dB10 (具有消失矩為10的Daubechies小波)分解原始故障信號。

2 仿真數(shù)據(jù)以及實(shí)測信號驗(yàn)證

2.1 滾動軸承故障仿真信號分析

建立具有周期性和脈沖性的滾動軸承內(nèi)圈故障信號仿真模型為

(11)

設(shè)fd=100 Hz，載波頻率fc=3 kHz，采樣頻率fs=25 kHz，則仿真的滾動軸承故障信號的時域信號、頻譜以及包絡(luò)譜如圖2所示。包絡(luò)譜中調(diào)制頻率fd及其倍頻成分受到干擾，不利于仿真故障頻率特征識別。

圖2 滾動軸承故障仿真信號及其頻譜與包絡(luò)譜Fig.2 Simulated temporal signal, spectrum and envelope spectrum of rolling element bearing fault

基于小波包分解的滾動軸承內(nèi)圈故障仿真信號4種譜峭度圖如圖3～6所示。經(jīng)過4種譜峭度圖濾波后的信號包絡(luò)譜如圖7所示。可以看到，4種譜峭度圖均能有效分析仿真故障信號，并從濾波后信號的平方包絡(luò)譜中準(zhǔn)確識別故障頻率。但是，基于SK1的譜峭度圖濾波后信號的譜峭度值大于其他3種魯棒性譜峭度圖濾波后信號的譜峭度值，如表1所示。這說明筆者提出的魯棒性譜峭度系數(shù)在衡量信號離差時更具有準(zhǔn)確性。

圖3 軸承故障仿真信號基于SK1小波包譜峭度圖Fig.3 SK1 based WPT kurtogram of simulated rolling element bearing fault signal

圖4 軸承故障仿真信號基于SK2小波包譜峭度圖Fig.4 SK2 based WPT kurtogram of simulated rolling element bearing fault signal

圖5 軸承故障仿真信號基于SK3小波包譜峭度圖Fig.5 SK3 based WPT kurtogram of simulated rolling element bearing fault signal

圖6 軸承故障仿真信號基于SK4小波包譜峭度圖Fig.6 SK4 based WPT kurtogram of simulated rolling element bearing fault signal

圖7 濾波后滾動軸承故障仿真信號平方包絡(luò)譜Fig.7 Squared envelop spectrum of filtered simulated rolling element bearing fault signal

表1 濾波后仿真故障信號譜峭度系數(shù)

Tab．1 Spectral kurtosis coefficients of the filtered simulated fault signal

譜峭度系數(shù)信號最大譜峭度值SK1SK2SK3SK40.90.30.20.6

2.2 滾動軸承故障實(shí)測信號分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本研究方法的優(yōu)越性，使用了美國西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心提供的工況下滾動軸承內(nèi)圈故障測試信號。整個試驗(yàn)裝置由功率為1 491.4 W的Reliance Electric電機(jī)驅(qū)動，傳感器的采集點(diǎn)為電機(jī)座的驅(qū)動端。故障信號由采樣頻率為12 kHz的16通道數(shù)據(jù)采集卡采樣得到。電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 748 r/min ，所對應(yīng)的轉(zhuǎn)頻fr為29.13Hz。軸承型號為6205-2RSJEMSKF深溝球軸承，根據(jù)軸承參數(shù)計算得到的內(nèi)圈故障頻率為fi=157.76Hz。原故障信號如圖8所示。

圖8 滾動軸承內(nèi)圈故障信號Fig.8 Original vibration signalof rolling element bearing with inner race fault

基于小波包分解的滾動軸承內(nèi)圈故障信號4種峭度圖如圖9～12所示。經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的譜峭度SK1=347.94明顯遠(yuǎn)大于其他3種具有魯棒性的譜峭度值SK2=2.14，SK3=2.82以及SK4=7.23。這說明傳統(tǒng)譜峭度系數(shù)SK1易受到信號中奇異點(diǎn)的影響，發(fā)生較大的偏差，SK2完全忽略奇異點(diǎn)的影響而具有最小的譜峭度值，SK3和SK4將奇異點(diǎn)計算在內(nèi)但結(jié)果不會發(fā)生偏差。比較發(fā)現(xiàn)，基于SK1的峭度圖并不能準(zhǔn)確反映實(shí)際滾動軸承故障信號的最優(yōu)分解層數(shù)以及濾波器的中心頻率，相反具有魯棒性的譜峭度圖能夠顯示出理想結(jié)果。通過比較在相同計算機(jī)(Windows64位操作系統(tǒng)，IntelCorei3-2370M處理器，主頻2.4GHz)上20次算法平均運(yùn)行時間可以看出，基于SK2，SK3小波包

圖9 基于SK1的滾動軸承故障信號峭度圖Fig.9 SK1 based Kurtogram of rolling element bearing fault signal

圖10 基于SK2的滾動軸承故障信號峭度圖Fig.10 SK2 based Kurtogram of rolling element bearing fault signal

圖11 基于SK3的滾動軸承故障信號峭度圖Fig.11 SK3 based Kurtogram of rolling element bearing fault signal

圖12 基于SK4的滾動軸承故障信號峭度圖Fig.12 SK4 based Kurtogram of rolling element bearing fault signal

峭度圖相對于基于SK1小波包峭度圖在運(yùn)算效率上準(zhǔn)確性增強(qiáng)，但計算速率有所降低，而基于SK4的小波包峭度圖不僅準(zhǔn)確性提高了,而且在分析實(shí)測信號時運(yùn)算效率也更高，如表2所示。

表2 相同計算機(jī)上20次平均運(yùn)算時間對比

Tab．2 Comparison of the averaged computation time in the same computer

譜峭度系數(shù)仿真信號/s實(shí)測信號/sSK1SK2SK3SK41.051.381.371.341.141.491.381.07

由于篇幅有限，筆者僅給出了基于小波包分解和SK4的譜峭度圖濾波后的軸承故障信號，如圖13所示。依據(jù)圖1所示的故障診斷流程，筆者將濾波后的故障信號進(jìn)行包絡(luò)譜分析，如圖14所示?？梢钥吹?，轉(zhuǎn)頻fr、滾動軸承內(nèi)圈故障特征頻率fi及其倍頻成分證明了所提方法的有效性。

圖13 基于SK4峭度圖過濾后的故障信號Fig.13 Filtered fault signal obtained by SK4 based Kurtogram

圖14 濾波故障信號的包絡(luò)譜Fig.14 Envelope spectrum of filtered fault signal

3 結(jié)束語

由于傳統(tǒng)的基于樣本四階累積量的譜峭度易受到樣本奇異點(diǎn)的影響從而發(fā)生很大的偏差，進(jìn)而影響基于該譜峭度系數(shù)的小波包分解峭度圖的效果。在此基礎(chǔ)上，提出了基于魯棒性譜峭度系數(shù)的小波包分解峭度圖改進(jìn)算法。滾動軸承內(nèi)圈故障實(shí)測信號驗(yàn)證了所提方法不僅能夠真實(shí)地反映譜峭度大小，而且能夠準(zhǔn)確過濾出理想的故障瞬態(tài)沖擊成分，有利于基于包絡(luò)譜分析軸承故障特征頻率檢測，具有很好的應(yīng)用前景。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.002

??基金資助項目(51005261)

2013-12-20；修回日期：2014-02-27

TH17; TP206

彭暢，男，1988年7月生，博士。主要研究方向?yàn)樾D(zhuǎn)機(jī)械故障診斷。曾發(fā)表《基于EEMD、度量因子和快速峭度圖的滾動軸承故障診斷方法》(《振動與沖擊》2012年第31卷第20期)等論文。 E-mail:pengchangcqu@gmail.com 通信作者簡介：柏林,男，1972年11月生，教授。主要研究方向?yàn)樘摂M儀器與信號處理。 E-mail:bolin0001@aliyun.com