胡楊麗,李長(zhǎng)清

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000）

模糊度量是模糊拓?fù)鋵W(xué)理論中的一個(gè)重要概念,現(xiàn)已在眾多學(xué)科領(lǐng)域中得到應(yīng)用.1994年,George等[1]基于連續(xù)t模定義了模糊度量空間,并證明了所導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g是第一可數(shù)和Hausdorff 的.隨后,Gregori等[2]證明了由模糊度量誘導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g可度量化.

近年來(lái),模糊度量空間的收斂性研究是一個(gè)熱門(mén)課題,文獻(xiàn)[3-9]給出了p收斂、s收斂、strong收斂、std收斂和統(tǒng)計(jì)收斂的概念,并研究了相關(guān)性質(zhì).α收斂(也稱(chēng)為連續(xù)收斂)作為數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念,早在20世紀(jì)初就被熟知[10].文獻(xiàn)[11]研究了α收斂與其他一些收斂的關(guān)系.最近,Gregoriades和Papanastassiou將α收斂引入到度量空間,并給出了映射列exhaustive的概念[12-13].眾所周知,并非所有的模糊空間都可完備化[2],這就與度量空間存在很大的區(qū)別.因此,在模糊度量空間中研究α收斂性是一個(gè)很自然的研究課題.

在模糊度量空間中定義了映射列的α收斂、exhaustive 和幾乎一致收斂,給出模糊度量空間中映射列α收斂的等價(jià)刻畫(huà);同時(shí),研究了α收斂與exhaustive、幾乎一致收斂和連續(xù)之間的相關(guān)性,揭示了映射列的exhaustive能夠刻畫(huà)點(diǎn)態(tài)收斂和α收斂的關(guān)系.這些結(jié)果豐富了模糊度量空間的收斂性,深化了模糊拓?fù)鋵W(xué)理論.

1 預(yù)備知識(shí)

本文中,N 表示正整數(shù)集.Y X表示集合X到集合Y的所有映射的集合.{fn}n∈N為Y X中的序列,以下簡(jiǎn)記{fn}n∈N為{fn}.

定義1[1]二元函數(shù)*:[0,1]×[0,1]→[0,1]稱(chēng)為連續(xù)t模,如果它滿足以下條件:

1)*滿足結(jié)合律和交換律;

2)*是連續(xù)的;

3)對(duì)?a∈[0,1],a*1=a;

4)當(dāng)a≤c和b≤d且a,b,c,d∈[0,1]時(shí),a*b≤c*d.

易知,對(duì)任意ε∈(0,1),存在ε1,ε2∈(0,ε),使得(1-ε1)*(1-ε2)＞1-ε.

定義2[1]設(shè)X是任意非空點(diǎn)集,*是連續(xù)t模,M是X2×(0,∞)上的模糊集.三元組(X,M,*)被稱(chēng)為模糊度量空間,若對(duì)任意x,y,z∈X和s,t∈(0,∞),滿足以下條件:

i)M(x,y,t)＞0;

ii)M(x,y,t)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

iii)M(x,y,t)=M(y,x,t);

iv)M(x,y,t)*M(y,z,s)≤M(x,z,t+s);

v)函數(shù)M(x,y,·):(0,∞)→[0,1]是連續(xù)的.

若(X,M,*)是模糊度量空間,則可稱(chēng)(M,*)為X上的模糊度量.

定義3[1]設(shè)(X,M,*)為模糊度量空間,x∈X,ε∈(0,1),t＞0,稱(chēng)BM(x,ε,t)={y∈X|M(x,y,t)＞1-ε}為以x為中心ε為半徑關(guān)于t的開(kāi)球.

顯然,在模糊度量空間(X,M,*)中,由集族{BM(x,ε,t)|x∈X,ε∈(0,1),t＞0}作為基可誘導(dǎo)出X上的拓?fù)?記為τM[1].

定義4[3]設(shè)(X,M,*)為模糊度量空間,序列{xn}?X.稱(chēng){xn}收斂于x∈X,若對(duì)任意ε∈(0,1)和t＞0,存在n0∈N,使當(dāng)n≥n0時(shí),有M(xn,x,t)＞1-ε.

定義5[14]設(shè)(X,N,?)和(Y,M,*)為模糊度量空間,f,fn∈Y X(n∈N),x0∈X.稱(chēng)映射列{fn}在點(diǎn)x0處點(diǎn)態(tài)收斂于

f,若對(duì)任意ε∈(0,1)和s＞0,存在n0∈N,使當(dāng)n≥n0時(shí),M(fn(x0),f(x0),s)＞1-ε.

若對(duì)任意x∈X,映射列{fn}在點(diǎn)x處點(diǎn)態(tài)收斂于f,則稱(chēng){fn}點(diǎn)態(tài)收斂于f,記為:fnf.

定義6[15]設(shè)(X,N,?)和(Y,M,*)為模糊度量空間,f∈Y X.稱(chēng)映射f在x0∈X處連續(xù),若對(duì)任意ε∈(0,1)和s＞0,存在r∈(0,1)和t＞0,使當(dāng)x∈BN(x0,r,t)時(shí),M(f(x),f(x0),s)＞1-ε.

2 主要結(jié)果與證明

除特別說(shuō)明外,以下均假設(shè)(X,N,?)和(Y,M,*)為模糊度量空間,f,fn∈Y X,其中n∈N.

定義7設(shè)x0∈X.稱(chēng)映射列{fn}在點(diǎn)x0處α收斂于f,若對(duì)任意X中收斂于x0的序列{xn},序列{fn(xn)}收斂于f(x0).

若對(duì)任意x∈X,映射列{fn}在點(diǎn)x處α收斂于f,則稱(chēng){fn}α收斂于f,記為:

命題1若映射列{fn}在點(diǎn)x0處α收斂于f,則它的任一子序列{fk(n)}都在點(diǎn)x0處α收斂于f.

證明設(shè)X中的序列{xn}收斂于x0.定義則對(duì)任意n∈N,zk(n)=xn且序列{zn}收斂于x0.因序列{fn}在點(diǎn)x0處α收斂于f,故{fn(zn)}收斂于f(x0).于是{fk(n)(zk(n))}收斂于f(x0).又因zk(n)=xn,故{fk(n)(xn)}收斂于f(x0),從而可知序列{fk(n)}在點(diǎn)x0處α收斂于f.

注由命題1可知,若映射列{fn}α收斂于f,則它的任一子序列{fk(n)}都α收斂于f.

命題2映射列{fn}在點(diǎn)x0處α收斂于f當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意ε∈(0,1)和s＞0,存在r=r(x0,ε,s)∈(0,1),t=t(x0,ε,s)＞0和N0=N0(x0,ε,s)∈N,使當(dāng)x∈BN(x0,r,t)時(shí),對(duì)任意n≥N0,有M(fn(x),f(x0),s)＞1-ε.

證明 必要性設(shè){fn}在點(diǎn)x0處α收斂于f.假設(shè)存在ε0∈(0,1),s0＞0,對(duì)任意r∈(0,1),t＞0 和n∈N,存在x′∈BN(x0,r,t)和n′≥n,有M(fn′(x′),f(x0),s0)≤1-ε0.令k(0)=0,取則存在和k(1)≥k(0)+1,有M(fk(1)(x1),f(x0),s0)≤1-ε0.取則存在和k(2)≥k(1)+1,有M(fk(2)(x2),f(x0),s0)≤1-ε0.無(wú)限重復(fù)該步驟,由歸納法可得,對(duì)任意存在和k(n)≥k(n-1)+1,有M(fk(n)(xn),f(x0),s0)≤1-ε0.因?yàn)閗(n)≥n,所以當(dāng)n→∞時(shí),k(n)→∞.顯然,序列{xn}收斂于x0,而序列{fk(n)(xn)}不收斂于f(x0),即{fk(n)}在點(diǎn)x0處不α收斂于f,這就與命題1矛盾.

充分性假設(shè)對(duì)任意ε∈(0,1)和s＞0,存在r=r(x0,ε,s)∈(0,1),t=t(x0,ε,s)＞0 和N0=N0(x0,ε,s)∈N,使當(dāng)x∈BN(x0,r,t)時(shí),對(duì)任意n≥N0時(shí),有M(fn(x),f(x0),s)＞1-ε.設(shè){xn}為X中收斂于x0的序列,則對(duì)上面的r和t,存在N1∈N,使得當(dāng)n≥N1時(shí),xn∈BN(x0,r,t).取N2=max{N0,N1},則當(dāng)n≥N2時(shí),M(fn(xn),f(x0),s)＞1-ε,即序列{fn}點(diǎn)x0處α收斂于f.

顯然,若fnf,則fnf.

定義8設(shè)x0∈X.稱(chēng)映射列{fn}在 點(diǎn)x0處為exhaustive,若對(duì)任意ε∈(0,1) 和s＞0,存在r=r(x0,ε,s)∈(0,1),t=t(x0,ε,s)＞0和N0=N0(x0,ε,s)∈N,使當(dāng)n≥N0和x∈BN(x0,r,t)時(shí),有M(fn(x),fn(x0),s)＞1-ε.

若對(duì)任意x∈X,映射列{fn}在點(diǎn)x處為exhaustive,則稱(chēng){fn}為exhaustive.

定義9設(shè)x0∈X.稱(chēng)映射列{fn}在點(diǎn)x0處幾乎一致收斂于f,若對(duì)任意ε∈(0,1)和s＞0,存在r=r(x0,ε,s)∈(0,1),t=t(x0,ε,s)＞0和N0=N0(x0,ε,s)∈N,使當(dāng)n≥N0和x∈BN(x0,r,t)時(shí),有M(fn(x),f(x),s)＞1-ε.

若對(duì)任意x∈X,映射列{fn}在點(diǎn)x處幾乎一致收斂于f,則稱(chēng){fn}幾乎一致收斂于f.

定理1映射列{fn}α收斂于f的充分必要條件為{fn}點(diǎn)態(tài)收斂于f且為exhaustive.

證明 必要性設(shè)映射列{fn}α收斂于f.若{fn}在點(diǎn)x0∈X處非exhaustive,則存在ε0∈(0,1)和s0＞0,對(duì)任意r∈(0,1),t＞0和n∈N時(shí),存在x′∈BN(x0,r,t)和n′≥n,使得M(fn′(x′),fn′(x0),s0)≤1-ε0.由歸納法,可得序列{xn}和自然數(shù)集的遞增子序列{k(n)},使得且對(duì)任意n∈N,M(fk(n)(xn),fk(n)(x0),s0)≤1-ε0.

現(xiàn)取ε1∈(0,ε0),使得(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε0.因{fn}α收斂于f且{fk(n)}是{fn}的子序列,故由命題1 可知,{fk(n)}α收斂于f.又因{xn}收斂于x0,則{fk(n)(xn)}收斂于f(x0),于是存在n0∈N,使當(dāng)n≥n0時(shí),M(fk(n)(xn),f(x0),s0/2)＞1-ε1.由于映射列的α收斂必為點(diǎn)態(tài)收斂,故存在n1∈N,使當(dāng)n≥n1時(shí),M(fk(n)(x0),f(x0),s0/2)＞1-ε1.取n2=max{n0,n1},則當(dāng)n≥n2時(shí),有

M(fk(n)(xn),fk(n)(x0),s0)≥M(fk(n)(xn),f(x0),s0/2)*M(fk(n)(x0),f(x0),s0/2)＞

(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε0，

矛盾.因此,由x0的任意性可知,映射列{fn}為exhaustive.

充分性設(shè)x0∈X,序列{xn}收斂于x0.令ε∈(0,1),則存在ε1∈(0,ε),使得(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε.因映射列{fn}點(diǎn)態(tài)收斂于f,故對(duì)任意s＞0,存在n1∈N,使當(dāng)n≥n1時(shí),M(fn(x0),f(x0),s/2)＞1-ε1.由于{fn}為exhaustive,則對(duì)上面的s,存在n2∈N,r∈(0,1)和t＞0,使當(dāng)x∈BN(x0,r,t)和n≥n2時(shí),M(fn(x),fn(x0),s/2)＞1-ε1.又因{xn}收斂于x0,則存在n3∈N,使當(dāng)n≥n3時(shí),xn∈BN(x0,r,t).于是當(dāng)n≥max{n2,n3}時(shí),M(fn(xn),fn(x0),s/2)＞1-ε1.令n4=max{n1,n2,n3},則當(dāng)n≥n4時(shí),有

M(fn(xn),f(x0),s)≥M(fn(xn),fn(x0),s/2)*M(fn(x0),f(x0),s/2)＞

(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε，

即{fn}在點(diǎn)x0處α收斂于f,由點(diǎn)x0的任意性知序列{fn}α收斂于f.

命題3若映射列{fn}點(diǎn)態(tài)收斂于f且{fn}在點(diǎn)x0∈X處為exhaustive,則f在點(diǎn)x0處連續(xù).

證明設(shè)ε∈(0,1),則存在ε1∈(0,ε),使得(1-ε1)*(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε.因?yàn)樾蛄衶fn}在點(diǎn)x0∈X處為exhaustive,所以對(duì)上述的ε1和任意s＞0,存在r∈(0,1),t＞0 和N0∈N,使當(dāng)n≥N0和x∈BN(x0,r,t)時(shí),有M(fn(x),fn(x0),s/3)＞1-ε1.

設(shè)x∈BN(x0,r,t).因{fn}點(diǎn)態(tài)收斂于f,故存在N1∈N,使當(dāng)n≥N1時(shí),有M(fn(x),f(x),s/3)＞1-ε1和M(fn(x0),f(x0),s/3)＞1-ε1.令N2=max{N0,N1},則當(dāng)n≥N2時(shí),有

M(f(x),f(x0),s)≥M(f(x),fN2(x),s/3)*M(fN2(x),fN2(x0),s/3)*M(fN2(x0),f(x0),s/3)＞

(1-ε1)*(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε，

因此,映射f在點(diǎn)x0處連續(xù).

定理2映射列{fn}α收斂于f的充分必要條件是{fn}幾乎一致收斂于f且f連續(xù).

證明 必要性由定理1 和命題3 可得f連續(xù).設(shè)ε∈(0,1),則存在ε1∈(0,ε),使得(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε.因?yàn)樾蛄衶fn}α收斂,則對(duì)任意s＞0,存在r1∈(0,1),t1＞0 和N0∈N,使當(dāng)x∈BN(x0,r1,t1),對(duì)任意n≥N0,有M(fn(x),f(x0),s/2)＞1-ε1.又因f在x0∈X處連續(xù),則存在r2∈(0,r1)和t2∈(0,t1),使當(dāng)x∈BN(x0,r2,t2)時(shí),M(f(x),f(x0),s/2)＞1-ε1.于是當(dāng)n≥N0和x∈BN(x0,r2,t2)時(shí),有

M(fn(x),f(x),s)≥M(fn(x),f(x0),s/2)*M(f(x),f(x0),s/2)＞

(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε，

因此,{fn}幾乎一致收斂于f.

充分性設(shè)ε∈(0,1),則存在ε1∈(0,ε),使得(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε.設(shè)x0∈X,序列{fn}在x0處幾乎一致收斂于f,則對(duì)任意s＞0,存在r1∈(0,1),t1＞0 和N0∈N,使當(dāng)n≥N0和x∈BN(x0,r1,t1)時(shí),有M(fn(x),f(x),s/2)＞1-ε1.又因f連續(xù),故存在r2∈(0,r1)和t2∈(0,t1),使當(dāng)x∈BN(x0,r2,t2)時(shí),M(f(x),f(x0),s/2)＞1-ε1.于是當(dāng)n≥N0和x∈BN(x0,r2,t2)時(shí),有

M(fn(x),f(x0),s)≥M(fn(x),f(x),s/2)*M(f(x),f(x0),s/2)＞

(1-ε1)*(1-ε1)＞1-ε，

因此,{fn}α收斂于f.