謝瑜凡

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建 漳州 363000）

2009年,Danilov[1]提出了從拓撲的角度討論知識空間,運用知識空間的背景,結合Császár[2]提出廣義拓撲空間的概念,林福財?shù)萚3]系統(tǒng)研究了一種更強的廣義拓撲空間,即pre-拓撲空間.事實上,李進金[4]首先討論了pre-拓撲結構.之后,劉德金[5-6]討論了pre-拓撲結構的一些基本性質.

自20世紀以來,拓撲群理論及其相關推廣一直是一般拓撲學研究的熱點,見文獻[1,7-10].文獻[7]在群上定義了pre-拓撲使得pre-拓撲與群的運算相互協(xié)調,即pre-拓撲群.由于τ-narrow子集在研究拓撲群中非常重要,自然地,考慮能否將文獻[1]中拓撲群τ-narrow 子集的性質推廣到pre-拓撲群上.因此,在文獻[11]的基礎上研究了pre-拓撲群中τ-narrow 子集的相關性質,并證明了幾乎拓撲群G的子集B是τnarrow當且僅當由B代數(shù)生成G的子群B是τ-narrow.

1 預備知識

定義1[3]若集合X的子集的集族σ滿足對任意并封閉且X∈σ.特別地,?∈σ,則稱σ是X的pre-拓撲,σ中的元素稱為pre-拓撲的開集.

定義2[3]設X和Y是兩個pre-拓撲空間,f:X→Y是一個映射.如果Y中每一個開集U的原像f-1(U)是X中的一個開集,則稱映射f是pre-連續(xù).

定義3[7]非空集合G是一個群同時又是pre-拓撲空間,使得乘法運算f(x×y)=x·y是G×G→G的pre-連續(xù)映射且逆運算g(x)=x-1是G→G的pre-連續(xù)映射,則稱G為pre-拓撲群.

定義4[7]設G是pre-拓撲群且Be是單位元e處的pre-基,若滿足：

1)對任意U∈Be,存在V∈Be使得V2?U,則稱G是強pre-拓撲群;

2)如果Be是對稱的,即對任意V∈Be使得V=V-1,則稱G是對稱pre-拓撲群;

3)若G既是對稱pre-拓撲群也是強pre-拓撲群,則稱G是幾乎拓撲群.

定義5如果對pre-拓撲群G中單位元的任意開鄰域U,存在G的子集F使得|F|≤τ且B?FU∩UF,其中τ是無限基數(shù),則稱pre-拓撲群G的子集B在G中是τ-narrow.

定義6[7]設X是pre-拓撲空間,對X的任意開覆蓋U 都有U 的子集族ν使得|ν|≤κ且∪ν=X,則稱該最小基數(shù)κ是pre-拓撲空間X的Lindel?f數(shù),記作l(X).若l(X)=ω,則稱X是Lindel?f.

定義7[7]假設U是pre-拓撲群G的單位元的鄰域且B是G的子集,如果對?a,b∈B且a≠b有b?aU,則稱G的子集B是U-不相交.

引理1[7]設G是幾乎拓撲群,U和V是G中單位元的兩個開鄰域使得V4?U且V-1=V.如果G的子集B是U-不相交,則開集族{aV:a∈B}在G中是離散的.

定義8[7]設(G,τ)是pre-拓撲空間,若G中任意局部有限開子集族是有限的,則稱G是feebly緊.

定義9若X的任意離散的非空開集族的基數(shù)是嚴格小于τ,則稱空間X的離散胞腔數(shù)dc(X)=τ.顯然,dc(X)=0當且僅當X是feebly 緊空間；dc(X)≤1當且僅當X的任意離散的非空開集族是可數(shù)的,則稱X是feebly-1-緊.

定理1[7]τ-narrow pre-拓撲群的任意稠子群H是τ-narrow.

2 主要結果與證明

引理2設B是pre-拓撲群G的子集.若l(B)≤τ,則pre-拓撲群G的子集B是τ-narrow.

證明取B中單位元e的任意開鄰域V,則{xV:x∈B}是B的開覆蓋.因為l(B)≤τ,所以存在B的子集F1使得|F1|≤τ且集族{xV:x∈F1}覆蓋B.故有B?F1V.

同理可證,存在B的子集F2使得B?VF2.令F=F1∪F2且|F|≤τ,從而B?FV∩VF.所以B是τnarrow.

引理3設B是幾乎拓撲群G的子集.若c(B)≤τ,則B是τ-narrow.

證明設U是單位元e的開鄰域.因為G是幾乎拓撲群,所以取e的對稱開鄰域V使得V2?U.

設ξ是由B的所有V-不相交子集組成的集合,在集族ξ上賦予包含的偏序結構,且V-不相交集的任意鏈的并也是V-不相交集.由Zorn引理,集族ξ存在極大元A1.顯然{aV:a∈A1}是B中非空開集組成的不相交集族.因為c(B)≤τ,所以|A1|≤τ.由極大元的性質可知,對任意的x∈B/A1,存在a∈A1使得xV∩aV≠?,則x∈aVV-1=aV2?aU,所以B?A1U.

同理可證,存在集族ξ的極大元A2使得B?UA2.令A=A1∪A2且|A|≤τ,因此B?AU∩UA,所以B是τ-narrow.

根據(jù)定義9易知下面這個推論顯然成立.

推論1若B是幾乎拓撲群G的子集且滿足l(B)≤τ或c(B)≤τ,則dc(B)≤τ+，其中τ+=τ∪{τ}.

命題1設B是幾乎拓撲群G的子空間且滿足dc(B)≤τ+,則B在G中是τ-narrow.

證明反證法.假設B在G中不是τ-narrow,則存在G中單位元e的鄰域U,使得對?F?G滿足|F|≤τ有BFU≠?或BUF≠?.由Zorn 引理存在B的極大子集X,使得對?x∈X存在X∩{xU}={x}.根據(jù)假設|X|＞τ,因為G是幾乎拓撲群,所以取G中單位元的對稱開鄰域V,使得V4?U.由引理1 可知,集族γ={xV:x∈X}在G中是離散的,所以B的非空開集族θ={B∩W:W∈γ}在B中是離散的且|θ|=|γ|＞τ,這與dc(B)≤τ+矛盾.

下面證明幾乎拓撲群G的子集B是τ-narrow,當且僅當B代數(shù)生成G的子群B是τ-narrow.

命題2設G是幾乎拓撲群且B是G的子集,則下列性質等價:

1)B在G中是τ-narrow；

2)對于G中某一包含B的子群H,則B在H中是τ-narrow；

3)對于G的任意包含B的子群H,則B在H中是τ-narrow；

4)G的子群B的任意子集是τ-narrow.

證明若H是G的子群且B?H,則B?H.顯然有4)?3)?2)?1),因此只需證1)?4).假設B在G中是τ-narrow,令K=B;設U是K中單位元e的任意開鄰域,取G中e的對稱開鄰域V,使得V∩K=U.設X是B的最大子集使得對?x∈X有X∩{xV}={x}.下證|X|≤τ.事實上,若|X|＞τ,取G中e的對稱開鄰域W,滿足W2?V.因為B在G中是τ-narrow,存在G的子集F,使得B?FW且|F|≤τ,從而有|F|＜|X|且X?FW.因此,存在y∈F使得|X∩yW|≥2.設x1和x2是X∩yW中的兩個不同元素,則

因此x2∈x1V,這與B的子集X是V-不相交矛盾,故|X|≤τ.

又由X的極大性可知,B?XV,下證B?XU.事實上,若b∈B,則?x∈X且v∈V使得b=xv,從而有v∈x-1b∈B=K.所以v∈V∩K?U,由上述式子可得b=xv∈xU.所以B?XU.同理取B的子集Y使得B?UY且|Y|≤τ.于是B在B中是τ-narrow.

引理4設A和B是pre-拓撲群G的τ-narrow子集,則集合A-1和AB在G中也是τ-narrow.

證明設U是G中單位元e的鄰域,存在G中e的鄰域O使得O-1?U.因為A是τ-narrow 且存在子集F?G,所以有A?FO∩OF.令K=F-1,則|K|=|F|≤τ且

A-1?(FO)-1∩(OF)-1=O-1K∩KO-1?UK∩KU.

所以A-1在G中是τ-narrow.

下證AB在G中也是τ-narrow.取G中單位元e的開鄰域V1,V2,使得V1V2?U且G的子集L滿足|L|≤τ和B?LV2.對任意的y∈L,取G中e的鄰域Wy使得yWy y-1?V1.

因為A在G中是τ-narrow,所以存在G的子集Ky使得|Ky|≤τ且A?KyWy.令且M=KL,顯然|M|≤τ.下證AB?MU.假設a∈A,b∈B.取y∈L,使得b∈yV2且存在x∈Ky有a∈xWy.因此,

ab∈xWy yV2=xy(y-1Wy y)V2?xyV1V2?xyU，

即ab∈MU.從而AB?MU得證.

同理,存在G的子集M′使得AB?UM′且|M′|≤τ.令E=M∪M′,則|E|≤τ且AB?EU∩UE.所以,AB在G中也是τ-narrow.

定理2設X是代數(shù)生成pre-拓撲群G的τ-narrow子集,則群G是τ-narrow.

證明由引理4 可知,集合Y0=X∪X-1在G中是τ-narrow.對?n∈ω,定義Yn+1=YnY0.再次利用引理4對n進行歸納,即對?n∈ω有Yn+1是τ-narrow.因為τ≥ω且X=∪n=0∞Yn,所以群G是τ-narrow.由定理2可得到下面推論2-3.

推論2如果pre-拓撲群G包含由Lindel?f子空間代數(shù)生成的稠子群,則G是ω-narrow.

證明設B是G的Lindel?f子空間,它生成G的稠子群H.由引理2 可知,B在G中是τ-narrow.又根據(jù)定理2得到群H是τ-narrow.最后,由定理1可知G是τ-narrow.

推論3如果幾乎拓撲群G包含由子空間B代數(shù)生成的稠子群且c(B)≤τ,則G是τ-narrow.