陳欽龍,肖義麗,曹 煒,3

（1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000；2.寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211；3.福建省粒計(jì)算及其應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 漳州 363000）

設(shè)Fq表示特征為p的q階有限域,其中q=pr,p為素?cái)?shù),r∈Z+,F*q=Fq{0}.設(shè)f為Fq上具有如下形狀的對(duì)角多項(xiàng)式

其中ai∈F*q,mi∈Z+,mi|(q-1),i=1,…,n.用Nq(f)表示方程f=0在Fq中的解數(shù).1949年,華羅庚等[1]和Weil[2]分別獨(dú)立地得到了Nq(f)用特征和表示的公式

其中和項(xiàng)過(guò)所有滿足ψmi i=ε,ψi≠ε,i=1,…,n且ψ1…ψn=ε的Fq上n個(gè)乘法特征ψ1,…,ψn,；ε表示Fq上的平凡乘法特征;J0(ψ1,…,ψn)為Fq上的雅可比和,即

1954年,Carlitz[3]首先提出尋找如下形式方程的解數(shù)問(wèn)題

其中a1,…,an,b∈F*q,n≥3.對(duì)于n=3 和n=4,他給出了解數(shù)的具體表達(dá)式.Baoulina[4-8]推廣了Carlitz 的相關(guān)結(jié)果,并對(duì)n,q進(jìn)行限定,得到了方程式(2)滿足特定條件時(shí)的解數(shù)公式.其他關(guān)于Carlitz類(lèi)型方程及其推廣形式的研究參見(jiàn)文獻(xiàn)[9-14].Baoulina[7]研究了下列Carlitz方程

其中ai,b∈F*q,mi∈Z+,mi|(q-1),1≤i≤n,n≥2.

利用I(m1,…,mn)給出方程式(3)在特殊情形時(shí)解數(shù)公式的具體表達(dá)式,即

其中I(m1,…,mn)表示下列丟番圖方程的解(u1,…,un)的個(gè)數(shù).

1 引理

設(shè)ψ是Fq上的非平凡乘法特征,定義Fq上關(guān)于ψ的高斯和為

其中trFq/Fp(y)=y+yp+…+ypr-1表示y從Fq到Fp的絕對(duì)跡.

引理1[15]設(shè)ψ1,…,ψt,ε是Fq上的乘法特征,其中ε是平凡特征.則有

設(shè)1≤d|(q-1),令?dq={ad|a∈F*q},即表示F*q中的d次冪元集合.用N(xk=b)表示方程xk=b的解x∈Fq的個(gè)數(shù),其中k∈Z+,b∈Fq.

引理2[15]令ψ是Fq上階為d0=gcd(k,q-1)的乘法特征,則有

引理3[15]設(shè)q=p2ls,p是素?cái)?shù),l,s∈Z+.令ψ是Fq上階為δ的乘法特征,且δ|(pl+1),則有

考慮下面的Carlitz方程

引理4設(shè)q=p2ls,p是素?cái)?shù),l,s∈Z+,ai=bmi i,i=1,…,n.設(shè)ψ是Fq上階為δ的乘法特征,其中δ＞1,δ|d,mδ|(pl+1).令λ是Fq上階為pl+1的乘法特征使ψ=λ(pl+1)/δ.則有

證明因?yàn)棣说碾A為pl+1,故λ(pl+1)/mt的階為mt,1≤t≤n.又已知mδ|(pl+1),所以mi|(pl+1)/δ.由引理2 有

因?yàn)閙tδ?(ktδ+1),其中0≤kt≤mt-1,1≤s≤n.所以λ(ktδ+1)(pl+1)/δmt≠ε.又因?yàn)棣?λ(Pl+1)/δ,所以由引理1 可得結(jié)論.

引理5[16]設(shè)m1,…,mn∈Z+,m=lcm[m1,…,mn].則對(duì)θ∈Q,同余h式

有解當(dāng)且僅當(dāng)mθ∈Z,且在同余式有解時(shí),其解數(shù)為

進(jìn)一步,利用引理3,引理4 和引理5,我們可以得到T(ψ)的具體值.

引理6設(shè)q=p2ls,其中p是素?cái)?shù),l,s∈Z+,ai=bmi i,i=1,…,n.設(shè)ψ是Fq上階為δ的乘法特征,其中δ＞1,δ|d,mδ|(pl+1).則有

證明首先我們先證明ψ(-1)=1.若p=2,則ψ(-1)=ψ(1)=1.若p＞2,且mδ|(pl+1),(pl+1)|(p2l-1),則2δ|(p2l-1),又因?yàn)?p2l-1)|(p2ls-1),所以2δ|(p2ls-1),因此ψ(-1)=(-1)(p2ls-1)/δ=1.

設(shè)g是循環(huán)群的生成元,λ是上 階 為pl+1的乘法特征.定義ψ(g)=e2πi/δ,λ(g)=e2πi/(pl+1)故ψ=λ(pl+1)/δ.設(shè)kr∈Z,0≤kr≤mr-1,1≤r≤n,且因?yàn)閙rδ?(krδ+1),所以λ(krδ+1)(pl+1)/mrδ≠ε,且λ(krδ+1)(pl+1)/mrδ的階為(pl+1)/(gcd(pl+1,(krδ+1)(pl+1)/(mrδ))).接下來(lái)證明

分兩種情形進(jìn)行討論.

(i)若p或?yàn)榕紨?shù),則由引理3 可得

顯然,此時(shí)式(4)對(duì)第一種情形成立.

(ii)若p和均為奇數(shù),則由引理3 知只須證

對(duì)任意的1≤j≤n,有

故由引理4 可得

綜上,引理得證.

2 主要結(jié)論及其證明

主要考慮下面的Carlitz 方程

其中mi∈Z+,mi|(q-1),ai∈,b∈F*q,1≤i≤n,n≥2.設(shè)用Nq表示方程式(10)在Fq中的解數(shù).用Nq(0)和Nq*(0)分別表示方程a1xm11+…+anxmnn=0在Fq和在F*q中的解數(shù).

定理1[1-2]設(shè)f是形如式(1)的多項(xiàng)式,則

其中I(m1,…,mn)表示下列丟番圖方程的解(u1,…,un)的個(gè)數(shù)

定理2[7]設(shè)ψ是有限域Fq上的乘法特征,則方程式(3)在Fq中的解數(shù)為

其中

定理3設(shè)q=p2ls,其中p是素?cái)?shù),l,s∈Z+.若m|(pl+1),則有

證明λ是Fq中階為pl+1 的乘法特征,則λ(pl+1)/mi在Fq中的階為mi,其中1≤i≤n.因?yàn)樗苑匠膛c方程ym11+…+ymnn=0的解數(shù)相同.由引理1 和引理2 有

類(lèi)似引理6 中對(duì)式(4)的證明,可以得到

故由式(11)和式(12)可得

即證.

定理4設(shè)q=p2ls,其中p是素?cái)?shù),設(shè)md＞2,且有md|(pl+1),其中l(wèi)選擇最小整數(shù),則

其中

證明由定理3 與容斥原理可得

由定理2 和定理3 可得

最后由引理6 得

其中T的定義可由引理2 得到.