黃 蔚,陳 偉,2,3*

（1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000；2.數(shù)字福建氣象大數(shù)據(jù)研究所,福建 漳州 363000；3.數(shù)據(jù)科學(xué)與統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建 漳州 363000）

剩余格是一類(2,2,2,2,2,0)型的代數(shù)結(jié)構(gòu)L=(L,∧,∨,·,,/,e)滿足(L,∧,∨)是格，(L,·,e)是幺半群，和∕分別是偏序集L上關(guān)于·的左剩余和右剩余，即滿足條件：

對任意a,b,c∈L,b≤ac?a·b≤c?a≤c∕b.

剩余格L 稱為冪等元剩余格，如果對任意a∈L，有a·a=a；若L 的格導(dǎo)出(L,∧,∨)是鏈，則L 稱為剩余鏈.為方便起見，對于a,b∈L，將a·b簡記作ab.

剩余格與子結(jié)構(gòu)邏輯存在著緊密聯(lián)系.在剩余格理論的研究中，冪等元剩余格的研究是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域.文獻(xiàn)[1]從半群的角度研究冪等元剩余鏈，借助半群的Green-D 關(guān)系方法，給出冪等元剩余鏈的重要性質(zhì)和結(jié)構(gòu)定理.繼續(xù)文獻(xiàn)[1]的研究，給出了冪等元剩余鏈的另一種構(gòu)造方法，并給出了這類剩余格的結(jié)構(gòu)定理，推廣了文獻(xiàn)[2]的定理20、定理21以及文獻(xiàn)[3]的定理3.5.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[4]設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余格，a,b,c∈L.則

1）(b∨c)a≈(ba)∧(ca)；

2）a∕(b∨c)≈(a∕b)∧(a∕c).

引理2[5]設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余格，a,b∈L.則

1）a∧b≤ab≤a∨b；

2）若ab≤e，則ab=a∧b；

3）若ab≥e，則ab=a∨b；

4）若a,b≤e，則ab=a∧b；

5）若a,b≥e，則ab=a∨b.

引理3[1]設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈.則

1）對任意a∈L，Da至多包含兩個(gè)元.此外，若b∈Da且b≠a，則a＞e,b＜e或者a＜e,b＞e；

2）對任意a∈L，(Da,·)或者是左零半群，或者是右零半群.

據(jù)文獻(xiàn)[6]，在冪等元剩余鏈L=(L,∧,∨,·,,/,e)上定義如下自然偏序關(guān)系≤n：對于a,b∈L，a≤nb當(dāng)且僅當(dāng)ab=ba=a.此外，Green-D 關(guān)系是L的半群導(dǎo)出上的半格同余，即商半群(LD,·)，簡記作LD是半格.為方便起見，對于a∈L，將LD 中的元素簡記作Da.再由文獻(xiàn)[6]，在LD上定義如下偏序關(guān)系≤*：對于a,b∈L，Da≤*Db當(dāng)且僅當(dāng)Da·Db=Da.

引理4[1]設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈.則

1）(LD,≤*)是有最大元De的鏈；

2）若a,b∈L滿足a≤e和b≤e，則a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a≤nb當(dāng)且僅當(dāng)Da≤*Db；

3）若a,b∈L滿足a≥e和b≥e，則a≤b當(dāng)且僅當(dāng)b≤na當(dāng)且僅當(dāng)Db≤*Da；

4）若a,b∈L滿足a≤e和b≥e，則a＜nb當(dāng)且僅當(dāng)Da＜*Db；

5）若a,b∈L滿足a≤e和b≥e，則b＜na當(dāng)且僅當(dāng)Db＜*Da；

6）若a,b∈L滿足a＜e和b＞e，則a和b關(guān)于自然序≤n不可比較當(dāng)且僅當(dāng)Da=Db.

2 主要結(jié)論及其證明

設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈.對于a∈L，令a*=ae∧e∕a.對于a,b∈L，a?b（或a?nb）表示a＜b（或a＜nb），且對任意c∈L，若a≤c≤b（或a≤nc≤nb），則c=a或c=b.Da?*Db表示Da＜*Db，且對任意c∈L，若Da≤*Dc≤*Db，則Dc=Da或Dc=Db.a‖nb表示a和b關(guān)于≤n不可比較，即ab≠ba.令L*={j∈L:存在a∈L使j=a*}，L*-={j∈L*:j≤e}和L*+={j∈L*:j＞e}.對任意j∈L*，令Lj={c∈L:c**=j}，minLj表示Lj中的最小元.對于i,j∈L*-，i?L*-j表示i＜j且若存在l∈L*-使i≤l≤j，則l=i或者l=j.

命題1設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈，a∈L.則

1）若a＜e，則a＜na*.此外，若存在b∈L滿足a＜nb＜na*，則b＜e；

2）若a＞e，則a*＜na.此外，若存在b∈L滿足a*＜nb＜na，則b＞e；

3）若a＜e，則a≤a**，a≤na**.特別地，當(dāng)a*≠e時(shí)，有a**?na*；

4）若a＞e，則a≤a**，a**≤na和a*?na**.

證明1）如果a＜e，那么有ae≥e和e∕a≥e，于是a*=ae∧e∕a≥e，且a*≤ae和a*≤e∕a，即aa*≤e和a*a≤e.再由引理2 的2）得aa*=a*a=a*∧a=a，故有a＜na*.假設(shè)存在b∈L，b≥e使a＜nb＜na*，那么由引理4的3）得b＞a*.又ab=ba=a＜e，故b≤ae和b≤e∕a.于是b≤a*，從而產(chǎn)生矛盾.因此b＜e.

2）與1）類似得證.

3）如果a＜e，則a*≥e.由1）得a＜na*，且有a*e≤e和e∕a*≤e，故a**≤e.據(jù)引理2 的4）有a**a=aa**=a**∧a.假設(shè)a**＜a，那么a**a=aa**=a**，即a**＜na.于是有a**＜na＜na*.再由2）知a＞e，這與a＜e矛盾.故a≤a**.于是由引理4 的2）得a≤na**.特別地，如果a*≠e，則a*＞e.那么由2）得a**＜na*.假設(shè)存在b∈L使a**＜nb＜na*，則由2）得b＞e.但a≤na**＜nb＜na*，故由1）得b＜e，從而產(chǎn)生矛盾.因此a**?na*.

4）與3）類似得證.證畢.

命題2設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈.則

1）對任意a∈L，a***=a*；

2）對于a∈L，a∈L*當(dāng)且僅當(dāng)a**=a.

證明1）對任意a∈L，考慮以下3種情形：

①a=e：結(jié)論顯然成立；

②a＜e：有a*≥e.此時(shí)如果a*=e，則有a***=a*=e.如果a*＞e，那么有a**＜e和a***≥e，且由命題1 的1）和3）得a**＜na***和a≤na**?na*.假設(shè)a***≠a*，由于a***≥e和a*≥e，故由引理3的1）知Da***≠Da*，再由引理4的6）知a***與a*關(guān)于≤n可比較.于是有a**?na*＜na***.從而由命題1 的1）得a*＜e，這與a*＞e矛盾.因此a***=a*；

③a＞e：與情形②類似得證.

2）充分性顯然.

必要性如果a∈L*，那么存在b∈L使b*=a.于是由1）得a**=b***=b*=a.證畢.

命題3設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈.則

1）對于a,b∈L，若a≤b，則b*≤a*；

2）若i,l∈L*-，則i=l當(dāng)且僅當(dāng)i*=l*.此外，對任意i∈L*-{e}，有i*＞e和i?ni*；

3）對任意j∈L*，j是Lj的最大元.此外，Lj是L關(guān)于≤的區(qū)間，即若a∈Lj，b∈L滿足a≤b≤j，則b∈Lj；

4）對任意j∈L*+,a∈Lj，有a＞e；

5）對任意j∈L*，若存在j#∈L滿足j‖n j#，則Lj={j}；

6）對任意j∈L*，若存在a∈Lj滿足|Da|=2，則a是Lj的最小元；

7）對于i,l∈L*-滿足i≠l，a∈Li，b∈Ll，c∈Li*和d∈Ll*，則i＜l當(dāng)且僅當(dāng)a＜b當(dāng)且僅當(dāng)c＞d；

8）對于i,l∈L*-，j=l*∈L*+，若存在a∈Li和b∈Lj滿足a‖nb，則l?L*-i.

證明1）如果a≤b，則由引理1的1）和2）得，be=(a∨b)e=ae∧be和e∕b=e∕(a∨b)=e∕a∧e∕b.故有be≤ae和e∕b≤e∕a.又由于b*=be∧e∕b，于是有b*≤e∕a和b*≤ae.因此b*≤a*.

2）必要性顯然.

充分性假設(shè)i,l∈L*-.如果i*=l*，那么由命題2的2）知，i=i**=l**=l.

下面證明對任意i∈L*-{e}，有i*＞e和i?ni*.首先，由于i＜e，故i*≥e.如果i*=e，那么據(jù)命題2 的2）知i=i**=e*=e，這與i＜e矛盾.因此i*＞e.其次，由命題1 的1）得，i＜ni*.反設(shè)存在a∈L使i＜na＜ni*.那么由命題1的1）得a＜e.又i=i**＜na＜ni*，故由命題1的2）得a＞e，從而產(chǎn)生矛盾.因此i?ni*.

3）因?yàn)閖∈L*，由命題2 的2）有j**=j.故j∈Lj.由于對任意a∈Lj，有a**=j.于是結(jié)合命題1 的3）和4）知，a≤a**=j.因此j是Lj的最大元.假設(shè)a∈Lj，b∈L使a≤b≤j.那么由1）得j=a**≤b**≤j**=j.于是b**=j，即b∈Lj.因此Lj是L關(guān)于≤的區(qū)間.

4）對任意j∈L*+,a∈Lj，假設(shè)a≤e，則由1）得a**≤e，這與a**=j＞e矛盾.故a＞e.

5）設(shè)j∈L*，且存在j#∈L使j‖n j#.那么結(jié)合引理4 的6）和引理3 的1）知，Dj=Dj#且或者j＜e和j#＞e，或者j＞e和j#＜e.假設(shè)存在a∈Lj滿足a≠j，考慮以下兩種情形：

①j＜e：有j#＞e.由3）得a＜j＜e.且a*≠e.否則如果a*=e，則a**=e*=e，這與a**=j矛盾.于是由命題1的3）得，a＜na**=j?na*.又結(jié)合引理4 的2）和4）知，Da＜*Dj=Dj#?*Da*，故有a＜n j#?na*.再由命題1 的1）得j#＜e，這與j#＞e矛盾.因此a=j；

②j＞e：與情形①類似得證.

綜上，Lj={j}.

6）假設(shè)j∈L*，a∈Lj滿足|Da|=2.那么存在a#∈L使a‖na#且Da=Da#.考慮以下兩種情形：

①j≤e：有a≤j≤e和a#＞e.如果a=j，則由5）得Lj={j}，故j是Lj的最小元.如果a≠j，假設(shè)存在b∈Lj使b＜a，則由引理4 的2）得b＜na.又由命題1 的3）得b＜na＜na**=b**≤nb*.再結(jié)合引理4 的2）和4）知Db＜*Da=Da#＜*Db*，故有b＜na#?nb*.于是據(jù)命題1 的1）得a#＜e，這與a#＞e矛盾.因此對任意b∈Lj，有a≤b.即a是Lj的最小元；

②j＞e：與情形①類似得證.

7）假設(shè)i,l∈L*-滿足i≠l，a∈Li，b∈Ll，c∈Li*和d∈Ll*下面證明i＜l當(dāng)且僅當(dāng)a＜b.由于i,l∈L*-，據(jù)命題2 的2）知i**=i和l**=l.如果i＜l，那么由3）可知a≤i＜l和b≤l.假設(shè)b≤i，則由1）得b**≤i**=i＜l，這與b**=l矛盾.因此i＜b，故有a＜b.反之，如果a＜b，那么由3）知a≤i和a＜b≤l.假設(shè)l＜i，則由1）得a**≤l**=l＜i，這與a**=i矛盾.因此i＜l.對于i＜l當(dāng)且僅當(dāng)c＞d這一結(jié)論可類似得證.

8）假設(shè)i,l∈L*-，j=l*∈L*+，a∈Li和b∈Lj使a‖nb.則由引理4 的6）得Da=Db.又據(jù)3）和4）知a≤i≤e和e＜b≤j.如果i＜n j，那么由引理4的2）和3）得a≤ni＜n j≤nb，這與a‖nb矛盾.所以i≮n j.于是考慮以下兩種情形：

①i‖n j：由5）得a=i和b=j.再由2）有l(wèi)?nl*=j‖ni.那么結(jié)合引理4 的4）和6）知，Dl?*Dj=Di.故有l(wèi)?ni.因此l?L*-i；

②j＜ni：由2）得l?nl*=j＜ni，于是據(jù)引理4的1）知l＜i.假設(shè)存在k∈L*-使l＜k＜i.則由7）得k＜a，再由引理4 的2）得k＜na和l＜nk＜ni.故有j‖nk或者j＜nk.如果j‖nk，那么由5）得b=j，且由引理4 的6）得Db=Dk.故有Da=Db=Dk.于是由引理3 的1）得k=a，這與k＜a矛盾.如果j＜nk，那么有k≮nb.否則，若k＜nb，則由命題1 的4）得b*?nb**=j＜nk＜nb.再由命題1 的2）知k＞e，這與k∈L*-矛盾.故有b‖nk或者b＜nk.此時(shí)若b‖nk，則由引理4的6）得Da=Db=Dk.再由引理3的1）得k=a，這與k＜a矛盾.若b＜nk，則有b＜nk＜na，這與a‖nb矛盾.

綜上，l?L*-i.證畢.

設(shè)(I=I1∪I2∪I3,≤)是具有最大元e的鏈，其中I1,I2和I3兩兩互不相交.令I(lǐng)+=I1+∪I2+∪I3+={i+:i∈I{e}}，其中I+1,I+2和I+3兩兩互不相交.并規(guī)定e+=e.此外，I和I+滿足I ∩I+=?，且對于j,k∈I{e}，由j+≠k+可得j≠k.對 于i,j∈I，i?I j表示i＜j且若存在l∈I使i≤l≤j，則l=i或者l=j.現(xiàn)在令J=I∪I+，并設(shè)A={(Aj,≤Aj),j∈J}是兩兩互不相交的非空鏈構(gòu)成的集族.

定義1(I,I+,J;A)稱為一個(gè)鏈擴(kuò)張系統(tǒng)，如果滿足：

CE1）對任意j∈J，j是Aj的最大元；

CE2）若i∈I2，則存在j+∈I+2滿足j+≠i+，且j?Ii；

若i∈I3，則存在j+∈I+3滿足j+≠i+，且j?Ii；

CE3）若i+∈I+2，則存在j∈I2滿足j≠i，且i?I j；

若i+∈I+3，則存在j∈I3滿足j≠i，且i?I j；

CE4）若e∈I2∪I3，則|Ae|＞1.

給定一個(gè)鏈擴(kuò)張系統(tǒng)(I,I+,J;A)，令L=∪j∈J Aj.首先，在L上定義如下序關(guān)系≤：對于a∈Aj，b∈Ak，a≤b當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件之一：

P1）j=k∈J,a≤Ajb；

P2）j,k∈I,j＜k；

P3）j=i+1,k=i+2∈I+,i2＜i1；

P4）j∈I,k∈I+.

引理5(L,≤)是鏈.

證明先證(L,≤)是偏序集.首先由P1）可知，≤滿足自反性；其次證明≤滿足反對稱性.令a∈Aj，b∈Ak滿足a≤b和b≤a.考慮下面4種情形：

1）j=k∈J：那么由P1）得a≤Ajb和b≤Aja.因?yàn)?Aj,≤Aj)是鏈，所以a=b；

2）j,k∈I且j≠k：那么由a≤b和b≤a可知j＜k和k＜j，這是不可能的；

3）j=i+1,k=i+2∈I+且j≠k：那么由a≤b和b≤a可知i2＜i1和i1＜i2，這是不可能的；

4）j∈I,k∈I+和k∈I,j∈I+：由≤的定義可知，這兩種情形也是不可能的.

綜上，由a≤b和b≤a可得a=b.因此≤滿足反對稱性.

最后證明≤滿足傳遞性.令a∈Aj，b∈Ak，c∈As滿足a≤b和b≤c.考慮下面4種情形：

1）j=k=s∈J：那么由P1）得a≤Ajb和b≤Ajc.因?yàn)?Aj,≤Aj)是鏈，于是有a≤Ajc.因此根據(jù)≤的定義得a≤c；

2）j=k≠s：那么當(dāng)k,s∈I且k＜s時(shí)，有j＜s，再由P2）得a≤c.當(dāng)k=i+1,s=i+2∈I+且i2＜i1時(shí)，有j=i+1，再由P3）得a≤c.當(dāng)k∈I,s∈I+時(shí)，有j∈I，再由P4）得a≤c；

3）j≠k=s：與情形2）類似得證；

4）j,k和s兩兩互不相同：如果j,k,s∈I，那么有j＜k和k＜s，于是j＜s，則由P2）得a≤c.如果j∈I,s∈I+，則由P4）得a≤c.如果j=i+1,k=i+2,s=i+3∈I+，則有i2＜i1和i3＜i2，于是i3＜i1，再由P3）得a≤c.

綜上，由a≤b和b≤c可得a≤c，即≤滿足傳遞性.因此(L,≤)是偏序集.又由≤的定義可知，對任意a,b∈L，或者a≤b或者b≤a.因此(L,≤)是鏈.證畢.

其次，在L上定義如下乘法運(yùn)算?：對于a∈Aj，b∈Ak，

引理6(L,≤,?)是單位元為e的冪等格序幺半群.

證明由?的定義，a?a=a∧a=a或a?a=a∨a=a.所以乘法?滿足冪等律.令a∈Aj.如果j∈I，那么由e是I的最大元和定義1 的CE1）得，a≤j≤e.再由?的定義，a?e=e?a=a∧e=a.如果j=i+∈I+，則有i＜e.此時(shí)若e∈I1，由?的定義得a?e=e?a=a；若e∈I2∪I3，則由定義1 的CE1）和CE4）可知，|Ae|＞1 且e不是Ae的最小元.于是結(jié)合?的定義得a?e=e?a=a.因此e是L的單位元.下面證明?滿足結(jié)合律.為此，令a∈Aj，b∈Ak，c∈As，考慮以下5種情形：

1）j,k,s∈I：由?的定義得，(a?b)?c=(a∧b)?c=a∧b∧c和a?(b?c)=a?(b∧c)=a∧b∧c.因此(a?b)?c=a?(b?c)；

2）j,k∈I,s=i+∈I+：結(jié)合?的定義有

因此(a?b)?c=a?(b?c)；

3）k,s∈I,j=i+∈I+或者j,s∈I,k=i+∈I+：與情形2）類似得證；

4）j∈I,k=i+,s=l+∈I+或者k∈I,j=i+,s=l+∈I+或者s∈I,j=i+,k=l+∈I+：與情形2）類似得證；

5）j,k,s∈I+：由?的定義得，(a?b)?c=(a∨b)?c=a∨b∨c和a?(b?c)=a?(b∨c)=a∨b∨c.因 此(a?b)?c=a?(b?c).

最后證明≤與?相容.設(shè)a,b∈L滿足a≤b，需證明對任意c∈L，有a?c≤b?c和c?a≤c?b.假設(shè)a∈Aj，b∈Ak,c∈As，考慮以下6種情形：

1）j,k,s∈I：那么由?的定義得a?c=c?a=a∧c和b?c=c?b=b∧c.又因?yàn)閍≤b，所以a?c≤b?c和c?a≤c?b；

2）j,k∈I,s=i+∈I+：那么有a≤b＜c和j≤k.如果i＜j，則i＜k.此時(shí)分以下幾種情形進(jìn)行考慮：①當(dāng)j∈I1時(shí)，由?的定義有a?c=c?a=c和b?c=c?b=c.②當(dāng)j∈I2且i?I j時(shí)，有i?Ik.再由?的定義有a?c=c?a=c和b?c=c?b=c.③當(dāng)j∈I2，i?I j且a≠minAj或c≠minAs時(shí)有a?c=c?a=c和b?c=c?b=c.④當(dāng)j∈I2，i?I j且a=minAj和c=minAs時(shí)有a?c=a，b?c∈{b,c}和c?a=c=c?b.故當(dāng)j∈I2時(shí)有a?c≤b?c和c?a≤c?b.⑤當(dāng)j∈I3時(shí)，與j∈I2的情形類似得證.如果j≤i，則由?的定義得a?c=c?a=a.又因?yàn)閎?c,c?b∈{b,c}，所以a?c≤b?c和c?a≤c?b；

3）j,s∈I,k=i+∈I+：那么由?的定義得a?c=c?a=a∧c≤c＜b.又因?yàn)閎?c,c?b∈{b,c}，所以a?c≤b?c和c?a≤c?b；

4）j∈I,k,s∈I+：則a＜b≤b∨c.又因?yàn)閍?c,c?a∈{a,c}，b?c=c?b=b∨c，所以a?c≤b?c和c?a≤c?b；

5）j=i+,k=l+∈I+,s∈I：與情形2）類似得證；

6）j,k,s∈I+：那么由?的定義有a?c=a∨c=c?a和b?c=b∨c=c?b.又因?yàn)閍≤b，所以a?c≤b?c和c?a≤c?b.

綜上，(L,≤,?)是單位元為e的冪等格序幺半群.證畢.

最后，為了構(gòu)造冪等元剩余鏈，還需在L上定義如下兩種除法運(yùn)算和∕：對于a∈Aj，b∈Ak，

并將上述的(L,∧,∨,?,,/,e)記作J?A.以下結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[2]的定理20、定理21 以及文獻(xiàn)[3]的定理3.5.

定理1L=J?A是冪等元剩余鏈.

證明結(jié)合引理5 和引理6，只需證明對任意a,b∈L，a=max{c:a?c≤b}和b∕a=max{c:c?a≤b}.假設(shè)a∈Aj，b∈Ak.下面證明a=max{c:a?c≤b}.考慮以下5種情形：

情形1分下面四種情形進(jìn)行考慮：

1）j,k∈I,b＜a：由?的定義得a?(a)=a?b=a∧b=b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞b，那么有a?c∈{a,c}＞b，這與a?c≤b矛盾.故有c≤b=a.

2）j,k∈I+,a≤b：由?的定義得a?(a)=a?b=a∨b=b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞b，那么有s∈I+且c＞a.于是a?c=a∨c=c＞b，這與a?c≤b矛盾.故有c≤b=a.

3）j∈I,k=i+∈I+,i＜j：有a＜b.分以下幾種情形進(jìn)行考慮：①j∈I1∪I3:由?的定義得a?(a)=a?b=b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞b，則有s=l+∈I+且l≤i.故l＜j.于是由?的定義得a?c=c＞b，這與a?c≤b矛盾.故有c≤b=a.②j∈I2且i?I j，或者j∈I2，i?I j且a≠minAj或b≠minAk：與情形①相同.③j∈I2，i?I j且a=minAj和b=minAk：與情形①類似得證.

4）j=i+∈I+,k∈I,k≤i：有a＞b.由?的定義得a?(a)=a?b=b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞b，則a?c∈{a,c}＞b，這與a?c≤b矛盾.故有c≤b=a.

情形2分下面4種情形進(jìn)行考慮：

1）j∈I1∪I3,k∈I,a≤b：由?的定義得a?(a)=a?j+=a≤b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞j+，則s=l+∈I+且l＜j，那么a?c=c＞b，這與a?c≤b矛盾.所以c≤j+=a.

2）j∈I2,k∈I,a≤b且a≠minAj：與1）類似得證.

3）j∈I1∪I3,k=i+∈I+,j≤i：由?的定義得a?(a)=a?j+=a≤b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞j+，則s=l+∈I+且l＜j，于是有l(wèi)＜i.再由?的定義得a?c=c＞b，這與a?c≤b矛盾.所以c≤j+=a.

4）j∈I2,k=i+∈I+,j≤i且a≠minAj：與3）類似得證.

情形3分下面5種情形進(jìn)行考慮：

1)j=k=i+∈I+,a＞b:有a≠minAj.由?的定義得a?(a)=a?i=i＜b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞i，那么當(dāng)s∈I+時(shí)，a?c=a∨c≥a＞b，這與a?c≤b矛盾；當(dāng)s∈I時(shí)有s＞i，再結(jié)合?的定義可知a?c=a＞b，這與a?c≤b矛盾.故c≤i=a.

2）j=i+∈I+1∪I+2,k∈I+,k＜j：與1）類似得證.

3）j=i+∈I+3,k∈I+,k＜j且a≠minAj：與1）類似得證.

4）j=i+∈I+1∪I+2,k∈I,i＜k：有a＞b.由?的定義得a?(a)=a?i=i＜b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞i，那么當(dāng)s∈I+時(shí)有a?c∈{a,c}＞b，這與a?c≤b矛盾；當(dāng)s∈I時(shí)有s＞i，又由于j=i+∈I+1∪I+2，于是當(dāng)s∈I1∪I2時(shí)，結(jié)合定義1的CE3）和?的定義知a?c=a＞b，當(dāng)s∈I3時(shí)有i?Is，再由?的定義得a?c=a＞b，這均與a?c≤b矛盾.故c≤i=a.

5）j=i+∈I+3,k∈I,i＜k且a≠minAj：與4）類似得證.

情形4記m=minAl+，其中l(wèi)滿足l?I j.考慮以下2種情形：

1）j∈I2,k∈I,a≤b且a=minAj：由?的定義得a?(a)=a?m=a≤b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞m，則有s=h+∈I+滿足h≤l.此時(shí)如果h=l，則有c≠minAl+，再結(jié)合?的定義得a?c=c＞b；如果h＜l，則有h＜j且h?I j，于是由?的定義得a?c=c＞b，這均與a?c≤b矛盾.故有c≤m=a.

2）j∈I2,k=i+∈I+,j≤i且a=minAj：與1）類似得證.

情形5記m=minAl，其中l(wèi)滿足i?Il.考慮以下兩種情形：

1）j=i+∈I+3,k∈I+,k＜j且a=minAj：由?的定義得a?(a)=a?m=m＜b.設(shè)c∈As?L滿足a?c≤b.若c＞m，那么當(dāng)s∈I+時(shí)有a?c=a∨c≥a＞b，這與a?c≤b矛盾；當(dāng)s∈I且s≥l時(shí)有i＜s，特別地，當(dāng)s=l時(shí)有c≠minAl，當(dāng)s＞l時(shí)有i?Is.又由于j=i+∈I+3，于是結(jié)合?的定義可知，無論s∈I1∪I2或是s∈I3都有a?c=a＞b，這與a?c≤b矛盾.因此c≤m=a.

2）j=i+∈I+3,k∈I,i＜k且a=minAj：與1）類似得證.

對于b∕a=max{c:c?a≤b}的證明是類似的.證畢.

下面證明任意冪等元剩余鏈都同構(gòu)于某一J?A.設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈.令L*={j∈L:存在a∈L使j=a*}和I={j∈L*:j≤e}=I1∪I2∪I3=L*-，其 中I1={i∈L*-:對任意a∈Li,|Da|=1}，I2={i∈L*-:存在a∈Li,|Da|=2且Da是左零半群}和I3={i∈L*-:存在a∈Li,|Da|=2且Da是右零半群}.令I(lǐng)*={i*:i∈I{e}}=I1*∪I2*∪I3*=L*+， 其 中I1*={j∈L*+:對任意a∈Lj,|Da|=1}，I2*={j∈L*+:存在a∈Lj,|Da|=2且Da是左零半群}和I3*={j∈L*+:存在a∈Lj,|Da|=2且Da是右零半群}.并令X={(Lj,≤):j∈L*}.由命題3的2）可知，對任意i∈I{e}有i*＞e.因此I ∩I*=?.若i,l∈I滿足i≠l，則存在a,b∈L使a*=i和b*=l.于是由命題2的1）得i**=a***=a*=i≠l=b*=b***=l**.因此i*≠l*.

引理7(I,I*,L*;X)是一個(gè)鏈擴(kuò)張系統(tǒng).

證明由命題3的3）、5）和8）可得.證畢.

定理2設(shè)L=(L,∧,∨,·,,/,e)是冪等元剩余鏈，則L同構(gòu)于L*?L.

證明記L*?X中的序關(guān)系為≤1.結(jié)合定理1 和引理7，只需證對任意a,b∈L，≤=≤1和a·b=a?b.首先證明≤=≤1.設(shè)a,b∈L且a≤b，考慮以下3種情形：

1）若a≤e和b≤e，則由命題3 的1）得a**≤e和b**≤e，即a**,b**∈I且a**≤b**.結(jié)合a∈La**和b∈Lb**，由P1）和P2）得a≤1b；

2）若a≥e和b≥e，則由命題3的1）得a*≤e和b*≤e，即a*,b*∈I.結(jié)合a∈La**和b∈Lb**，再由命題3的1）知b*≤a*.于是由P3）得a≤1b；

3）若a≤e和b＞e，則由命題3 的1）得a**≤e和b**＞e.即有a**∈I和b**∈I*.結(jié)合a∈La**和b∈Lb**，由P4）得a≤1b.

綜上，≤?≤1.

反之，假設(shè)a≤1b，考慮以下4種情形：

1）若a**=b**∈L*，則由P1）得a≤b；

2）若a**,b**∈I滿足a**＜b**，則由命題3的7）得a≤b；

3）若a**,b**∈I*滿足a*＞b*，則由命題3的7）得a≤b；

4）若a**∈I，b**∈I*，那么結(jié)合命題3的3）和4）知a≤a**≤e和e＜b≤b**.故a≤b.

綜上，≤1?≤.因此≤=≤1.

接著證明a·b=a?b.考慮以下幾種情形：

1）若a≤e和b≤e，則由引理2 的4）知a·b=a∧b，根據(jù)?的定義得a?b=a∧b.又由于≤=≤1，故a·b=a?b；

2）若a＞e和b＞e，則與1）類似得證；

3）若a＞e和b≤e，則由命題3的1）知a*,b**∈I，且a∈La**和b∈Lb**.現(xiàn)考慮以下兩類情形：

①a*＜b：則由命題2 的1）和命題3 的3）得a*=a***＜b≤b**，即a*＜b**.分以下幾種情形進(jìn)行考慮：當(dāng)b**∈I1∪I2時(shí)，根據(jù)?的定義，a?b=a.因?yàn)閍＞e，于是由命題1 的4）得a*?na**≤na.假設(shè)b＜na.因?yàn)閍*＜b≤e，所以由引理4 的2）得a*＜nb＜na.再由命題1 的2）得b＞e，這與b≤e矛盾.故b≮na.于是有a‖nb或者a＜nb.此時(shí)如果a‖nb，那么由于b**∈I1∪I2，結(jié)合引理4 的6）可知Da=Db是左零半群，故a·b=a；如果a＜nb，即有a·b=a.綜上，當(dāng)b**∈I1∪I2時(shí)有a·b=a?b=a.當(dāng)b**∈I3且a*?Ib**或者b**∈I3，a*?Ib**且a≠minLa**或b≠minLb**時(shí)，與b**∈I1∪I2的情形同理可證得a·b=a?b=a.當(dāng)b**∈I3，a*?Ib**且a=minLa**和b=minLb**時(shí)，根據(jù)?的定義得a?b=b，又結(jié)合命題3 的6）和8）可知a‖nb，于是由引理4 的6）可得Da=Db是右零半群，因此a·b=b=a?b.

②b≤a*：則結(jié)合命題2的1）和命題3的1）可得b**≤a***=a*.那么根據(jù)?的定義，a?b=b.又因?yàn)閎≤a*≤e，所以由引理4的2）得b≤na*.再由命題1的2）有a*＜na.于是b≤na*＜na，故有a·b=b.因此a·b=a?b=b.

4）若a≤e和b＞e，與3）類似得證.證畢.