戚昌厚

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是提升學(xué)生的解題能力，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.學(xué)生解題能力的強弱直接決定高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量高低，所以在實際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該將提升學(xué)生解題能力作為教學(xué)的目標.這是一項長期而復(fù)雜的任務(wù)，需要教師積極優(yōu)化教學(xué)模式，細化教學(xué)流程，將波利亞解題模式利用在具體的解題課程教學(xué)中.該模式的具體操作步驟為讀題分析、提取組合、解題反思，將波利亞解題模式利用其中，能夠提升學(xué)生的解題能力，充分利用數(shù)學(xué)教育特征解題，讓學(xué)生熟練地參與解題實踐，實現(xiàn)對學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】波利亞解題模式;高中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)解題課程教學(xué)中，解題訓(xùn)練得到了教師的重視，教師十分重視對解題步驟的研究.從本質(zhì)上講，解題就是一條擺脫疑難、繞過障礙的途徑，通過最簡單有效的方式實現(xiàn)學(xué)生解題的目的[1-2]，解題也是一種操作性技能，可以充分體現(xiàn)解決問題的過程.在解題教學(xué)中，加強對波利亞解題模式的利用，能夠優(yōu)化解題步驟，讓學(xué)生在讀題分析—有效提取—探索—解題反思中實現(xiàn)解題能力提升.

1 波利亞解題模式

波利亞解題模式所涉及的解題內(nèi)容十分豐富，一般來說，可以將數(shù)學(xué)題目的解答分為不同的步驟.具體體現(xiàn)為：

（1）了解問題.這就要求高中學(xué)生在對數(shù)學(xué)問題解決之前，詳細分析數(shù)學(xué)題目，將數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，使學(xué)生可以充分理解題目的已知條件和未知條件所體現(xiàn)的含義，理解需要解答的問題，然后根據(jù)現(xiàn)有的條件尋求問題解決方案，實現(xiàn)數(shù)學(xué)題目求解和證明的目標，同時讓學(xué)生根據(jù)解決的問題，聯(lián)想和總結(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識點，通過總結(jié)所學(xué)知識，確定問題解決方法[3-4].

（2）制定和實施計劃.學(xué)生在全面對已知問題分析后，不要急于對問題進行解答，需要理清解題思路，分析題目解決過程中可能存在的各種問題，避免解題過程中因為急切尋求解題結(jié)果而導(dǎo)致解題失敗.這就需要學(xué)生在題目解決前，提前制定一個完善的解題計劃，詳細確定已知條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，為題目的解決提供有效保證，然后通過尋找相似的解題模型，優(yōu)化解題方式，將未知的解題思路轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)解答過的題目，便于理解，降低題目難度.計劃實施的時候，學(xué)生在確定解題思路和解題方法以后，就要根據(jù)上述制定的解題計劃，促進問題的解決，這個過程中需要綜合利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，實現(xiàn)問題的解決.

（3）檢查.因為部分學(xué)生在題目完成后，急于解決其他問題，所以會粗心，影響解題結(jié)果的準確性，導(dǎo)致學(xué)生在題目解決的過程中出現(xiàn)失誤，解題結(jié)果與標準答案出現(xiàn)偏差，為了改變這種情況，就需要學(xué)生在解題完成后，及時檢查.

2 波利亞解題模式在數(shù)學(xué)解題課程教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 通過已知問題表征促進學(xué)生分析

在波利亞解題模式利用中，了解問題對于問題的解決發(fā)揮著十分關(guān)鍵的作用.了解問題就是弄清問題，了解題意的過程，分析題目提出的問題，以便找到合理的解題角度.

一般來說，解題教學(xué)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生全面的了解題目的總體特征，通過分析問題特點，找到題目的解決方法，主要可以體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）需要將已知的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生理解的數(shù)學(xué)題目，通過數(shù)學(xué)語言將題目表達提出.

（2）尤其是應(yīng)用題解決過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對已知的條件進行分析，將題目中的大量文字語言提煉成數(shù)學(xué)語言進行描述，然后根據(jù)題目中所列出的各種條件和要求，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)據(jù)、關(guān)系式和等量關(guān)系和函數(shù)模型等，這就需要在指定的題目分析中，了解問題，為應(yīng)用題的解決提供保證[5].

（3）科學(xué)的將題目的條件范圍縮小，保證在明確各種條件后，能夠通過利用已知結(jié)構(gòu)和以前所學(xué)知識，判斷題目解決中需要利用的方法和知識點.

例如 在高中數(shù)學(xué)人教版2019B版《向量的數(shù)量積與三角恒等變換》相關(guān)問題解決時，已知邊長為1的正方形ABCD的頂點A，D分別在x和y軸的正半軸走滑動，分析OB·OC的最大值為多少.解決這個問題的時候，不少學(xué)生被題目卡住了，無法理解題目的含義，也不明白向量數(shù)量積的關(guān)系，此時不少學(xué)生就想到可以利用平面向量的基本定理做題，但是需要將既定的條件進行分析.這個過程中，學(xué)生可能受到數(shù)學(xué)語言的影響，無法正確理解數(shù)學(xué)符號和模型之間所表述的量關(guān)系，此時教師就要引導(dǎo)學(xué)生分析題目，熟悉分析，畢竟學(xué)生的解題能力與學(xué)生對于題目的熟悉程度相關(guān)，也與學(xué)生的知識基礎(chǔ)和相關(guān)的解題經(jīng)驗有關(guān)，只有學(xué)生在這個過程中利用學(xué)過的知識解決問題，方可理解題目含義，實現(xiàn)題目解決的目的.

2.2 提取有效信息制定和實施解題方案

在高中數(shù)學(xué)解題課程教學(xué)中，加強對波利亞解題模式的利用，就要通過提取有效的題目信息，制定和實施完善的解題方案，這既是題目解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是題目解決中困難最多的環(huán)節(jié)，學(xué)生在這個過程中所消耗的時間比較多，但是發(fā)生的錯誤也是最多的.所以教師需要從解決問題的實際情況出發(fā)，積極帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目解決中存在的錯誤，然后重新擬定新的解題方案，全面探索題目解決的過程，再次回到審題階段，找到問題失敗的原因，對問題重新提取組合，擬定方案.畢竟對于有效信息的提取、解題方案的實施和問題的解決是密不可分的，在審題的過程中，需要積極地制定解決方案.在制定解決方案后，還需要進一步審題，再次分析題目已知信息，分析其對于問題解決的價值.

由此可見，學(xué)生可以嘗試以下解題步驟：（1）在閱讀題目的同時需要將有價值的已知條件圈出來，將其轉(zhuǎn)化為有效的數(shù)學(xué)語言，然后對已知的問題進行羅列;（2）讀題以后，需要學(xué)生全面聯(lián)想自己學(xué)習(xí)過的與題目相關(guān)的知識，從已知、題設(shè)能想到什么，從結(jié)論中考慮需要什么信息，思考比較常見的題目解決途徑[6-7].

比較常見的解題途徑一：“問題直接可以用定義、公式、定理求解”，這就需要學(xué)生在全面分析題目信息后，對問題的特點進行分析，直接分析問題涉及的公式、定理等，將已知的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為符號、圖形、數(shù)量等信息，從而找到有效的問題解決方法.途徑二：需要學(xué)生在腦海中對學(xué)習(xí)過的類似題目進行思考，分析舊問題解決過程中利用了哪種方法，然后進入審題環(huán)節(jié)后，找到相關(guān)的問題解決類型，通過利用舊問題解決方法分析新問題，這就可以看出，熟練地掌握各種類型解題方法是十分必要的，只有學(xué)生掌握的題目類型足夠多，其在遇到新的問題時，方可快速找到問題的解決辦法.

例如 在高中數(shù)學(xué)人教版2019B版《三角函數(shù)》相關(guān)問題解決時，已知△ABC中，D為邊BC上的一點，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積是3-3，求∠BAC.對于該題目的解決，就需要在弄清問題的基礎(chǔ)上，精確分析已知信息，教師需要引導(dǎo)學(xué)生回答關(guān)鍵性的問題“已知是什么”“條件是否充分”“是否需要畫圖引入符號”等，在明確這些基礎(chǔ)條件后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋求解題思路，制定解題計劃.此時教師可以提問：“我們求三角形中的一個角需要利用哪些方法”“如果利用正弦定理求∠BAC的大小需要具備哪些已知條件”“在△ABC中，如果我們用余弦定理來求∠BAC又需要什么條件”等.在類似計劃制定后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)題目相關(guān)問題，聯(lián)想相關(guān)定理和公式，教師通過引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決興趣.要想更好地實施計劃，就要通過波利亞解題法，教師引導(dǎo)學(xué)生回答幾個問題“檢查了每一個步驟”“是否說明每一個步驟具有合理性”等，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，促進解題方案的有效實施.

2.3 適時解題回顧檢查

波利亞說：“想要從解題中得到最大的收獲，應(yīng)當深入理解如何解題，思考是否還有更簡單的解題方法？如何克服障礙等.”在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)問題解決中，不少學(xué)生因為學(xué)習(xí)壓力較大，整天在題海戰(zhàn)術(shù)中度過，雖然做了許多練習(xí)題，但是對于解題過程的認知還處于一個比較盲目而感性的階段，解題追求數(shù)量的積累，只能依賴于做題提升解題能力.但是這種做題量的提升并沒有明顯地實現(xiàn)解題能力的提升，所以這就引發(fā)關(guān)于解題的反思.多數(shù)學(xué)生在解題過程中，并沒有及時反思解題過程中存在的問題，所以無法在原有問題的基礎(chǔ)上實現(xiàn)解題能力提升.通過對大量的學(xué)生調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生做完題目后，只是將題目放在一旁，很少去回顧過程，還有部分學(xué)生不知道如何進行反思，更不知道在解題的過程中用到哪些方法，所以無法實現(xiàn)解決問題能力的提升[8-9].只有反復(fù)地回顧題目的解題方法，分析解題過程中所出現(xiàn)的問題，才能更好回顧解題經(jīng)驗，吸取失敗的經(jīng)驗，找到發(fā)生問題的根本原因，在后續(xù)的解題中，積極優(yōu)化解題思路，少走彎路，只要有同伴或者老師稍加指點便想到了解題思路.

波利亞解題模式不難，通過正確的解題流程利用，可以使學(xué)生將解決問題的思維體現(xiàn)在一個點上，實現(xiàn)重大的突破，即使是難度很高的問題，學(xué)生也可以有效解決，克服自己的解題障礙，讓學(xué)生在長久的解題經(jīng)驗中提升解決問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.波利亞解題思想利用的主要目的就是檢驗學(xué)生對于高中數(shù)學(xué)知識的掌握程度，促進學(xué)生對于高中數(shù)學(xué)知識的理解運用，以便教師因材施教，實現(xiàn)問題的解決.在題目的解決方案實施后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問題的過程，恰當?shù)卦O(shè)置課堂上“練”的環(huán)節(jié)和課后“練”的習(xí)題，做好對問題解決的回顧檢查，便于促進學(xué)生對于知識的理解和掌握，以便更好地激發(fā)學(xué)生的求知欲望，達到數(shù)學(xué)知識鞏固的目的.

3 結(jié)語

波利亞的解題理論更加重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的塑造，將其利用在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，可以作為一種常規(guī)的解題手段，通過指導(dǎo)學(xué)生了解題目，制定和實施解題方案，回顧分析解決過程，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，構(gòu)建學(xué)生的解題元認知結(jié)構(gòu).從本質(zhì)上講，波利亞的解題理論可以促進學(xué)生的數(shù)學(xué)解題元認知能力的提高，這主要是因為該方法善于利用提示語，讓學(xué)生在教師的提示語指導(dǎo)下，引發(fā)不同階段對于題目的思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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