單堯

【摘要】整體代換思想和數(shù)形結(jié)合思想是我們處理三角函數(shù)有關(guān)問題的常用思想方法.整體代換思想可以把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題，但是有時(shí)候運(yùn)算量大，不易理解.數(shù)形結(jié)合思想，可以把難理解的問題可視化，簡單化，不過學(xué)生需要有較強(qiáng)的構(gòu)圖能力和抽象概括能力.靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題可以大大簡化我們的運(yùn)算，使我們抓住問題的本質(zhì).所以，在解決三角函數(shù)有關(guān)問題時(shí)我們應(yīng)該將兩種思想結(jié)合使用，尤其是多嘗試從函數(shù)的圖象上尋找問題的答案.

【關(guān)鍵詞】整體代換思想;數(shù)形結(jié)合思想;函數(shù)的圖象

1 φ與5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置關(guān)系

1.1 三角函數(shù)中的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）而言，如果分別令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π，可得

A1（-φω，0），A2（π2-φω，1），A3（π-φω，0），A4（3π2-φω，-1），A5（2π-φω，0）這5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

1.2 φ的大小與5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置關(guān)系

（1）當(dāng)φ∈（0，π2）

（2）當(dāng)φ∈（π2，π）

（3）當(dāng)φ∈（-π2，0）

（4）當(dāng)φ∈（-π，-π2）

2 利用特殊點(diǎn)法求參數(shù)ω的范圍幾種題型

2.1 與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)問題

例1 若函數(shù)f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）在（π2，π）上單調(diào)，且在（0，π3）上存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（ ）

（A） （0，2]（B） （1，2]

（C） [23，43]（D） （1，43]

解答 因?yàn)棣?π6，函數(shù)的圖象如圖一所示.設(shè)Ai的橫坐標(biāo)為xi，i∈{1，2，3，4，5}（下同）.因?yàn)楹瘮?shù)（0，π3）上存在極值點(diǎn)所以必有：x2<π3.令ωx2+π6=π2，即x2=π3ω<π3得ω>1.

又因?yàn)楹瘮?shù)在（π2，π）上單調(diào)，所以由π-π2≤T2=πω，得ω≤2.

當(dāng)1<ω≤2時(shí)

x2=π3ω∈[π6，π3），x4=4π3ω∈[2π3，4π3）

即x2<π2

π3ω≤π24π3ω≥π1<ω≤2得ω∈（1，43]

答案 D.

例2 已知f（x）=sinωx+3cosωx（ω>0）在區(qū)間[π6，π4]上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（）

（A）（0，23]

（B） （0，23]∪[7，263]

（C） [7，263]∪[503，19]

（D） （0，23]∪[503，19]

解答 原函數(shù)可化為f（x）=2sin（ωx+π3）（ω>0），則函數(shù)圖象如圖5所示

因?yàn)楹瘮?shù)在[π6，π4]上單調(diào)，

所以由π4-π6≤T2=πω，

得0<ω≤12.

又因?yàn)閤2=π6ω≥π72，x8=19π6ω≥19π72>π4

所以要保證函數(shù)在[π6，π4]上是單調(diào)遞增，由上圖可知只需：

[π6，π4][0，x2]或者[π6，π4][x4，x6]

即π4≤x2=π6ω或者π4≤x6=13π6ω且π6≥x4=7π6ω.解不等式得ω∈（0，23]∪[7，263]

答案 B.

2.2 與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論：

①在（0，2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②在（0，2π）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③在（0，π10）單調(diào)遞增

④ω的取值范圍是[125，2910）

其中正確的結(jié)論是（）