王夢宇

【摘要】本文以蘇科版九年級下冊“二次函數(shù)”這一單元教學(xué)為例，結(jié)合具體例題展示在運算能力、抽象能力、幾何直觀、推理能力、模型觀念核心素養(yǎng)下單元整體教學(xué)的具體實施，以供參考.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);初中數(shù)學(xué);單元整體教學(xué)

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)非常重要的單元，共包含二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)與一元二次方程、用二次函數(shù)解決問題共五節(jié)內(nèi)容.認真學(xué)習(xí)和研究義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）中核心素養(yǎng)內(nèi)容，精心篩選課堂例題，借助例題求解過程的展示，鞏固學(xué)生所學(xué)，鍛煉學(xué)生能力，促進其核心素養(yǎng)更好地提升.

1 “二次函數(shù)”教學(xué)實踐

“二次函數(shù)”這一節(jié)利用學(xué)生熟悉的問題，自然引入“二次函數(shù)”概念，使學(xué)習(xí)者認識“二次函數(shù)”的一般形式.同時，使其具體問題具體分析，能夠運用所學(xué)構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系[1].在進行該部分內(nèi)容教學(xué)時課堂上給學(xué)習(xí)者預(yù)留思考、討論、歸納機會，使其主動參與數(shù)學(xué)知識形成中，進一步加深其印象.另外，將運算能力與核心素養(yǎng)融入實踐中，在課堂上展示如下例題，與學(xué)習(xí)者一起分析，通過運算過程中的展示，使其把握運算技巧，提高運算效率，使得運算能力核心素養(yǎng)得到一定的發(fā)展.

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為5，點F為BC上一動點，兩對角線相較于點E，過點E作EG⊥EF.點G在DC上.若BF的長為x，△EFG的面積為y，求y和x滿足的函數(shù)關(guān)系.

該題主要考查三角形全等、等腰直角三角形性質(zhì)以及二次函數(shù)知識.解題時需通過證明三角形全等實現(xiàn)等量代換，借助整體思想表示出等腰直角三角形的面積，降低運算復(fù)雜度.同時，需根據(jù)題意分析出正確的自變量范圍.

由正方形的性質(zhì)可知EC=EB，∠ECG=∠EBF=45°，∠BEC=90°，

即∠BEF+∠FEC=90°.由EG⊥EF，則∠FEC+∠CEG=90°，則∠BEF=∠CEG，則△BEF≌△CEG，則EF=EG，BF=CG，△FEG為等腰直角三角形.在△FGC中FC=5-x，GC=x，由勾股定理得到：

FG2=FC2+GC2=（5-x）2+x2，

EF=FGcos45°，

則y=12（FGcos45°）2=14FG2

=14[（5-x）2+x2]=-12x2-52x+254（0≤x≤5）.

2 “二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”教學(xué)實踐

“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”教學(xué)中，一方面運用多媒體技術(shù)展示二次函數(shù)圖像，在課堂上采用一問一答的形式與學(xué)習(xí)者進行互動，使其通過認真觀察、思考、抽象出二次函數(shù)圖像特點，進一步澄清其對二次函數(shù)圖像的認識.同時，引導(dǎo)其從數(shù)學(xué)角度描述函數(shù)圖像，尤其在屏幕上動態(tài)展示二次函數(shù)平移，使其能夠總結(jié)出正確的函數(shù)圖像平移規(guī)律[2].另一方面，在進行例題教學(xué)中，為更好地培養(yǎng)學(xué)習(xí)者靈活運用二次函數(shù)性質(zhì)對要求解的問題進行合理抽象，課堂上講解以下例題，并要求學(xué)習(xí)者做好聽課的總結(jié)，認真揣摩解題過程，把握抽象細節(jié).

例2 已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+a+5的圖像上存在兩點（-2，y1），（3，y2），滿足y1

（A）-5.??? （B）-1.

（C）1. （D）-2.

該題間接考察對二次函數(shù)理解以及熟練應(yīng)用程度.解題時需透過現(xiàn)象看本質(zhì)，判斷出二次函數(shù)的二次項系數(shù)的正負，確定拋物線的開口方向.而后分析給定自變量范圍和拋物線對稱軸的大小關(guān)系，運用二次函數(shù)性質(zhì)進行作答.

因二次函數(shù)圖像過（-2，y1），（3，y2）兩點，則y1=4a+4a+a+5=9a+5，y2=9a-6a+a+5=4a+5，由y1

解得a=-1，選擇B項.

3 “用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式”教學(xué)實踐

在進行這一節(jié)內(nèi)容教學(xué)時可要求學(xué)習(xí)者自學(xué)課本中的例題，使其搞清楚用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式的步驟，認識到二次函數(shù)表達式中參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.同時，教學(xué)實踐中為更好地鍛煉學(xué)習(xí)者的學(xué)以致用能力，提升其幾何直觀核心素養(yǎng)，應(yīng)注重與學(xué)習(xí)者一起剖析如下例題，使其認識到幾何圖形在分析數(shù)學(xué)問題中的重要作用，養(yǎng)成運用幾何圖形解題的意識與良好習(xí)慣.

例3 在平面直角坐標系中某點的縱橫坐標相等則稱該點為完美點.已知二次函數(shù)y=ax2+bx-94的圖像上只有一個完美點（32，32），且當0≤x≤m時，函數(shù)y=ax2+bx-3的最小值為-3，最大值為1，則m的取值范圍為（? ）

（A）-1≤m≤0.? ?（B）2≤m≤72.

（C）2≤m≤4. （D）m≥2.

該題以新定義為背景考察待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式、數(shù)形結(jié)合等知識，難度較大.解題的關(guān)系在于能夠讀懂題意，從題干中提煉出有用信息，構(gòu)建與所學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，尤其能夠充分挖掘二次函數(shù)圖像中的隱含信息，從而達到順利解題[3].

根據(jù)完美點的定義令ax2+bx-94=x，整理得到：ax2+（b-1）x-94=0，即，將x=32代入整理得到：94a+32b-154=0①，Δ=（b-1）2+9a=0②，將①②聯(lián)立解得a=-1，b=4，則函數(shù)為y=-x2+4x-3，畫出其圖像，如圖2所示：

函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=2，在對稱軸處取得最大值為1.當函數(shù)值取最小值-3時對應(yīng)的x值為0或4.由圖可知當m=2時，0≤x≤2時，滿足題意.當24時，取得的最小值小于-3，不滿足題意.綜上m的取值范圍為2≤m≤4，選擇C項.

4 “二次函數(shù)與一元二次方程”教學(xué)實踐

“二次函數(shù)”和“一元二次方程”聯(lián)系緊密[4].在進行該節(jié)內(nèi)容教學(xué)時在課堂上展示相關(guān)問題，組織學(xué)習(xí)者開展探究活動.同時，運用多媒體技術(shù)為學(xué)習(xí)者展示不同的二次函數(shù)圖像，要求學(xué)習(xí)者探尋與之對應(yīng)一元二次方程根的情況，掌握判斷一元二次方程根個數(shù)的判斷方法.另外，為更好地拓展學(xué)習(xí)者視野，提升其推理能力，在課堂上展示如下例題，并通過解題過程的分析，使學(xué)習(xí)者認真體會推理過程，積累推理經(jīng)驗，促進推理水平地提升.

例4 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0）和點（3，0），關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m=0（m>0）有兩根，其中一個根為5，則關(guān)于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

（A）-2或4.??? （B）-2或6.

（C）0或4.?? ?（D）-3或5.

解答該題需要深入理解“二次函數(shù)”與“一元二次”方程根的關(guān)系，尤其搞清楚二次函數(shù)對稱軸和對應(yīng)方程根的內(nèi)在聯(lián)系.同時，結(jié)合二次函數(shù)圖像平移規(guī)律進行嚴謹?shù)赝评?，準確地判斷.

由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0）和點（3，0），根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系可知，ax2+bx+c=0的兩根為-1和3，對稱軸為直線x=1.而方程ax2+bx+c+m=0對應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c+m，m>0，其相當于將函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像向上平移m個單位，而方程ax2+bx+c+m=0其中一個根為5，可知y=ax2+bx+c的圖像應(yīng)開口向下，另一根為-3.關(guān)于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

5 “用二次函數(shù)解決問題”教學(xué)實踐

“用二次函數(shù)解決問題”能很好地鍛煉學(xué)習(xí)者模型觀念以及應(yīng)用意識核心素養(yǎng).在進行該節(jié)內(nèi)容教學(xué)時應(yīng)注重為學(xué)習(xí)者創(chuàng)設(shè)生活化、趣味性強的問題情境，更好地吸引其注意力，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性.當然在講解問題之前可給學(xué)習(xí)者預(yù)留空白時間，先要求其進行思考，而后再進行講解.如此使學(xué)習(xí)者通過對比自身思路，更容易發(fā)現(xiàn)與彌補解題中的不足.

例5 某城市為方便市民停車，修建一個如圖3所示的停車場.停車場的長和寬分別為52m，28m，陰影部分為停車位，其余為等寬的通道，若停車位的占地面積為640m2.

（1）通道的寬度是多少米？

（2）調(diào)查發(fā)現(xiàn)每個車位月租金為400元，能夠全部租出.當每個車位月租金每上漲10元，租出的個位會減少1個.該停車場共有64個車位.若每個車位的月租金上漲時，該停車場的月租金收入會超過27000元嗎？

解答該題需在吃透題意的基礎(chǔ)上構(gòu)建對應(yīng)的二次函數(shù)模型，并借助函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

（1）設(shè)通道的寬為xm，由圖可知停車位的長為（52-2x）m，寬為（28-2x）m，則

（52-2x）（28-2x）=640，整理得到x2-40x+204=0，解得x1=6，x2=34，因28-2x>0，則x=6，即，通道的寬為6m.

（2）設(shè)每個車位租金上漲為m元，停車位的月租金收入為y元.根據(jù)題意可租出的車位數(shù)為（64-m10）個，每個停車位的租金為（400+m）元，則可構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型

y=（400+m）（64-m10）

=-110m2+24m+25600

=-110（m-120）2+27040.

由二次函數(shù)性質(zhì)可知當m=120元時y取得最大值27040>27000，因此，停車場的月租金收入會超過27000元.

6 結(jié)語

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)中非常重要的單元，是中考的必考內(nèi)容.為更好地提高該單元整體教學(xué)效率，應(yīng)做好以往教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)與靈活應(yīng)用，尤其注重在初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指引下做好教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)環(huán)節(jié)的認真設(shè)計，增強學(xué)習(xí)者的課堂學(xué)習(xí)體驗以及心理感受，激發(fā)其內(nèi)在學(xué)習(xí)動力以及學(xué)習(xí)潛力，牢固掌握二次函數(shù)知識的同時，核心素養(yǎng)得到針對性地提升.

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃立項課題“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實踐研究”研究成果，課題批準號為：D/2021/02/136”】

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