文思靜

【摘?要】??為了提升高中生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，筆者以《單變量利益最大化問題》為例來闡述如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.”本課例中基于“養(yǎng)豬賣豬”的實(shí)際背景，建立含參二次函數(shù)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，著重點(diǎn)在于建立模型、求解模型、確定參數(shù)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷拳h(huán)節(jié)，目的是使學(xué)生在建模過程中理解參數(shù)的意義，并為新課程和新教材的理解及使用提供參考建議.

【關(guān)鍵詞】??數(shù)學(xué)建模;含參二次函數(shù);核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）指出：“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).”為了提升高中生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，筆者以《單變量利益最大化問題》為例來闡述如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.”

1?內(nèi)容解析

《新課標(biāo)》提出高中所涉及的“數(shù)學(xué)模型分為經(jīng)濟(jì)模型和社會(huì)模型，其中經(jīng)濟(jì)模型分為存款貸款模型、投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、凱恩斯模型和生產(chǎn)函數(shù)模型;社會(huì)模型分為等級(jí)評(píng)價(jià)模型、人口增長(zhǎng)模型和信度評(píng)價(jià)模型.”本課例的《單變量利益最大化問題》屬于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，需要的模型為二次函數(shù)模型.從初中開始學(xué)習(xí)，再到高中《必修一》的再次鞏固，高中生對(duì)于二次函數(shù)已有較多的了解.本課例不僅要求學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，還需進(jìn)一步加深對(duì)參數(shù)的認(rèn)識(shí).

2?目標(biāo)解析

2.1?教學(xué)目標(biāo)

從實(shí)際問題出發(fā)，思考如何實(shí)現(xiàn)養(yǎng)豬到賣豬利潤(rùn)最大化.感受發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程.在建模過程中理解參數(shù)的意義，感悟數(shù)學(xué)語言表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性.

2.2?教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)學(xué)建模的步驟解決實(shí)際問題，理解參數(shù)在模型中的意義.

教學(xué)難點(diǎn)：理解參數(shù)的意義并對(duì)模型進(jìn)行求解并檢驗(yàn).

3?教學(xué)過程

3.1?發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

由于市場(chǎng)不穩(wěn)定導(dǎo)致豬肉價(jià)格不斷變化，養(yǎng)豬的農(nóng)場(chǎng)主面臨著一個(gè)嚴(yán)峻的問題：如何養(yǎng)豬賣豬才能獲得更大的利潤(rùn)？根據(jù)實(shí)際情況數(shù)據(jù)的調(diào)查，提出的問題如下：

問題情境1???一頭剛斷奶的小豬重15千克，小豬的料肉比為1.5：1，即吃1.5千克飼料增重1千克，每千克飼料費(fèi)用為0.5元.但體重超過100千克的豬銷量會(huì)下降，體重每超過1千克售出單價(jià)下降0.3元，豬的市場(chǎng)價(jià)格為每千克35元.求獲得最大利潤(rùn)時(shí)豬的售出體重.（結(jié)果保留整數(shù)）

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際情況中，養(yǎng)豬和賣豬的影響因素復(fù)雜得多，但為了突出研究對(duì)象，則需控制變量，即飼養(yǎng)豬的主要成本：飼料成本.由于影響售豬價(jià)格的因素很多，此處只考慮豬的體重對(duì)售價(jià)的影響.在實(shí)際市場(chǎng)中，體重過重的豬銷量反而不好，不僅飼養(yǎng)成本過高，肉質(zhì)也不鮮美，因此會(huì)影響售價(jià).

3.2?分析問題、建立模型

數(shù)學(xué)建模第二步需要分析問題，并用合適的數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言來描述問題對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，從而建立包含變量和常量的數(shù)學(xué)模型.

問題1???本問題情境中需要研究的量有哪些？

回答1???豬的體重、飼料的重量、飼料的成本、豬的價(jià)格、豬的售價(jià)、利潤(rùn).

根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生用合適的數(shù)學(xué)符號(hào)來表示要研究的量.

變量：

x=豬增加的重量（千克），m=消耗飼料的重量（千克），w=豬的重量（千克），

p=豬的價(jià)格（元/千克），C=飼養(yǎng)成本（元），R=售出豬的收益（元），P=凈收益（元）.

問題2???根據(jù)情境，請(qǐng)找出變量之間的關(guān)系，注意區(qū)分變量和常量.

回答2???利用假設(shè)的變量可得：

x≥0，m=1.5x，p=??35，0≤x≤8535-0.3?w-100?，x>85，??w=15+x，C=0.5w，R=p·w，P=R-C.

問題3???進(jìn)一步思考本例要解決什么問題？目標(biāo)是什么？

回答3???解決利潤(rùn)最大時(shí)賣豬的體重.

問題4???轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言即當(dāng)P最大時(shí)，?x+15?的值.請(qǐng)根據(jù)變量之間的相關(guān)關(guān)系，嘗試用x表示P.

大部分同學(xué)都能用分段函數(shù)的形式將利潤(rùn)P表示出來.即

P（x）=??34.25x+525，0≤x≤85-0.3x?2+55.25x+907.5，x>85.

設(shè)計(jì)意圖???學(xué)生在數(shù)學(xué)建模時(shí)的難點(diǎn)在于理解題意，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示.因此在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分常量和變量，并用合理的字母表示變量，雖然剛開始表示出來的變量很多，但仔細(xì)分析變量間的關(guān)系會(huì)發(fā)現(xiàn)本題是一個(gè)單變量問題，售豬的利潤(rùn)P可以用增加的體重x表示，進(jìn)而去解決二次函數(shù)求最值的問題.

3.3?確定參數(shù)、求解模型

通過分類討論，當(dāng)0≤x≤85時(shí)，P最大值為3436.25元，當(dāng)x>85時(shí)，學(xué)生們得到x≈92時(shí)，P取得最大值為3451.3元，即售豬的最佳體重為107千克.

在實(shí)際養(yǎng)豬問題中，有些數(shù)據(jù)比其他數(shù)據(jù)可靠性高很多，比如生豬現(xiàn)在的重量、現(xiàn)在的價(jià)格、每公斤飼料的成本都很容易測(cè)量，而且有相當(dāng)大的確定性.但豬的料肉比會(huì)隨著體重的增加而增大，而且價(jià)格的下降率則確定性更低，因此對(duì)于確定性很低的數(shù)據(jù)可以引入?yún)?shù)a. 記a為價(jià)格的下降率（元/千克），a的實(shí)際值是不同的，從而導(dǎo)致最佳售豬體重也會(huì)發(fā)生改變.

問題情境2???一頭剛斷奶的小豬重15千克，小豬的料肉比為1.5：1，即吃1.5千克飼料增重1千克，每千克飼料費(fèi)用為0.5元.但體重超過100千克的豬銷量會(huì)下降，體重每超過1千克售出單價(jià)下降a元，豬的市場(chǎng)價(jià)格為每千克35元.求獲得最大利潤(rùn)時(shí)豬的售出體重.（結(jié)果保留整數(shù)）

問題5???試用含a（a>0）的式子解決售豬的最佳體重問題.

回答5???類比情境一，同樣可以進(jìn)行分類討論.

P?x?=?34.25x+525，0≤x≤85-ax?2+（34.25+70a）x+525+1275a，x>85，

學(xué)生容易得到當(dāng)0≤x≤85時(shí)，P??max?=34.25×85+525=3436.25，但在解決x>85時(shí)的最大利潤(rùn)遇到了問題.

問題6???當(dāng)x>85時(shí)，考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=-?34.25+70a?-2a?=?17.125?a?+35的x的值是否一定大于85？若上式大于85，利潤(rùn)最大時(shí)的體重如何表示？

回答6???因?yàn)閷?duì)稱軸x的值不一定大于85，所以需要分類討論.

當(dāng)x>85時(shí)，分兩種情況討論.

①當(dāng)?17.125?a?+35<85時(shí)，即a>0.3425.由題可得，P?x?在?85，+∞?上單調(diào)遞減.

P<-a?2·?85??2+?34.25+70a?×85+525+1275a=-7225a?2+7225a+3436.25，

令f?a?=-7725a?2+7225a+3436.25，

i.當(dāng)f?a?≥3436.25時(shí)，a∈?0.3425，1?，此時(shí)P??max?=-7725a?2+7225a+3436.25，最佳售豬體重為85+15=100千克;

ii.當(dāng)f?a?<3436.25時(shí)，a∈?1，+∞?，此時(shí)P??max?=3436.25，最佳售豬體重為85+15=100千克;

因此，售豬的最佳體重為85+15=100千克.

②當(dāng)?17.125?a?+35≥85時(shí)，即0

由題可得，P=2500a+1723.75+?293.27?a?，

當(dāng)a=0.3425時(shí)，有最小值P≈3436.25，即P≥3436.25.

因此售豬的最佳體重為?17.125?a?+35+15=??17.125?a?+50?千克.

綜上，當(dāng)a>0.3425時(shí)，售豬的最佳體重為100千克;當(dāng)0

設(shè)計(jì)意圖???學(xué)生在剛開始學(xué)函數(shù)的時(shí)候，遇到含參的函數(shù)問題不知從何下手，根本原因在于對(duì)參數(shù)的理解不透徹.因此從養(yǎng)豬這個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，學(xué)生可以很好地理解售價(jià)的下降率a（元/千克）確實(shí)會(huì)影響最佳售豬體重，但對(duì)于自變量——豬增加的體重x來說，售價(jià)下降率a相當(dāng)于一個(gè)常量.而在分析實(shí)際問題時(shí)，需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論.

3.4?檢驗(yàn)結(jié)果、解釋模型

在數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上，我們得到售豬最佳體重的理想模型：當(dāng)a>0.3425時(shí)，售豬的最佳體重為100千克;當(dāng)00.3425時(shí)，函數(shù)圖象中的最大值不發(fā)生改變，即售豬的利潤(rùn)恒為3436.25;當(dāng)0

4?教學(xué)反思

筆者在研究性學(xué)習(xí)課堂中實(shí)踐過該課例，反思教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)施過程的點(diǎn)滴，對(duì)新課程和新教材的理解及使用有以下幾點(diǎn)思考：

4.1?數(shù)學(xué)建模樣例的教學(xué)應(yīng)在有限時(shí)間里突出重點(diǎn)環(huán)節(jié)

《新課標(biāo)》指出，“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”應(yīng)以課題研究的形式開展，即從觀察實(shí)際情境到提出問題，最后得到實(shí)際問題的解需要學(xué)生全程參與.但實(shí)際課堂只有40分鐘，這意味著只能選擇性地讓學(xué)生體驗(yàn)其中某幾個(gè)環(huán)節(jié)，否則就像走馬觀花一樣.教材中“探究茶水水溫的變化規(guī)律”突出的是提出問題，?收集數(shù)據(jù)，建立模型等環(huán)節(jié)，省略了確定參數(shù)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷沫h(huán)節(jié).而本課例的著重點(diǎn)在于建立模型、求解模型、確定參數(shù)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷拳h(huán)節(jié)，沒有讓學(xué)生自行搜索售豬相關(guān)的材料，如目前的豬肉價(jià)格，料肉比，養(yǎng)豬賣豬的關(guān)鍵體重等等，簡(jiǎn)化了提出問題，收集數(shù)據(jù)的環(huán)節(jié).因此教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模樣例教學(xué)可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo)調(diào)整重心，讓學(xué)生深入體驗(yàn)個(gè)別環(huán)節(jié)，效果更佳.

4.2?數(shù)學(xué)建模中引導(dǎo)學(xué)生確定參數(shù)及理解參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義

高中含參的函數(shù)問題一直都是學(xué)生的難點(diǎn)，根本原因在于對(duì)參數(shù)的理解不透徹.引入?yún)?shù)的實(shí)際意義就是將實(shí)際問題中的其他不穩(wěn)定的相關(guān)因素從一個(gè)常量變?yōu)橐粋€(gè)變量a，當(dāng)a為特定的某些值時(shí)，問題情境將會(huì)呈現(xiàn)一定的規(guī)律，此時(shí)需要對(duì)a進(jìn)行分類討論從而歸納規(guī)律.例如本課的售豬問題，當(dāng)市場(chǎng)的售價(jià)價(jià)格下降率a小于0.3425時(shí)，想賺更多的錢，則賣出豬的最佳為體重??17.125?a?+50?千克，并不是越重越好.如此一來，學(xué)生對(duì)參數(shù)a的理解能夠更加深刻，即一開始將參數(shù)a看做常量，當(dāng)其取值影響結(jié)果時(shí)需考慮對(duì)a進(jìn)行分類討論，并且最后的結(jié)果有時(shí)也需用a來表示.

4.3?努力改善數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中的不足

在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)生活中的實(shí)際情境，如飯?zhí)萌绾未蝻埜?jié)省時(shí)間，雙十一如何購(gòu)物更優(yōu)惠等等都有濃厚的求知欲，說明學(xué)生希望學(xué)習(xí)如何用“數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，數(shù)學(xué)優(yōu)化生活”.因此在時(shí)間允許的前提下，帶領(lǐng)學(xué)生了解并經(jīng)歷了各環(huán)節(jié)后，可以讓他們通過分組、合作學(xué)習(xí)等形式自主完成選題、開題、做題、結(jié)題等環(huán)節(jié)，到時(shí)候必能驚嘆學(xué)生的創(chuàng)造力.

【基金項(xiàng)目：本論文參與“廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2020年度課題《核心素養(yǎng)導(dǎo)向的中學(xué)數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的案例研究》（202012502）.】

參考文獻(xiàn)：

[1]??普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]人民教育出版社.2017：5.

[2]?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]人民教育出版社.2017：65.