摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)和踐行活動. 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)要在系統(tǒng)論和結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)下審視教材內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，對知識內(nèi)容進(jìn)行分析、重組和整合，并形成相對完整的教學(xué)單元. 基于知識結(jié)構(gòu)的“明線”和思想方法與核心素養(yǎng)的“暗線”，延長知識鏈條，拓展知識結(jié)構(gòu)，升華思維層級，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以持續(xù)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：四個(gè)理解;單元教學(xué);結(jié)構(gòu)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí). 整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展. 高中數(shù)學(xué)是一個(gè)相互聯(lián)系、相互貫通的知識和能力結(jié)構(gòu)體，但教材知識的呈現(xiàn)往往是分散和孤立的. 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論和結(jié)構(gòu)化的思維方式對教材中具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組和整合，并形成相對完整的教學(xué)單元，在整體化思維的觀照下，有序規(guī)劃、有效實(shí)施，呈現(xiàn)“學(xué)、教、評”一體的教學(xué)方式.

章建躍博士提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)和踐行活動.“四個(gè)理解”是單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的導(dǎo)引. 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求教師整體把握單元知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯，深刻理解內(nèi)容本質(zhì)，充分了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以高觀點(diǎn)重構(gòu)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容，設(shè)計(jì)拾級而上、相對獨(dú)立而又內(nèi)具關(guān)聯(lián)的活動群，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展. 下面，筆者以“直線與平面的垂直關(guān)系”一課的教學(xué)為例加以說明.

一、理解數(shù)學(xué)，使單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的生成邏輯更合理

“單元”并不一定指教材劃分的知識章節(jié)，而是指基于學(xué)科核心素養(yǎng)、學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和學(xué)科知識邏輯體系建構(gòu)的學(xué)科教學(xué)單位. 它可以介于章內(nèi)容與課時(shí)內(nèi)容之間，對外相對獨(dú)立，對內(nèi)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、共同特征多，體系相對完整. 單元內(nèi)容一般由基礎(chǔ)知識、思想方法和核心素養(yǎng)加以串聯(lián). 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)注重知識結(jié)構(gòu)的“明線”和思想方法與核心素養(yǎng)的“暗線”. 一是要求對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，突出主題內(nèi)容和知識間的關(guān)聯(lián)性和結(jié)構(gòu)性，形成“知識單元”，呈現(xiàn)可見的“明線”;二是要求圍繞單元核心概念、原理，通過數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)要求，展現(xiàn)知識點(diǎn)之間的隱性聯(lián)系，呈現(xiàn)內(nèi)蘊(yùn)的“暗線”. 從這個(gè)角度分析，我們將立體幾何初步整合分成“基本立體圖形”和“基本圖形位置關(guān)系”兩個(gè)大單元，并在此基礎(chǔ)上生成若干個(gè)既相互獨(dú)立又相互關(guān)聯(lián)的實(shí)施單元.

立體幾何中，基本幾何圖形的位置關(guān)系是基礎(chǔ)，在整個(gè)教學(xué)中起奠基作用. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）先是對三者的位置關(guān)系進(jìn)行分類，然后從空間中兩條直線的位置關(guān)系、線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系進(jìn)行了從定性到定量的探究. 特別是通過觀察、思辨確認(rèn)“垂直”“平行”的判定與應(yīng)用. 無論是線線關(guān)系、線面關(guān)系還是面面關(guān)系，都以“情境、定義、判定、性質(zhì)、應(yīng)用”作為結(jié)構(gòu)化教學(xué)的展開要素，形成項(xiàng)目化任務(wù). 本節(jié)課的起始可以設(shè)置如下問題組織學(xué)生活動.

問題1：圖1是一臺路由器，在調(diào)節(jié)天線位置的過程中，如何知道天線與路由器的表面是否垂直？怎樣判斷呢？

教學(xué)過程：觀察由幾何畫板軟件生成的動畫，將天線抽象成直線，將路由器表面抽象成平面. 從探討“若直線和平面內(nèi)一條直線垂直，能否得出直線與平面垂直？”入手，引發(fā)學(xué)生思考：什么是直線與平面垂直？怎么判定直線與平面垂直？逐步向深處探索.

問題2：將上述動畫進(jìn)一步變化，如圖2，觀察圓錐的軸SO與圓錐底面的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生嘗試給出直線與平面垂直的定義.

追問：當(dāng)直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線時(shí)，直線與平面是否垂直？

【設(shè)計(jì)意圖】借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，借鑒線面平行的結(jié)構(gòu)化研究經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、歸納、提煉等探索過程，將線面關(guān)系逐步降維到線線關(guān)系，體現(xiàn)系統(tǒng)、聯(lián)系的思維結(jié)構(gòu). 將學(xué)生熟悉的圓錐作為基本載體. 圓錐是直角三角形繞著一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的，對于圓錐底面中的任意一條直線都有一條半徑與之平行，從而將圓錐的軸與底面任意一條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形兩條直角邊之間的位置關(guān)系. 這一過程呈現(xiàn)了立體幾何初步單元研究的基本路徑.

為實(shí)現(xiàn)“學(xué)、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設(shè)置如下的嵌入評價(jià)量值，并進(jìn)行實(shí)時(shí)評價(jià)，讓學(xué)生不斷清晰課堂教學(xué)的目標(biāo). 基礎(chǔ)層級指標(biāo)：學(xué)生能說出直線間的基本樣態(tài)（如斜交、垂直等），能給出其他線面垂直的實(shí)例. 提高層級指標(biāo)：學(xué)生能概括出直線與平面垂直的定義，能正確區(qū)分“無數(shù)”和“任意”.

二、理解教學(xué)，使單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的意義重構(gòu)更合情

理解教學(xué)，就是靈活選擇教學(xué)活動的組織方式，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度看待問題、分析問題和思考問題，形成對一個(gè)問題更準(zhǔn)確、更全面和更深刻的認(rèn)識. 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)要基于學(xué)情，提煉合適的內(nèi)容主線，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)主題，把知識鏈條延長，對知識面進(jìn)行拓展，將思維層級升華，讓散落于教材中的方法和思維凝練，形成“一般觀念”和“發(fā)展邏輯”，體現(xiàn)出教學(xué)的整體性、發(fā)展性和邏輯性. 結(jié)構(gòu)化視野，不僅是知識和技能的結(jié)構(gòu)化，也是教學(xué)活動的結(jié)構(gòu)化，更是基于核心素養(yǎng)的整個(gè)單元教學(xué)活動的條理化.

立體幾何初步中，基本幾何圖形的位置關(guān)系，從定性的性質(zhì)判定到定量的度量計(jì)算都是以“低維”來刻畫“高維”、由“線”來刻畫“面”的教學(xué)路徑. 從學(xué)生的實(shí)際能力出發(fā)，從知識的發(fā)展邏輯和接受時(shí)序出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具有整體意義的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，自主探究“直線與平面的垂直”，推動學(xué)生理解直線與平面垂直的定義，注重說理和推理，確認(rèn)判定定理和性質(zhì)定理，能有效落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)的培育.

問題3：繼續(xù)觀察路由器模型，如果兩根天線都垂直于路由器的表面，這兩根天線呈現(xiàn)怎樣的位置關(guān)系？

教學(xué)過程：觀察幾何畫板軟件生成的動畫，并將上述問題放入長方體模型，如圖3所示. 引導(dǎo)學(xué)生直觀想象并探索和證明上述猜想.

問題4：如圖4，已知a⊥α，b⊥α，求證：a∥b.

在證明問題的時(shí)候，因?yàn)橹苯幼C明不太方便，所以利用正難則反的思想方法引出反證法證明.

問題5：如何描述上述結(jié)論？

師生共同梳理，得到表1.

【設(shè)計(jì)意圖】始終結(jié)合生活模型，學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，加強(qiáng)現(xiàn)實(shí)圖形與抽象圖形的聯(lián)系、圖形語言與數(shù)學(xué)語言的聯(lián)系、邏輯表達(dá)與知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化. 將直線與平面垂直的性質(zhì)進(jìn)行前置研究，體現(xiàn)基于學(xué)情分析的知識“再建構(gòu)”，保障學(xué)生課堂數(shù)學(xué)思維的順暢性.

為實(shí)現(xiàn)“學(xué)、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設(shè)置如下嵌入評價(jià)量值，并進(jìn)行實(shí)時(shí)評價(jià)，讓學(xué)生不斷清晰課堂教學(xué)目標(biāo). 基礎(chǔ)層級指標(biāo)：學(xué)生能說出兩條直線的位置關(guān)系，能用語言表達(dá)定理. 提高層級指標(biāo)：學(xué)生能用三種語言表述性質(zhì)定理，能思考并采用反證法進(jìn)行證明.

三、理解學(xué)生，使單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的過程演繹更合拍

從促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展這一立場進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)通過“結(jié)構(gòu)性教學(xué)”幫助學(xué)生生成“結(jié)構(gòu)性思維”，努力幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí). 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上組建學(xué)習(xí)單元、確定主題、明確目標(biāo)、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)化任務(wù)和遞進(jìn)性活動，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在綜合思考后對概念進(jìn)行理解和建構(gòu)，完成單元學(xué)習(xí)，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，沉淀并固化形成自己的素養(yǎng)品質(zhì).

在立體幾何初步中，直線與平面垂直是空間中最重要的基本圖形位置關(guān)系之一. 直線與平面垂直既是空間直線與直線垂直的延續(xù)，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，所以研究方法與思維路徑都有承上啟下的作用. 結(jié)構(gòu)性思維要求通過歸納和分析，使學(xué)生理解空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言表述空間有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)，并運(yùn)用結(jié)論進(jìn)行推理論證，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力. 這些應(yīng)該始終在課堂中得到很好的體現(xiàn).

問題6：繼續(xù)觀察路由器模型，如果兩根天線處于平行狀態(tài)，其中一根天線與路由器表面垂直，則另一根天線與路由器表面呈現(xiàn)怎樣的位置關(guān)系？

教學(xué)過程：觀察幾何畫板軟件生成的動畫，并將上述問題回歸長方體模型，如圖5所示. 引導(dǎo)學(xué)生直觀想象并探索和證明上述猜想.

問題7：如圖6，已知a⊥α，a∥b，求證：b⊥α.

教學(xué)過程：抓牢定義，只要證明直線b垂直于平面內(nèi)的任意一條直線即可.

問題8：如何描述上述結(jié)論？

師生共同梳理，得到表2.

【設(shè)計(jì)意圖】始終結(jié)合生活模型，強(qiáng)化定義的應(yīng)用，積累空間問題平面化的經(jīng)驗(yàn). 關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，沿著學(xué)生的思路展開教學(xué)，在前兩個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)清晰的目標(biāo)達(dá)成問題鏈條，在邏輯分明的核心任務(wù)引領(lǐng)下依次完成層次遞進(jìn)的子任務(wù)，實(shí)現(xiàn)研究方法的凝練，形成結(jié)構(gòu)化思維.

為實(shí)現(xiàn)“學(xué)、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設(shè)置如下嵌入評價(jià)量值，并進(jìn)行實(shí)時(shí)評價(jià)，讓學(xué)生不斷清晰課堂教學(xué)目標(biāo). 基礎(chǔ)層級指標(biāo)：學(xué)生能提出猜想，說出直線與平面的位置關(guān)系，能用語言描述結(jié)論. 提高層級指標(biāo)：學(xué)生能對結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明，并能用三種語言描述結(jié)論.

四、理解技術(shù)，合乎單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的多元呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識的確定依賴于推理. 也就是說，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的. 所謂“看”是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長期、有效的觀察和思考的基礎(chǔ)上. 針對立體幾何初步的單元特性，單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)要充分借助技術(shù)，充分利用基本幾何模型，讓學(xué)生充分經(jīng)歷直觀感受、操作確認(rèn)和辨別辨析等學(xué)習(xí)活動，通過觀察和想象積累活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在不同維度的幾何圖形之間自如切換，加深對空間中幾何圖形位置和特征的探究.

立體幾何初步單元的教學(xué)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，特別是三維空間的呈現(xiàn)，能幫助學(xué)生更加直觀地認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并描述基本圖形的平行關(guān)系或垂直關(guān)系的命題，理解切、割、截后的幾何性質(zhì)，并能證明其中一些命題. 用定義判定直線與平面垂直，是一個(gè)由無限轉(zhuǎn)化為有限的過程，技術(shù)的支持能讓這一過程更切合學(xué)生的思考.

問題9：繼續(xù)觀察路由器模型，由直線與平面垂直的定義可知，如果天線和路由器平面內(nèi)的所有直線都垂直，則直線和平面垂直. 但這樣無限驗(yàn)證的過程，不利于我們進(jìn)行推理論證，能否將條件減弱一些？

教學(xué)過程：觀察幾何畫板軟件生成的動畫，排除直線垂直于平面內(nèi)的“一條”直線就判定垂直的猜想. 回歸長方體模型，如圖7所示. 引發(fā)學(xué)生合理猜想：如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則直線與此平面垂直.

問題10：如圖8，折疊三角形紙片，探究在什么條件下能使折痕與桌面垂直.

教學(xué)過程：安排探究活動. 進(jìn)行折紙實(shí)驗(yàn)，讓全體學(xué)生動手操作，發(fā)現(xiàn)將三角形紙片ABC沿邊BC邊上的高AD進(jìn)行翻折，然后立在桌面上，此時(shí)折痕AD所在的直線與桌面所在的平面α垂直. 沿著折痕AD旋轉(zhuǎn)、平移立起的紙片，讓BD和CD在桌面內(nèi)變換位置，探究AD與桌面的位置關(guān)系，并對操作背后隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì)做出自己的猜想. 利用幾何畫板軟件進(jìn)行動畫展示，并對門、旗桿等模型進(jìn)行解釋，進(jìn)一步驗(yàn)證猜想.

突出體現(xiàn)“降維”思想，借鑒線面平行的研究，從“線面垂直”向“線線垂直”轉(zhuǎn)化. 在教學(xué)中一定要給學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行探索活動.

問題11：如何描述上述結(jié)論？

師生共同梳理，得到表3.

【設(shè)計(jì)意圖】始終結(jié)合生活模型，充分利用信息技術(shù)的優(yōu)勢，通過學(xué)生對不同圖形或模型的審視觀察，類比直線與平面平行的判定方法，將線面垂直降維為線線垂直. 在圖形的變化中，實(shí)現(xiàn)由無限向有限的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步鞏固立體幾何直觀感知、操作確認(rèn)和思辨論證的結(jié)構(gòu)化思維體系.

為實(shí)現(xiàn)“學(xué)、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設(shè)置如下嵌入評價(jià)量值，并進(jìn)行實(shí)時(shí)評價(jià)，讓學(xué)生不斷清晰課堂教學(xué)目標(biāo). 基礎(chǔ)層級指標(biāo)：學(xué)生能說出直線與直線的位置關(guān)系，能用語言描述定理. 提高層級指標(biāo)：學(xué)生能順著前面的內(nèi)容自然提出猜想，能對定理進(jìn)行總結(jié)、歸納，能用三種語言描述定理.

單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)呈現(xiàn)“系統(tǒng)分析、整體思維、結(jié)構(gòu)視野”的課堂框架，體現(xiàn)課堂整體教學(xué)流程的結(jié)構(gòu)化. 課堂的結(jié)課部分還應(yīng)該系統(tǒng)回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，優(yōu)化重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，用整體的、聯(lián)系的和發(fā)展的眼光回看學(xué)習(xí)歷程，從碎片化、零散的知識串聯(lián)走向背后的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和規(guī)律，追求知識的應(yīng)用和能力的遷移，進(jìn)而建立科學(xué)的學(xué)習(xí)觀.

問題12：本節(jié)課，我們學(xué)了哪些內(nèi)容？生成了哪些有意義的學(xué)習(xí)成果？能否用思維導(dǎo)圖來呈現(xiàn)？

本節(jié)課的內(nèi)容用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)，如圖9所示.

【設(shè)計(jì)意圖】用思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)一步明晰課堂結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生基于章節(jié)視角，綜觀單元全局，整體把握知識體系，加深對《標(biāo)準(zhǔn)》和教材的理解，以及對教材編寫的明線（知識線）和暗線（思想方法線、核心素養(yǎng)線）的進(jìn)一步有效鏈接，呈現(xiàn)高階思維的樣態(tài)，獲得整體層面的、系統(tǒng)科學(xué)的認(rèn)知方式.

為實(shí)現(xiàn)“學(xué)、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設(shè)置如下嵌入評價(jià)量值，并進(jìn)行實(shí)時(shí)評價(jià)，促進(jìn)學(xué)生提升思維層級. 基礎(chǔ)層級指標(biāo)：小組能有效合作交流，學(xué)生能說出本節(jié)課的大體框架. 提高層級指標(biāo)：學(xué)生能系統(tǒng)表述思維框架和邏輯框架.

綜上所述，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整體性和聯(lián)系性，不同知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)方法是相同或相似的. 因此，在發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)下，單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)應(yīng)該有更大的作為.

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