田鮮麗 張夢(mèng)思

摘 要：以“生活中的小概率”事件為例，開展中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的策略研究。目的是通過(guò)理論聯(lián)系實(shí)際，改變中學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生能更深刻地了解小概率事件以及數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。培養(yǎng)學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)、提升自身素養(yǎng)的信念，學(xué)會(huì)利用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo);小概率事件;學(xué)習(xí)興趣

新課標(biāo)指出，普通高中的培養(yǎng)目標(biāo)是進(jìn)一步提升學(xué)生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)，使學(xué)生具有理想信念和社會(huì)責(zé)任感，具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。在教學(xué)中，提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。

現(xiàn)在的中學(xué)生生活條件優(yōu)越，由于社會(huì)環(huán)境、就業(yè)壓力對(duì)他們的影響，導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性缺乏、興趣不高，給當(dāng)今教育帶來(lái)嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，也給中學(xué)數(shù)學(xué)教師帶來(lái)很大的困擾。我們以“生活中的小概率事件”為例給學(xué)生開展了一節(jié)實(shí)踐課，目的是從新課程核心素養(yǎng)出發(fā)，理論與生活相結(jié)合，讓學(xué)生感悟到知識(shí)來(lái)源于生活、回歸于生活，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，好好學(xué)習(xí)知識(shí)，利用知識(shí)改變生活。

一、創(chuàng)設(shè)情境，了解概率

早在1654年，有一個(gè)賭徒梅勒向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：兩個(gè)賭徒約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分才合理呢？

概率論產(chǎn)生于17世紀(jì)，本來(lái)是由保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，“賭博者的請(qǐng)求”卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問(wèn)題的源泉。概率論在生活中無(wú)處不在，與我們的生活息息相關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)有吸引力的數(shù)學(xué)發(fā)展史，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題是通過(guò)科學(xué)解決的，同時(shí)知識(shí)又能改變生活，解決生活中的困惑。

二、理解概念，深化理論

（一）小概率事件的定義

在教育與心理統(tǒng)計(jì)中，我們通常將概率小于0.05的事件稱為小概率事件。小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，但在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中是必然發(fā)生的，我們稱其為小概率原理。

小概率事件又被人們稱作“黑天鵝事件”，可能我們平常未曾注意，其實(shí)小概率事件的應(yīng)用非常廣泛，從商業(yè)到金融市場(chǎng)，再到生活處處都離不開小概率事件?，F(xiàn)實(shí)中小概率事件一旦發(fā)生，帶來(lái)的影響是無(wú)法估量的。理論上小概率事件確實(shí)存在并發(fā)生的各種條件和可能性，但小概率事件在實(shí)際發(fā)生時(shí)的各種可能性寥寥無(wú)幾，基本可以忽略不計(jì)，不容易引起我們注意。

（二）伯努利大數(shù)定律

所以，小概率事件是不可能發(fā)生的，一旦發(fā)生，產(chǎn)生的影響是很大的，也是超乎想象的。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)什么是小概率事件以及小概率事件的理論來(lái)源，使學(xué)生更進(jìn)一步把生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)。

三、理論剖析，點(diǎn)燃信心

下面我們通過(guò)小概率事件與不可能事件的區(qū)別，進(jìn)行理論辨析，深入思考，讓星星之火可以燎原，讓一切努力成為可能。燃起學(xué)生心中的火苗，讓學(xué)生堅(jiān)定信念，用知識(shí)武裝自己。

（一）不可能事件定義

不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。不可能事件的表示方法我們一般用0來(lái)表示，不可能事件的概率是0，但我們不可以說(shuō)概率為0的事件一定是不可能事件。

那么，如何區(qū)分小概率事件和不可能事件呢？下面看一下這兩種事件的區(qū)別及理論推導(dǎo)。

（二）小概率事件與不可能事件的區(qū)別

小概率事件在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性幾乎為0。因此對(duì)于小概率事件的實(shí)際應(yīng)用方面，也稱為實(shí)際不可能事件。下面看它的推導(dǎo)，假設(shè)小概率事件A出現(xiàn)的概率為ε>0，用AK來(lái)表示“A在第K次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)”，那我們可以得出以下的結(jié)論：

P（AK）=ε，P（AK）=1-ε.

事件A一次都不會(huì)發(fā)生的概率為（1-ε）n.

至少出現(xiàn)一次的概率為1-（1-ε）n.

由于ε是一個(gè)任意小的正數(shù)，所以有：

我們從上面的分析、推導(dǎo)可以得出：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件并不是永遠(yuǎn)都不會(huì)發(fā)生的，并且結(jié)果會(huì)隨著我們的試驗(yàn)次數(shù)的增加，增加到一定的程度后，小概率事件也會(huì)發(fā)生。

在日常生活中，人們常把小概率事件視為不可能事件。如果試驗(yàn)次數(shù)足夠多，小概率事件發(fā)生的次數(shù)也會(huì)增多。但是不可能事件是永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生的。這就是小概率事件和不可能事件的區(qū)別。生活中我們應(yīng)區(qū)分小概率事件和不可能事件，同時(shí)要學(xué)會(huì)靈活把控。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不可能事件的定義介紹，把小概率事件與不可能事件進(jìn)行區(qū)分，讓學(xué)生意識(shí)到小概率事件也是會(huì)發(fā)生的，尤其是部分學(xué)習(xí)成績(jī)差的學(xué)生，讓他們通過(guò)這一理論剖析，開始產(chǎn)生學(xué)習(xí)的念頭，激發(fā)其學(xué)習(xí)的熱情。

（三）小概率事件的推斷

根據(jù)伯努利大數(shù)定律，我們記事件A是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的，發(fā)生的次數(shù)記為nA，P是隨機(jī)事件A發(fā)生在n次試驗(yàn)中的概率，對(duì)于ε<0有：

我們可知事件A發(fā)生的頻率收斂于事件A發(fā)生的概率。假設(shè)事件A幾乎不發(fā)生的情況下可知當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，我們可以用事件A的頻率來(lái)代替事件 的概率。當(dāng)事件A的概率ε很小時(shí)，大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率也會(huì)很小。

只有在重復(fù)至少5000次以上的試驗(yàn)中事件A才會(huì)發(fā)生一次。所以小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不太可能發(fā)生的，在許多生活與概率問(wèn)題的研究中，稱可能出現(xiàn)的這種實(shí)驗(yàn)結(jié)果為實(shí)際不可能事件。實(shí)際不可能事件的實(shí)驗(yàn)往往發(fā)生在每一次的試驗(yàn)過(guò)程中或者實(shí)際上我們認(rèn)為根本不可能出現(xiàn)的，這就是所謂的小概率原理。它是一種重要判斷依據(jù)，也是實(shí)踐歸納總結(jié)并被人們廣泛學(xué)習(xí)、推廣的基本原理。

小概率原理在我們?nèi)粘Ｉ钪杏兄鴱V泛應(yīng)用，影響著人們的思想和行為。例如，我國(guó)福利彩票的發(fā)行，雖然人們都知道中大獎(jiǎng)的概率幾乎為0，但仍有很多人去購(gòu)買。雖然存在有些人是為殘疾人福利事業(yè)奉獻(xiàn)愛(ài)心、貢獻(xiàn)力量，但其中最主要的原因還是人們過(guò)度期望一個(gè)小概率事件能夠在一次隨機(jī)試驗(yàn)事件中發(fā)生的僥幸心理，夢(mèng)想自己可以中大獎(jiǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小概率事件的推斷，讓學(xué)生意識(shí)到只要有一絲希望，我們就應(yīng)該拼搏，為了自己的理想和追求，讓一切成為可能，創(chuàng)造奇跡，改變命運(yùn)。

四、生活中的小概率事件淺析

例1.童年時(shí)廟會(huì)上總會(huì)有這樣的游戲：一個(gè)不透明的箱子中裝有20個(gè)除了顏色不同其他都相同的球，其中有10個(gè)紅色的球、10個(gè)黑色的球，當(dāng)小朋友從不透明箱子中隨機(jī)抽取10個(gè)球，對(duì)應(yīng)的懲罰和獎(jiǎng)勵(lì)如表1。

注意：表格中正數(shù)為獎(jiǎng)勵(lì)的錢，負(fù)數(shù)為懲罰的錢。

從表1中的獎(jiǎng)勵(lì)錢數(shù)和懲罰的錢數(shù)來(lái)看，這個(gè)游戲還是很吸引人的，畢竟結(jié)果中5種都是獎(jiǎng)勵(lì)錢，只有一個(gè)懲罰了3元，涉及的金額也不大，很容易吸引小朋友去玩，但其實(shí)贏的機(jī)會(huì)很小。學(xué)過(guò)概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)知識(shí)后我們知道，這其實(shí)是不放回隨機(jī)取樣的古典概型。我們得到的所有結(jié)果總共是923780種可能。我們來(lái)算一下獎(jiǎng)勵(lì)和懲罰的概率，然后可以算出盈虧，就知道為什么看起來(lái)是個(gè)虧本的生意卻賺錢了。

從這20個(gè)球中任取10個(gè)，所有事件可能導(dǎo)致的概率的隨機(jī)結(jié)果一共有923780種，樣本空間是固定的。我們通過(guò)概率的公式和計(jì)算，很容易就得到了上述這5種計(jì)算結(jié)果，其所對(duì)應(yīng)的概率系數(shù)分別是：

我們不妨做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)進(jìn)行了1000次摸球試驗(yàn)，6種情況平均出現(xiàn)的次數(shù)分別為：0，0，4，250，95，68次，經(jīng)營(yíng)游戲者預(yù)期可得：

3×250-（10×0+3×0+1×4+0.5×95+0.2×68）=684.9

這個(gè)結(jié)果是不是讓人出乎意料，它開出的中獎(jiǎng)概率竟然只有0.000002。我們經(jīng)常會(huì)聽到新聞中報(bào)道某網(wǎng)點(diǎn)有人買彩票中了幾百萬(wàn)。學(xué)過(guò)概率知識(shí)的人都知道，中彩票的概率是非常低的，純屬小概率事件。所以中大獎(jiǎng)的可能性非常小。但是，當(dāng)買彩票的人多的時(shí)候，總有一個(gè)人會(huì)中獎(jiǎng)，這也就是為什么中獎(jiǎng)的可能性微乎其微但還是有人喜歡買彩票的原因，畢竟誰(shuí)也說(shuō)不準(zhǔn)這個(gè)小概率可能會(huì)輪到自己。

小概率事件原理的應(yīng)用最經(jīng)典的就是保險(xiǎn)公司推薦的產(chǎn)品。買保險(xiǎn)的時(shí)候我們知道用到它的可能性微乎其微，但是我們還是要堅(jiān)持買下適合自己的保險(xiǎn)以防萬(wàn)一。小概率事件不是不可能事件，我們要在尊重現(xiàn)實(shí)和法規(guī)的情況下，將損失降到最小，維護(hù)自身權(quán)益。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生辯證地看待問(wèn)題，學(xué)會(huì)運(yùn)用有利于自身發(fā)展的知識(shí)工具，不要貪圖小利而失大義。要合理地利用知識(shí)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，讓一切朝著更有利于自身發(fā)展的方向發(fā)展。

例2.您是否聽

說(shuō)過(guò)墨菲定律？愛(ài)德華·墨菲是英國(guó)的一名飛機(jī)工程師，1949年在第一次參加美國(guó)空軍轟炸機(jī)的最后一次飛行實(shí)驗(yàn)中測(cè)定出人類飛機(jī)對(duì)加速度的最大承受能力。本試驗(yàn)是將16個(gè)火箭加速器懸空地裝載于試驗(yàn)者飛機(jī)的尾翼上面，火箭加速器有上、下兩種固定加速方式，但是一件令人感覺(jué)很不可思議的事情突然發(fā)生在了這次實(shí)驗(yàn)中，有人居然能同時(shí)將這16個(gè)火箭加速器全部裝錯(cuò)了位置，于是墨菲根據(jù)這件事說(shuō)了這樣一句話“有可能出錯(cuò)的事情，就會(huì)出錯(cuò)”。很快，這句話就被人們傳播開了，被人們稱為墨菲定律。它闡述了偶然中的必然性，和小概率事件原理有著異曲同工之妙。

在數(shù)理概率統(tǒng)計(jì)中，有一條特別重要的概率統(tǒng)計(jì)基本規(guī)律：假設(shè)某一類意外事件發(fā)生在下一次實(shí)驗(yàn)事件（活動(dòng)）過(guò)程中發(fā)生一次的概率為P（P>0），則在n次實(shí)驗(yàn)（活動(dòng)）中至少會(huì)發(fā)生一次的概率為P=1-（1-P）n，由此可見(jiàn)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n增大到一定的程度的時(shí)候，P會(huì)越來(lái)越接近于1，即它會(huì)成為一個(gè)必然事件。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小概率事件在科技試驗(yàn)與環(huán)境的發(fā)展中的存在現(xiàn)象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)和防控，做任何事都不能存在僥幸心理，學(xué)習(xí)也是如此，要做到不輕視任何學(xué)科、任何知識(shí)點(diǎn)，要認(rèn)真學(xué)習(xí)、掌握。

例3.“和平精英”游戲。地圖中有100個(gè)人，他們?cè)诘貓D各處收集物資進(jìn)行槍戰(zhàn)，可以4人組隊(duì)，也可以2人組隊(duì)和1人組隊(duì)，在4人組隊(duì)中，我們假設(shè)每個(gè)隊(duì)伍都是4人且沒(méi)人退出游戲，那么整局游戲就有25個(gè)隊(duì)伍，對(duì)于玩家來(lái)說(shuō)，“吃雞”才會(huì)獲得最后的勝利，如果一個(gè)隊(duì)伍想要獲得勝利，他們一天打了20局，那么他們想要獲得勝利的幾率是多少呢？計(jì)算可知為：P=≈0.002.

而0.002是小于0.05的，可見(jiàn)也是一個(gè)小概率事件。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)網(wǎng)絡(luò)游戲讓學(xué)生認(rèn)識(shí)這些只是娛樂(lè)的方式，絕不能因此耽誤學(xué)習(xí)和生活。相信科學(xué)，只有通過(guò)辛勤勞動(dòng)和學(xué)習(xí)知識(shí)才能武裝自己，增強(qiáng)自己的實(shí)力。希望學(xué)生不要沉迷于游戲，課余時(shí)間多鍛煉身體、多閱讀經(jīng)典著作，拓寬自己的視野，做一個(gè)積極向上、有活力、有理想的青年。樹立信念，培養(yǎng)社會(huì)責(zé)任感，不斷探索，為家庭的幸福、父母的期望和祖國(guó)的繁榮而拼搏。

五、總結(jié)

數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，無(wú)處不在。通過(guò)上面的案例我們可以看出小概率事件時(shí)刻圍繞在我們身邊，廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)、生活、經(jīng)濟(jì)等方面，希望我們了解并掌握小概率事件。讓它帶給我們更多的驚喜！讓我們利用數(shù)學(xué)知識(shí)做出合理決策，學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自身素養(yǎng)，利用知識(shí)創(chuàng)造美好未來(lái)。

六、反思

通過(guò)本次實(shí)踐課，學(xué)困生開始低下頭，表情凝重，但有股即將爆發(fā)的內(nèi)驅(qū)力。從家長(zhǎng)的反饋來(lái)看，他們回家后開始主動(dòng)參與集體活動(dòng)，幫助干家務(wù)，主動(dòng)看書、做作業(yè)。成績(jī)中等的學(xué)生更是表現(xiàn)出色。班級(jí)學(xué)習(xí)氛圍一下好了很多，教室里有了朗朗的讀書聲，學(xué)生你爭(zhēng)我趕，個(gè)個(gè)都奮勇拼搏，唯恐落后，這就是新課程的魅力。新理念、新教法有效地激發(fā)了學(xué)生的動(dòng)力。中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷探索新課程核心素養(yǎng)，努力培養(yǎng)中學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和愛(ài)好，使他們成為有擔(dān)當(dāng)、有理想、有信念的新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義接班人。

參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩(shī)松，程依明，蒲小龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]張朝霞，吳杰.日常生活中的小概率事件[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（4）：61-63.

[3]李昀鴻.小概率事件的原理及應(yīng)用[J].科技資訊，2016（16）：168-170.

作者簡(jiǎn)介：田鮮麗（1976—），女，漢族，首都師范大學(xué)教育碩士，中學(xué)高級(jí)教師，河南省骨干教師，駐馬店市學(xué)科技術(shù)帶頭人，研究方向：拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的探究課程構(gòu)建。

張夢(mèng)思（1998—），女，漢族，本科，畢業(yè)于商丘師范學(xué)院，就職于東莞市萬(wàn)江長(zhǎng)鴻學(xué)校，研究方向：探究式教學(xué)。