姚亞南

摘 要：在新課程改革如火如荼推進(jìn)的今天，教師的教育理念也正在進(jìn)行著革新，越來(lái)越關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的深度學(xué)習(xí)。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的主線之一。以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，總結(jié)深度學(xué)習(xí)內(nèi)涵，分析學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，以“函數(shù)的概念”一課時(shí)為例，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，并形成函數(shù)概念深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：函數(shù)概念;深度學(xué)習(xí);教學(xué)策略

2014年新高考改革啟動(dòng)以來(lái)，各省份積極響應(yīng)，改革穩(wěn)步進(jìn)行，同時(shí)，數(shù)學(xué)新教材也投入使用，這一變革使得一線教師的教育理念也隨之發(fā)生變化。長(zhǎng)期以來(lái)的應(yīng)試教育體制使數(shù)學(xué)教育中的教與學(xué)過(guò)分注重解題的技巧和方法，忽視了數(shù)學(xué)的基本概念，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)往往流于表面，無(wú)法掌握其內(nèi)在含義。隨著新教材的改革，這種形式已經(jīng)不能適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，對(duì)一些新的出題方式、新高考改革中的新題型無(wú)從下手，因此需要將深度學(xué)習(xí)理論融入課堂。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)理論是深度學(xué)習(xí)理論與數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)相結(jié)合的成果，能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)由淺入深，以表層的數(shù)學(xué)知識(shí)符號(hào)為媒介實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解與掌握。

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因提出：函數(shù)概念應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，充分地綜合。函數(shù)作為貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的主線，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有著重要的地位，因此，如何促進(jìn)高中函數(shù)概念的深度學(xué)習(xí)，成為新時(shí)代背景下應(yīng)該探究的問(wèn)題。筆者結(jié)合高中一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)總結(jié)現(xiàn)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，并針對(duì)這些問(wèn)題，以人教版新教材第一冊(cè)第三章第一課時(shí)“函數(shù)的概念”為例，淺談促進(jìn)高中函數(shù)概念深度學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)教學(xué)建議。

一、學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

筆者在工作期間對(duì)某實(shí)驗(yàn)中學(xué)的高一學(xué)生進(jìn)行觀察，同時(shí)向多名教師請(qǐng)教，并結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念這一部分知識(shí)時(shí)主要存在以下兩方面的問(wèn)題。

（一）先入為主，接受新知困難

首先，由于初中函數(shù)的概念是“變量說(shuō)”，即直接針對(duì)兩個(gè)變量x、y的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，較為直觀和具象，學(xué)生對(duì)此種概念已經(jīng)較為熟悉，應(yīng)用起來(lái)也得心應(yīng)手，受先入為主思想的限制，對(duì)高中“對(duì)應(yīng)說(shuō)”這一函數(shù)概念引入的必要性認(rèn)識(shí)不足，對(duì)函數(shù)概念“對(duì)應(yīng)說(shuō)”定義接受起來(lái)存在困難。

其次，對(duì)“為什么要重新定義函數(shù)概念”心存疑惑。學(xué)生在預(yù)習(xí)知識(shí)的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生疑慮：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念了，為什么又要重新學(xué)習(xí)？并對(duì)新的概念產(chǎn)生疑惑，認(rèn)為沒(méi)有重新學(xué)習(xí)的必要。

最后，受畏難情緒的影響，認(rèn)為函數(shù)部分的知識(shí)復(fù)雜難學(xué)，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)有或多或少的恐懼，對(duì)新的概念有排斥心理。

（二）抽象思維尚未形成，歸納總結(jié)困難

高中函數(shù)概念較為抽象，需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)抽象能力。在學(xué)習(xí)時(shí)，需要學(xué)生通過(guò)具體的實(shí)例抽象和歸納得出函數(shù)概念，這要求學(xué)生通過(guò)自己的努力進(jìn)行探索，對(duì)能力要求較高。高一剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生，抽象思維尚未形成，他們?cè)趪L試通過(guò)“觀察、分析、比較、歸納、概括”得出概念時(shí)，其中任何一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問(wèn)題都可能得不到函數(shù)的概念。另外，初中生對(duì)函數(shù)的理解僅停留在一些具體函數(shù)的層面上，更準(zhǔn)確地說(shuō)是局限于對(duì)函數(shù)具體解析式的理解，重計(jì)算、重例題，對(duì)抽象的函數(shù)符號(hào)理解有一定的困難。

二、“函數(shù)的概念”深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）巧設(shè)情境——復(fù)雜問(wèn)題生活化

讓學(xué)生在具體的生活情境中形成數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的理念，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如，在函數(shù)概念第一課時(shí)教學(xué)時(shí)，可以利用學(xué)生已經(jīng)具備的函數(shù)知識(shí)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以舊引新，將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題以生活中的具體實(shí)例進(jìn)行呈現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以學(xué)生為主體，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性，再輔以教師的引領(lǐng)和啟發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生討論交流，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化、形成與遷移，從而在這個(gè)基礎(chǔ)上說(shuō)明初中函數(shù)概念的局限性和學(xué)習(xí)新定義的必要性。如在教學(xué)時(shí)，可以以教材為基礎(chǔ)，同時(shí)滲透深度學(xué)習(xí)理論，設(shè)置以下幾個(gè)問(wèn)題情境引入函數(shù)概念。

問(wèn)題情境一：復(fù)習(xí)回顧舊知，深度參與課堂情境

教師：同學(xué)們知道函數(shù)嗎？你們都學(xué)習(xí)過(guò)哪些函數(shù)？

學(xué)生1：我學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)。

學(xué)生2：我還學(xué)習(xí)過(guò)反比例函數(shù)。

教師：很好。那么，誰(shuí)能說(shuō)出函數(shù)的概念呢？

學(xué)生3：對(duì)于兩個(gè)變量x、y，每一個(gè)x都有y與之對(duì)應(yīng)。

學(xué)生4：應(yīng)該加上“唯一”，即每一個(gè)x都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)。

教師：兩位同學(xué)的說(shuō)法都有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?。在初中，函?shù)的定義是指，一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)初中舊知的復(fù)習(xí)喚醒函數(shù)記憶，可以讓學(xué)生產(chǎn)生熟悉感，從而將自己代入課堂情境之中，深度參與課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)，為下一步深入學(xué)習(xí)做鋪墊。

問(wèn)題情境二：創(chuàng)設(shè)生活實(shí)例，深度感悟函數(shù)概念

教師：今早老師開(kāi)車上班的時(shí)候，在前10分鐘是以60km/h勻速行駛的，那么在這段時(shí)間內(nèi)，老師行駛的路程s（單位：km）和時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系可以用函數(shù)來(lái)表示嗎？

學(xué)生5：可以，s=60t.

教師：那有的同學(xué)就問(wèn)了，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果行駛1小時(shí)，就前進(jìn)了60km，大家認(rèn)為這種說(shuō)法對(duì)嗎？對(duì)剛才的定義，有沒(méi)有同學(xué)可以補(bǔ)充？

學(xué)生6：我認(rèn)為在時(shí)間上應(yīng)該進(jìn)行限制，因?yàn)橹徽f(shuō)了前10分鐘是以60km/h勻速行駛的。

教師：沒(méi)錯(cuò)，我們無(wú)法判定10分鐘后的行駛情況，也就是說(shuō)單單通過(guò)函數(shù)解析式描述函數(shù)是不準(zhǔn)確的，還要注意到自變量t的范圍。請(qǐng)同學(xué)們討論研究，用更精確的語(yǔ)言描述剛剛的問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)題是將教材中“復(fù)興號(hào)”高速列車問(wèn)題替換為更貼近生活的具體實(shí)例，將復(fù)雜的問(wèn)題生活化，從而使學(xué)生更有代入感。同時(shí)，經(jīng)過(guò)教師一系列的引導(dǎo)和學(xué)生的討論交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)單靠初中學(xué)習(xí)的知識(shí)已經(jīng)不能精確刻畫函數(shù)，從而形成了認(rèn)知沖突，激發(fā)了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。此時(shí)教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用更精確的集合語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)中變量的范圍，讓學(xué)生意識(shí)到變量范圍對(duì)函數(shù)的重要性，層層深入，為下一步利用集合語(yǔ)言刻畫函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

問(wèn)題情境三：巧升問(wèn)題難度，深度體會(huì)函數(shù)要素

教師：大學(xué)期間，老師曾勤工儉學(xué)，在一家便利店工作，每周至少工作1天，至多不超過(guò)5天，工資一周一結(jié)，工資標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一是每人每天60元，那么老師的工資ω（單位：元）是我工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？

學(xué)生7：是，ω=60d.其中，d∈{1，2，3，4，5}。

教師：那ω的范圍是固定的嗎？請(qǐng)大家一起給出。

學(xué)生：ω∈{60，120，180，240，300}。

教師：看來(lái)同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會(huì)用集合的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)了，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于工作天數(shù)d對(duì)應(yīng)集合中的任一個(gè)天數(shù)，按照對(duì)應(yīng)函數(shù)式，在ω對(duì)應(yīng)的集合中都有唯一確定的一個(gè)工資與它對(duì)應(yīng)。

教師：請(qǐng)同學(xué)們觀察前兩個(gè)問(wèn)題的函數(shù)解析式，它們是相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你覺(jué)得它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？是什么影響了它？

設(shè)計(jì)意圖：同樣將教材中的工廠問(wèn)題近似替換，在上一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行升級(jí)，將函數(shù)模型替換成離散型函數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受影響函數(shù)的幾個(gè)要素，為函數(shù)的三要素進(jìn)行鋪墊，為下一步區(qū)別是否為同一函數(shù)的問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

問(wèn)題情境四：引入函數(shù)圖象，深度探索函數(shù)表示

教師：下圖是空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖，如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任意時(shí)刻t（單位：h）的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？

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學(xué)生8：可以從圖象上獲得I的值，I是t的函數(shù)。

教師：非常正確，那么同學(xué)們能用集合的語(yǔ)言描述一下兩個(gè)變量的范圍嗎？

學(xué)生9：t滿足集合{t|0≤t≤24}，I滿足集合{I|0

教師：我們可以看到，對(duì)于t滿足集合的任意一個(gè)時(shí)刻，按照?qǐng)D中曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在I滿足的集合中都有唯一確定的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，因此I是t的函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教材中的實(shí)例，將函數(shù)的表示用圖象來(lái)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生明確不是所有的函數(shù)都有準(zhǔn)確的函數(shù)解析式，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系同樣可以用圖象來(lái)表示。通過(guò)一步步的引領(lǐng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中深度探索函數(shù)的表示方法，感悟抽象符號(hào)在函數(shù)概念中的重要性。

問(wèn)題情境五：進(jìn)階函數(shù)表示，深度總結(jié)表示方法

教師：以下表格是恩格爾系數(shù)的變化情況，你認(rèn)為恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？

學(xué)生10：恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)。

教師：那么請(qǐng)同學(xué)們按照前幾個(gè)問(wèn)題那樣，用集合的語(yǔ)言刻畫這個(gè)函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：此處引入了另一種函數(shù)的表示方法，引導(dǎo)學(xué)生明確表示函數(shù)不僅可以用解析式、圖象，還可以利用表格來(lái)呈現(xiàn)。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)上述所有問(wèn)題的表示方法，讓所有學(xué)生都參與到課堂環(huán)節(jié)中。

（二）總結(jié)特征——抽象概念具體化

在上述幾個(gè)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)中，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了刻畫函數(shù)的幾個(gè)要素，此時(shí)需要乘勝追擊，引領(lǐng)學(xué)生共同總結(jié)函數(shù)特征，使抽象的函數(shù)概念走向具體化。針對(duì)這一部分設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：總結(jié)共同特征，深度形成函數(shù)概念

教師：請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行小組討論，總結(jié)上述四個(gè)問(wèn)題所表示函數(shù)的共同特征。

學(xué)生11：它們的變量范圍都是兩個(gè)非空數(shù)集。

學(xué)生12：它們都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

學(xué)生13：對(duì)于其中一個(gè)集合中的任意一個(gè)數(shù)，在另一個(gè)集合中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。

教師：同學(xué)們說(shuō)的都很好。為了更直觀地表示，我們將兩個(gè)非空數(shù)集用A、B來(lái)表示，將對(duì)應(yīng)關(guān)系引進(jìn)符號(hào)f來(lái)表示。同學(xué)們能進(jìn)一步給出函數(shù)的概念嗎？

設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步整理特征，引導(dǎo)學(xué)生用集合的語(yǔ)言來(lái)概括函數(shù)的一般概念。由學(xué)生自己來(lái)總結(jié)概括出函數(shù)概念，教師對(duì)細(xì)節(jié)加以修正，而不是直接給出，更有利于學(xué)生感悟概念的形成過(guò)程，從過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成所要經(jīng)歷的階段，從而深入理解概念，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

問(wèn)題2：自主創(chuàng)設(shè)情境，深度理解函數(shù)概念

教師：函數(shù)的解析式是舍棄問(wèn)題的實(shí)際背景而抽象出來(lái)的，它反映的是兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地應(yīng)用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律。試創(chuàng)設(shè)一個(gè)問(wèn)題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（10-x）來(lái)表示。

學(xué)生14：可以用來(lái)表示周長(zhǎng)為20的長(zhǎng)方形的面積。

教師：是否還缺少函數(shù)的要素呢？

學(xué)生15：長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是x，面積為y，即y=x（10-x），其中x的取值范圍是A={x|0

教師：是否還可以表示其他的情境呢？請(qǐng)同學(xué)們下課進(jìn)行思考，并以小組的方式進(jìn)行呈現(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：理解函數(shù)本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生自主通過(guò)函數(shù)解析式來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)其逆向思維，學(xué)生既要學(xué)會(huì)從具體的生活事例中抽象出數(shù)學(xué)模型，又要能夠?qū)?shù)學(xué)模型還原到具體的情境中，這樣不僅能夠培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，而且可以深度學(xué)習(xí)函數(shù)概念，形成數(shù)學(xué)建模的能力。

三、函數(shù)概念深度學(xué)習(xí)教學(xué)策略

（一）關(guān)注概念的形成過(guò)程，在具體情境中形成深度學(xué)習(xí)理念

深度學(xué)習(xí)不僅是一種學(xué)習(xí)方式，更是一種學(xué)習(xí)過(guò)程。它更強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成與遷移，因此在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注函數(shù)概念的形成過(guò)程，并且有意識(shí)地將他們引入具體情境當(dāng)中，層層遞進(jìn)，引發(fā)具體思索，在情境中感悟，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)時(shí)利用好新舊知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)生在初中階段已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念，那么在介紹高中函數(shù)概念之前，讓學(xué)生進(jìn)行回憶，再通過(guò)引導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)舊知識(shí)已經(jīng)無(wú)法解決情境中的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，可以大大激發(fā)學(xué)生的好奇心，引發(fā)自主探索，由此才能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)新概念的必要性，改變對(duì)原有概念的認(rèn)識(shí)，對(duì)新概念的理解更深入。

（二）引入生活化場(chǎng)景，在實(shí)際運(yùn)用中激發(fā)深度學(xué)習(xí)興趣

函數(shù)概念放在課本上非常抽象，但是拿到具體生活中則活靈活現(xiàn)。在之前的教學(xué)中，總有學(xué)生對(duì)為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生疑問(wèn)，認(rèn)為它對(duì)自己的生活毫無(wú)幫助，從而失去了學(xué)習(xí)興趣。其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)最能運(yùn)用到生活實(shí)踐當(dāng)中，教師要善于發(fā)現(xiàn)，并利用生活化的場(chǎng)景抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，在實(shí)際運(yùn)用中提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而非讓學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)概念只是單純地為了解數(shù)學(xué)題，在生活中無(wú)用。不僅如此，將函數(shù)概念問(wèn)題生活化可以將復(fù)雜的、抽象的函數(shù)更為直觀地表示出來(lái)，例如，在講解指數(shù)函數(shù)時(shí)，可以利用其“爆炸性”增長(zhǎng)的特質(zhì)，引入生活中的指數(shù)函數(shù)模型，如經(jīng)典的國(guó)王與阿基米德下棋的故事，可以更直觀地讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)，從而進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

（三）自主探究式學(xué)習(xí)，在合作探討中形成深度學(xué)習(xí)能力

所謂的深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力顯得尤為重要，一個(gè)人的想法具有局限性，而通過(guò)合作探究就可以把視角打開(kāi)，集思廣益，可以大大提升學(xué)習(xí)效率，不僅有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更有助于形成深度學(xué)習(xí)的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]何玲，黎加厚.促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].現(xiàn)代教學(xué)，2005（5）：29-30.

[2]鐘一鳴.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)策略研究：以函數(shù)的概念為例[J].豫章師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，35（1）：65-69.