許沐英

摘? ?要：在解題中靈活運(yùn)用常見的長(zhǎng)方體模型，可以化解立體幾何中抽象的一些空間想象問題，真正把數(shù)學(xué)運(yùn)算和抽象概括素養(yǎng)能力落地生根.

關(guān)鍵詞：模型;長(zhǎng)方體;立體幾何

時(shí)下教育的熱門話題核心素養(yǎng)可謂是遍地開花，而數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模和直觀想象這兩大素養(yǎng)也是備受教師的追捧，針對(duì)在實(shí)踐教學(xué)中究竟如何有效運(yùn)用數(shù)學(xué)建模才能真正達(dá)到核心素養(yǎng)的落地生根，這個(gè)問題，本文以一道立體幾何月考題為例談?wù)剛€(gè)人一些看法，供同仁交流.

1? 試題呈現(xiàn)

以下四個(gè)命題中 （1）a//b，b//c 則a//c;（2）a⊥b，b⊥c，則a⊥c;（3）a，b異面，b，c異面，則a，c異面;（4） a，b相交，b，c相交，則a，c相交;

正確的是____________.

錯(cuò)誤分析? 本題看似簡(jiǎn)單的一道開放式選題在本校月考中錯(cuò)誤率卻是極高，考后調(diào)查分析可知學(xué)生主要錯(cuò)誤點(diǎn)有兩個(gè)：一是受到了初中平行傳遞性的影響，所以根據(jù)模糊推理，感覺每個(gè)選項(xiàng)似乎都是正確的;二是長(zhǎng)期的考試命題陷阱又暗示一部分學(xué)生可能暗含玄機(jī)，但是苦于空間中尋尋覓覓找不到線線的關(guān)系圖，只能草草選題收?qǐng)?

教學(xué)反思? 立體幾何中很多題目讓學(xué)生知其然不知所以然，所研究的線線，線面，面面的抽象位置關(guān)系讓學(xué)生倍感陌生，這種境況下急需一種模型讓學(xué)生從中獲取熟悉的環(huán)境，進(jìn)而解決形態(tài)各異的各種立體幾何問題.而生活中的長(zhǎng)方體這個(gè)模型堪稱幾何圖形中的明星，集點(diǎn)線面于一體，又極具對(duì)稱性，同時(shí)通過切割可以得到不同的幾何體. 故利用長(zhǎng)方體模型可以把立體幾何中的基本概念和定理梳理清楚，同時(shí)多種多樣的柱體、錐體、臺(tái)體，可以拓展、豐富立體幾何的研究空間，又體現(xiàn)出圖形與知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系[ 1 ]，許多空間問題如果放置在長(zhǎng)方體模型中可以化陌生為熟悉.

2? 妙用長(zhǎng)方體模型

2.1? 妙用長(zhǎng)方體解決位置關(guān)系問題

例1? 以下四個(gè)選項(xiàng)：

（1）a a，b a，a//β，b//β，β則a//β;

（2）a a，a⊥β，則a⊥β;

（3）a⊥b，a⊥c，則b//c;

（4）a⊥β，a∩β=l，b a，b不垂直于l，則b不垂直于β，下列命題正確的命題是（? ? ）.

A.（1）和（2）? ? B.（2）和（3）? ? ?C.（3）和（4）? ? D.（2）和（4）

解析? 命題（2）來源于判定定理，命題（4）初看好像晦澀難懂，運(yùn)用逆否命題與原命題的等價(jià)性不難判斷。主要有挑戰(zhàn)的是（1）和（3），活用上側(cè)的長(zhǎng)方體如圖1可知AD//平面A1B1C1D1，平面ADD1A1內(nèi)與AD平行的線有無數(shù)條，可知（1）錯(cuò)誤，從常見的長(zhǎng)方體模型中可以直觀感知到線線和線面的位置關(guān)系，讓抽象問題立刻清晰起來.

總結(jié)? 利用常見的數(shù)學(xué)模型處理位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常選擇排除法可以快速選出正確答案，應(yīng)該可以找出模型中的反例進(jìn)行剔除.這種模型為載體的優(yōu)點(diǎn)是無需調(diào)動(dòng)太多立體幾何中的定理和性質(zhì)來尋找答案，缺點(diǎn)有時(shí)需要多次尋找才能確定哪個(gè)命題是正確的.

2.2? 妙用長(zhǎng)方體模型求解球相關(guān)問題

例2? 已知四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，且AB=AC=AD=b則這個(gè)球O的體積為_________.

解析 本題三棱錐同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱互相垂直，墻角模型非常明顯，把此題放入邊長(zhǎng)為b的長(zhǎng)方體中，所以可以把它放在如圖所示的棱長(zhǎng)為b的立方體中如圖2，即三棱錐A-BCD.從圖中可以看出此三棱錐A-BCD的外接球就是此長(zhǎng)方體的體的對(duì)角線AE即是三棱錐A-BCD的外接球直徑。根據(jù)AB=AC=AD=b，AE=b，可知此外接球的半徑r=b，可知球O的體積為v=πb3.

總結(jié)? 墻角模型，直棱柱，正四面體以及對(duì)棱相等的三棱錐都可以把此放到長(zhǎng)方體或立方體內(nèi)考慮，根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度，進(jìn)而可以清晰之間的各種聯(lián)系，進(jìn)而可以有目標(biāo)性的解題，創(chuàng)造無限巧解可能.

2.3? 妙用長(zhǎng)方體模型求解角問題

例3? 已知正三棱錐O-PQR的所有邊長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)分別為OP，RQ的中點(diǎn)，那么異面直線EF與OR所成角為___________.

解析 求異面直線所成的角有單平移和雙平移，而本題又是中點(diǎn)，通常都是找到中位線，進(jìn)而得到平行線，用等角定理可求出本題答案.但在高一學(xué)生剛接觸這部分內(nèi)容，對(duì)三棱椎異面直線所成角的問題卻是很難找到，但是在這樣子一題多解中引入常見的長(zhǎng)方體模型如圖3，在長(zhǎng)方體模型中找到本題的三棱椎如圖4，進(jìn)而可以很容易找到平行線EF//GR，本題所求異面直線所成的角就是∠GRO，還可以拓展本題正三棱椎對(duì)棱所成的角是直角，以熟悉的長(zhǎng)方體做為一題的切入點(diǎn)，把難懂的空間直線變成可以具體形象化可把控的直線，也把本題的多種解法借助此模型理解的更為透徹.

總結(jié)? 世間萬物都是可聯(lián)系的，透過現(xiàn)象可以看到本質(zhì)，所解決的問題自然水到渠成，無論棱柱還是棱椎都可以看到長(zhǎng)方體的一個(gè)部分截體，通過長(zhǎng)方體還可以看到正三棱錐對(duì)棱互相垂直，陌生的東西找到可以操作的對(duì)象，何樂而不為，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再是枯燥乏味，而是有了更多的聯(lián)系感和美感對(duì)稱感。

2.4? 妙用長(zhǎng)方體求解距離問題

例4? 已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，底面上一點(diǎn)O到三個(gè)側(cè)面的距離為3，4，5，求此點(diǎn)O到頂點(diǎn)P的距離.

解析 三條側(cè)棱兩兩垂直，可以快速和長(zhǎng)方體建立聯(lián)系，把三個(gè)平面當(dāng)作三個(gè)正方體的相鄰三個(gè)側(cè)面，點(diǎn)O到各個(gè)平面的距離可以重新建立一個(gè)長(zhǎng)方體如圖5，題目所求的OP的距離等價(jià)于求體對(duì)角線的距離，則OP==5.

3? 教學(xué)反思

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》在教師的目標(biāo)導(dǎo)向中強(qiáng)調(diào)運(yùn)用發(fā)揮長(zhǎng)方體的模型示范作用，可以達(dá)到把空間中點(diǎn)線與面的抽象關(guān)系直觀感知，同時(shí)把立體幾何中定量和定性問題有效的化歸和轉(zhuǎn)化，而長(zhǎng)方體中蘊(yùn)含豐富的三條側(cè)棱兩兩垂直模型，對(duì)棱相等模型，三棱柱[ 2 ].

課程目標(biāo)的有效實(shí)施離不開數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)，當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革迫在眉睫，作為數(shù)學(xué)的兩大核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)建模，直觀想象如何在教學(xué)中落實(shí)顯得尤其重要.本文中運(yùn)用長(zhǎng)方體作為橋梁的引入，不僅可以降低立體幾何學(xué)習(xí)的難度，而且可以讓學(xué)生感受成功的喜悅，在親切的圖形中獲得了知識(shí)，化陌生為熟悉.

參考文獻(xiàn)：

[1] 周順鈿.重點(diǎn)高中二輪復(fù)習(xí)用書（高中數(shù)學(xué)）[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2020：94-100.

[2] 王作順.與長(zhǎng)方體相關(guān)的三類四面體[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2010（23）：12-13.