李群

焦點(diǎn)三角形是指由橢圓或雙曲線上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形.焦點(diǎn)三角形較為特殊，其一條邊為橢圓的長(zhǎng)軸或雙曲線的實(shí)軸.與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討一下與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題的解法.

一、根據(jù)橢圓或雙曲線的定義求解

解答橢圓和雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，首先要明確這兩種圓錐曲線的幾何特征和定義.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡.若 P 為橢圓上一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡，用代數(shù)式可表示為||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根據(jù)橢圓的定義可知（1）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos θ;（2） S △PF1F2=|PF1||PF2|· sin θ;（3）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2（a+c）.對(duì)于雙曲線，也有類似的性質(zhì).

例1.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（? ，0）和（- ，0），點(diǎn) P 在雙曲線上，且 PF1⊥ PF2，ΔABC 的面積為2，則雙曲線的方程為?? .

此題比較簡(jiǎn)單，根據(jù)題目中的垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義和三角形的面積公式即可建立關(guān)于|PF1|、|PF2|的方程組，解方程組就可以求出雙曲線的方程.

例2.已知橢圓 C1與雙曲線 C2有相同的焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2，曲線C1和C2的一個(gè)交點(diǎn)為 P，且 PF1⊥ PF2，則 C1的離心率 e1與 C2的離心率 e2一定滿足的關(guān)系是（? ）.

解答本題，需利用橢圓與雙曲線的定義，借助勾股定理建立關(guān)于|PF1|、|PF2|的方程，然后將其轉(zhuǎn)化為 a、c 的方程，根據(jù)圓錐曲線離心率公式 e =，得到e1、e2的關(guān)系式.

二、根據(jù)正余弦定理求解

若三角形ABC 的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊為a、b、c，則有正弦定理：== =2R .余弦定理：a2= b2+c2-2bc cosA;b2=c2+a2-2ca cosB;c2=a2+ b2-2ab cos C.在解答與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)正余弦定理建立關(guān)于焦點(diǎn)三角形三邊的關(guān)系式，通過(guò)解方程求得問(wèn)題的答案.

本題較為復(fù)雜，要找到焦點(diǎn)三角形的最小內(nèi)角，需根據(jù)“三角形的小角對(duì)小邊，大角對(duì)大邊”的定理進(jìn)行判斷，然后根據(jù)余弦定理建立關(guān)于a、c的關(guān)系式，通過(guò)解方程，利用橢圓和雙曲線中a、b、c之間的關(guān)系求得雙曲線的漸近線方程.

可見(jiàn)，解答橢圓、雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是明確焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、兩條焦點(diǎn)弦與焦距之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用橢圓或雙曲線的定義、余弦定理、三角形的面積公式.