朱維珺

[摘? 要] 新課標賦予了數(shù)學建模與模型思想明確的含義，它是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分之一. 建模是實踐的產(chǎn)物，它能幫助學生快速解決實際問題，提高解題效率. 文章以“實際問題與一元二次方程”的教學為例，著重從課程分析、教學設(shè)計與教學反思三方面談一些看法.

[關(guān)鍵詞] 建模;一元二次方程;教學反思

初中數(shù)學中，有不少內(nèi)容涉及數(shù)學模型類問題，有些教師對于模型的形成過程常一帶而過或干脆忽略，出現(xiàn)“重目標，輕過程”的教學現(xiàn)象[1]. 殊不知，謀求在數(shù)學學科上的發(fā)展，應(yīng)經(jīng)歷一個礪沙成珠的過程，各項能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)都需要經(jīng)歷長久、點滴的滲透.

數(shù)學模型帶給我們的不僅是解題步驟與程序，還具有啟發(fā)思維的重要作用. 數(shù)學教學要實現(xiàn)知識與技能目標，更重要的是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，讓學生能自主地用數(shù)學的眼光看待身邊的一切事物，從而形成高階思維與良好品質(zhì)，為核心素養(yǎng)的產(chǎn)生奠定基礎(chǔ).

基于這個角度，我們應(yīng)將數(shù)學模型作為一種重要的教學資源，啟發(fā)并引導(dǎo)學生感知模型的建構(gòu)過程，在教學中不斷地滲透模型思想，讓學生學會用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實問題，讓模型思想成為解決與研究數(shù)學問題的一種演繹思想.

提煉、內(nèi)化數(shù)學模型思想必然要經(jīng)歷一個建模過程，這就需要教師精心設(shè)計鮮活且具有借鑒意義的案例來展示建模過程，這對提升課程價值和落實核心素養(yǎng)具有重大意義. 為此，本文以“實際問題與一元二次方程”的教學過程為例，具體談?wù)剶?shù)學建模教學在課堂中的實施過程與思考.

課程分析

在我們的生活實際中，通過存在的數(shù)量關(guān)系可將某些問題抽象成數(shù)學中常用的“一元二次方程”來解決. 本節(jié)課的教學核心是將源自生活的問題與數(shù)學中的“增長率”相結(jié)合，在分析中建構(gòu)數(shù)學模型. 本節(jié)課的主要教學流程為引導(dǎo)學生感知生活情境，分析其中存在的一些數(shù)據(jù)，并親身經(jīng)歷建?；顒舆^程（情境—建構(gòu)—驗證—應(yīng)用）. 學生可在此過程中深刻體驗數(shù)學與生活的關(guān)系，有效地發(fā)展自身的應(yīng)用意識.

教學設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境（引發(fā)思考）

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，用豐富的情境，不僅能快速吸引學生的注意力，讓學生將目光集中到課堂中，還能有效地激發(fā)學生的探究興趣. 本節(jié)課，筆者選擇以播放視頻的方式來引發(fā)學生的探究欲，并快速切入教學主題.

播放視頻：病毒復(fù)制百萬大軍

一位學生因感冒打了一個噴嚏，流感病毒隨著飛沫進入空氣中，其他人吸入帶有病毒的飛沫. 剛開始僅僅是一個病毒侵入人體細胞，但這個病毒很快就進行了大量復(fù)制，最終產(chǎn)生了數(shù)百萬個病毒.

思考：（1）一個流感病毒經(jīng)復(fù)制后，形成多少個病毒？

（2）求流感病毒在體外的傳播速度.

設(shè)計意圖? 數(shù)學本就由生活實際事物抽象而來，以流感病毒這個常見的生活問題來創(chuàng)設(shè)情境，貼合學生的認知經(jīng)驗，容易吸引學生的注意力，同時也讓學生充分認識到病毒侵入人體的途徑、方法與復(fù)制情況，為提高生活知識儲備量奠定基礎(chǔ). 通過視頻展示數(shù)百萬個病毒的復(fù)制過程，讓學生直觀形象地感知生活與數(shù)學的關(guān)系，從而燃起對問題的探究欲望.

2. 問題探究（建構(gòu)模型1）

探究1：若某人患了流感，兩輪后合計感染了121人，求每輪傳染過程中，平均每人傳染了幾人.

問題1：此問中涉及哪些已知量與未知量？

追問：填寫表1，思考在這兩輪的病毒傳染過程中，數(shù)量具有怎樣的變化規(guī)律.

在學生完成表1后，引導(dǎo)學生對相關(guān)數(shù)據(jù)進行思考分析，并填寫表2. 第一次建模則在表格的分析與完善中完成.

問題2：觀察以上探究過程，思考傳染源、患者和被感染人群之間具有怎樣的等量關(guān)系.

結(jié)論：患者=傳染源+被感染人數(shù);第二輪患者人數(shù)為（1+x）2.

設(shè)計意圖? 當遇到認知之外的問題情境，且涉及多個數(shù)量時，引導(dǎo)學生用圖表的形式進行數(shù)據(jù)的整理與分析，這對抽象出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系具有直接促進作用. 而表格中的數(shù)據(jù)也能幫助學生感知從具體到一般的數(shù)學思想.

問題3：若病毒以這種速度繼續(xù)傳播，三輪后會有多少患者？

問題4：若每輪每個傳染源都傳染給了x人，那么當傳染源為1，2，3，…，a時，第3，4，5，…，n輪時的患病人數(shù)是多少（完成表3）？

[傳染源 第一輪患病總?cè)藬?shù) 第二輪患病總?cè)藬?shù) 第三輪患病總?cè)藬?shù) 第四輪患病總?cè)藬?shù) 第n輪患病總?cè)藬?shù) 1 2 3 … a ][表3]

總結(jié)：在第n輪時，被感染的總?cè)藬?shù)為a（1+x）n，a代表初始傳染源數(shù)量，x代表每輪每人傳播幾人，n為輪數(shù).

設(shè)計意圖? 學生對問題的分析與解決能力，應(yīng)從教材走向?qū)挿旱纳钪? 當學生經(jīng)初步探究后，筆者又帶領(lǐng)學生思考與之相關(guān)的衍生問題，啟發(fā)學生分析、探究第3，4，5，…，n輪被傳染的總?cè)藬?shù).

分析過程運用到不完全歸納法和分析法等方法，讓學生學會分別從n，a的變化維度去推理問題. 這讓學生對該探究活動產(chǎn)生了更為深刻的認識，在積累探究經(jīng)驗的同時獲得良好的數(shù)學思想方法，為后期的“數(shù)到式”“特殊到一般”的提煉奠定了基礎(chǔ).

3. 目標檢測（模型1的應(yīng)用）

問題1：若某種病毒在復(fù)制過程中，在確保自身穩(wěn)定的前提下，每半小時能繁衍出許多新的病毒. 若第一個病毒經(jīng)過一小時的復(fù)制，變成了1024個同樣的病毒，假設(shè)每個病毒每半小時的復(fù)制數(shù)量是x，由此可列出怎樣的方程？

問題2：已知剛開始有3人確定被流感病毒感染，經(jīng)過兩輪傳染后，發(fā)現(xiàn)一共有363人被流感病毒感染，假設(shè)每一輪傳染過程中，平均每人傳播給了x人，由此可列出怎樣的方程？

問題3：廣場舞領(lǐng)舞自編了一套舞蹈，在第一次課上，她教會了幾個同伴;第二次課上，已經(jīng)學會的阿姨與領(lǐng)舞又教會了其他阿姨，每人都教會了相同數(shù)量的阿姨，最后一共有36人學會了這套新動作，若第1次和第2次每人教會的人數(shù)均為x，則可列出怎樣的方程？

設(shè)計意圖? 準確地找出問題間的數(shù)量關(guān)系，是建模的核心思想. 此傳染病問題主要涉及傳染源、傳播輪數(shù)和傳播速度等量，學生在探究過程中自主建立了等量關(guān)系（即方程），使其進一步熟悉方程模型.

4. 問題探究（建構(gòu)模型2）

探究2：王老師在排練體操時，第一節(jié)課教會了幾名學生，第二節(jié)課由會做的同學教其他學生，每個會做的學生都教會了同等數(shù)量的學生，算上王老師當前共有31人學會了這套體操，求每次教會了多少名學生.

問題1：探究2中存在哪些等量關(guān)系？

問題2：本探究問題與以上目標檢測的第三題有什么區(qū)別嗎？其本質(zhì)是什么？

設(shè)計意圖? 探究2所蘊含的數(shù)量關(guān)系和探究1中的數(shù)量關(guān)系特別容易混淆，如此設(shè)計的目的就是引導(dǎo)學生學會觀察，主要是從類似的情境中，類比出傳染源在第二輪過程中有沒有參加傳播的關(guān)鍵點，由此會反映出不同的數(shù)量關(guān)系. 對于探究2，學生只有在正確審題后才能獲得準確的數(shù)量關(guān)系，以此培養(yǎng)自身規(guī)范、嚴謹?shù)膶忣}能力.

5. 目標檢測（模型2的應(yīng)用）

問題1：若一種樹木的主干能長出一定數(shù)量的枝干，而長成的每根枝干又可以長出相同數(shù)量的分支，已知主干、枝干、分支的總量為91，求每根枝干所長出的分支數(shù)量.

問題2：若某種病毒具有較快的傳播速度，若一個人被感染，兩輪傳播后則有81人被感染. 結(jié)合本節(jié)課所學內(nèi)容，分析每輪傳播每個人會傳給幾個人？若控制不力，經(jīng)三輪傳播后，被感染的人數(shù)會不會大于700？

設(shè)計意圖? 這兩道檢測題主要是為了讓學生辨析兩個模型的區(qū)別，并學會應(yīng)用所學模型來解決生活實際問題.

學生經(jīng)獨立思考與合作探究后，進一步熟悉了如何應(yīng)用“一元二次方程”來解決生活實際問題，并逐步形成規(guī)范的解題格式和步驟，為解題能力的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

6. 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學生再次回顧本堂課所研究的兩個傳播問題，通過總結(jié)、提煉，尋找出知識與知識間的聯(lián)系和區(qū)別. 經(jīng)總結(jié)，學生對于病毒傳播問題，提煉出兩個式子：①a（1+x）2，a（1+x）n;②1+x+x2，1+x+x2+…+xn. 在此基礎(chǔ)上，筆者要求學生思考以下幾個問題.

問題1：選擇用一元二次方程來解決生活實際問題時，需經(jīng)歷哪些過程？與用一元一次方程來解決問題有哪些異同點，有哪些地方值得注意？

問題2：通過以上探究活動的踐行，大家對此類傳播類問題中存在的數(shù)量關(guān)系有沒有新的感悟與體驗？

問題3：若我們自己在生活中，不小心得了某種具有傳染性的疾病，該采取怎樣的措施？

設(shè)計意圖? 正確的方法是解決問題的基本依托，這幾個問題的設(shè)計，主要是為了引導(dǎo)學生對本節(jié)課的探究活動進行一個回顧、總結(jié). 最后一個問題的提出是引導(dǎo)學生將目光從解決數(shù)學問題轉(zhuǎn)移到處理生活問題，為提高學生的生活能力夯實基礎(chǔ)，這也是塑造人格品質(zhì)與世界觀的過程.

教學反思

1. 科學選材，激發(fā)興趣

創(chuàng)設(shè)豐富的教學情境是如今廣大教育工作者信手拈來的課堂導(dǎo)入手法之一，而情境選擇卻對課堂的成敗有著直接影響. 本節(jié)課以流感病毒傳播作為情境的素材，與如今“新冠病毒”的存在相呼應(yīng). 雖然這是兩種病毒，但它們之間有著較高的相似性，以此作為情境素材，更契合當下的社會熱門問題，能引發(fā)學生心靈的共鳴.

一般在情境選材時，我們可從以下幾個角度加以思考：（1）源自教材. 教材是教學的根本，教材中的每個問題都是編者經(jīng)過精心挑選與慎重思考過的，更具代表性與嚴謹性. （2）貼近生活. 數(shù)學與生活一直有著密不可分的聯(lián)系，從生活中選取情境素材，更容易激發(fā)學生的探索欲，讓學生產(chǎn)生積極的情感傾向. （3）趣味性、層次性、探究性. 結(jié)合學生的認知發(fā)展規(guī)律，逐層遞進、趣味十足且充滿探究性的情境素材，往往能起到事半功倍的引導(dǎo)效果.

2. 問題引領(lǐng)，引發(fā)探究

建模是初中數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)之一，也是學生用來解決實際問題的核心手段. 感知模型的形成過程，能夯實學生的思維基礎(chǔ)，幫助學生熟練應(yīng)用模型，實現(xiàn)知識與生活實際應(yīng)用的有機融合[2]. 本節(jié)課，教師結(jié)合學生的認知結(jié)構(gòu)與教學內(nèi)容的實際特征，引導(dǎo)學生全程參與、分析、體驗、歸納建模過程，使得學生的思維得以螺旋式上升. 同時，以問題驅(qū)動的預(yù)設(shè)方式，使得學生在獨立思考、合作交流等環(huán)節(jié)，一直保持著積極的情感狀態(tài).

筆者在本節(jié)課的實踐中，充分體會到預(yù)設(shè)對動態(tài)生成的直接影響. 學生是課堂的主體，因此，教學任務(wù)的探究主體為學生，學生通過對問題的思考、分析自主建模，在問題的驅(qū)動下應(yīng)用相應(yīng)的模型. 這讓學生深刻感知了模型的建立與應(yīng)用都是在問題的引領(lǐng)下而形成的能力.

3. 抓關(guān)鍵點，自主建模

課堂教學過程中，在探究傳染源為2人，第二輪的被傳染人的總數(shù)量時，呈現(xiàn)出了一個建模的關(guān)鍵點：部分學生仍然以常規(guī)思維列式為：被感染總?cè)藬?shù)=傳染源+被傳染人數(shù)，由該式來分析第二輪的患病總?cè)藬?shù);同時也有個別學生認為，當首個傳染源為1人時，那么第二輪被感染的人數(shù)應(yīng)為（1+x）2，由此將2個傳染源分解為“1+1”的形式，獲得傳染源為2人時第二輪的被感染者數(shù)量為2（1+x）2. 這是一種縱向思考，與常規(guī)思維方式有所差別，這種分析方式對傳染源為3，4，…，a人，經(jīng)過第3，4，…，n輪的傳播后被感染者的數(shù)量的獲得，具有推波助瀾的作用. 教師在引導(dǎo)學生建模過程中，應(yīng)留有充足的時空給學生思考、表達，讓學生的思維隨著思考的深入而綻放光彩.

4. 善于小結(jié)，總結(jié)提煉

不論多么精心的設(shè)計，多么優(yōu)秀的教師，都很難在課堂中面面俱到，也不可能將每個知識點都剖析給學生. 小結(jié)，不僅是對課堂整體的回顧，還能發(fā)現(xiàn)教學中的不足，引發(fā)更多的思考與拓展. 同時，小結(jié)還具有承上啟下的功效，它可將知識的上下內(nèi)容聯(lián)系起來，讓學生對知識做到脈絡(luò)清晰. 本節(jié)課的教學核心是幫助學生建模，在小結(jié)時可針對建模過程與模型的應(yīng)用多加思考，主要內(nèi)容為：（1）建模過程中，應(yīng)緊扣的關(guān)鍵詞是什么？（2）主要數(shù)量關(guān)系是什么？

總之，在新課改日益深化的當下，初中數(shù)學建模雖不是一種常態(tài)化的教學內(nèi)容，但它確確實實改進了教學效果，讓學生的思維變得更加靈活，課堂變得更有生命力. 我們應(yīng)注重數(shù)學模型的研究與推廣，讓廣大師生積極參與到建模的研究中來，使得課堂更具生命力與活力.

參考文獻：

[1]孫翔宇. 上海市高中生數(shù)學建模能力的調(diào)查與分析[J]. 教育測量與評價，2016（06）：44-49.

[2]徐斌艷，LUDWIG Matthias. 中學生數(shù)學建模能力水平的實驗分析[J]. 中學數(shù)學月刊，2007（11）：1-2+30.