陳琦

[摘? 要] 培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). 基于教學(xué)實(shí)踐，文章提出初中生符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)的有效策略，即在表示基礎(chǔ)中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，在意義建構(gòu)中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，在語(yǔ)言互化中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

[關(guān)鍵詞] 符號(hào)意識(shí);建模;初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理、交流與表達(dá)的工具，因此，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). 何謂符號(hào)意識(shí)？符號(hào)意識(shí)是指理解并會(huì)運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)，表示數(shù)量關(guān)系，表示變化規(guī)律，會(huì)使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)行推理，從而得到一般性結(jié)論[1]. 建立符號(hào)意識(shí)，既有利于學(xué)生使用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，又有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考. 通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)處處有符號(hào)，那么，在初中階段，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)呢？下面是筆者的一些實(shí)踐與思考.

在表示基礎(chǔ)中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)

意識(shí)

在相反數(shù)、絕對(duì)值等知識(shí)中，教材一般是先用數(shù)的形式解釋它們的意義，然后進(jìn)行一般化處理，即用字母的形式表示相反數(shù)、絕對(duì)值等，它能為學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)式做鋪墊. 在教學(xué)中，教師要理解教材的編寫意圖，適時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

案例1“有理數(shù)的加法”教學(xué)節(jié)選.

師：如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，（1）小明先向西走5 m，再向西走3 m，那么小明最后在原點(diǎn)的什么方向多少米？用算式如何表示？（2）小明先向西走5 m，再向東走3 m，那么小明最后在原點(diǎn)的什么方向多少米？用算式如何表示？（3）小明先向東走5 m，再向西走5 m，那么小明最后在哪里？用算式如何表示？

生1：對(duì)于第（1）題，小明在原點(diǎn)的西邊8 m處，用算式表示為（-5）+（-3）= -8;對(duì)于第（2）題，小明在原點(diǎn)的西邊2 m處，用算式表示為（-5）+（+3）=-2;對(duì)于第（3）題，小明回到了原點(diǎn)，用算式表示為（+5）+（-5）=0.

師：如何用文字語(yǔ)言表述這些運(yùn)算呢？

生2：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，用它們的絕對(duì)值相加;絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值;互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加為0.

師：如果用a，b表示兩個(gè)加數(shù)，如何用含a，b的式子表示這些運(yùn)算呢？

生3：當(dāng)a<0，b<0時(shí)，a+b=-（a+b）;當(dāng)a<0，b>0，且a>b時(shí)，a+b= -（a-b）;當(dāng)a<0，b>0，且a=b時(shí)，a+b=0.

從特殊到一般是重要的數(shù)學(xué)思想，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 在教學(xué)中，教師首先要利用數(shù)的具體性讓學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)，然后將其抽象為用字母表示的一般性結(jié)論，這能促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的形成.

在意義建構(gòu)中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)

意識(shí)

數(shù)學(xué)符號(hào)比較多，如數(shù)量符號(hào)有π，a，b，c等;運(yùn)算符號(hào)有+，-，×，÷，等;關(guān)系符號(hào)有=，≠，≥，≤，∥，∽，⊥，≌等;省略符號(hào)有△，∵，∴，Σ等. 學(xué)生記住這些符號(hào)并不難，難就難在學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算與推理. 在幾何教學(xué)中，教師可以要求學(xué)生將幾何定義、定理中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等用符號(hào)語(yǔ)言表示，從而在合情推理與演繹推理中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

案例2? “全等三角形的判定”教學(xué)節(jié)選.

如圖1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，E是AB上一點(diǎn)，且AE=BC，連接DE，CE，∠1=∠2.

（1）求證：Rt△ADE≌Rt△BEC;

（2）△CDE是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

生1：對(duì)于第（1）題，∵∠1=∠2，∴ED=CE（等角對(duì)等邊）. ∵∠A=∠B=90°（已知），在Rt△ADE和Rt△BEC中，∵AE=BC，

ED=CE， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.

生2：對(duì)于第（2）題，△CDE是直角三角形，理由如下. ∵Rt△ADE≌Rt△BEC（已證），∴∠AED=∠BCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）. ∵∠B=90°，∴∠BCE+∠CEB=90°. ∴∠AED+∠CEB=90°. ∴∠DEC=180°-90°=90°（平角的定義）. ∴△CDE是直角三角形.

教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解常用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的意義和符號(hào)運(yùn)算的合理性，領(lǐng)會(huì)運(yùn)算過(guò)程中的數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算過(guò)程中或結(jié)果中所包含的數(shù)學(xué)結(jié)論，同時(shí)要求學(xué)生用符號(hào)進(jìn)一步規(guī)范推理過(guò)程，理解邏輯推理的合理性，從而培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

在語(yǔ)言互化中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

相對(duì)于自然語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言具有精確、簡(jiǎn)潔、通用的優(yōu)勢(shì)，但是符號(hào)語(yǔ)言比自然語(yǔ)言抽象[2]. 一部分學(xué)生因?yàn)榉?hào)語(yǔ)言的抽象而阻礙了思考的進(jìn)程. 在日常教學(xué)中，教師可以以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生在強(qiáng)化訓(xùn)練中學(xué)會(huì)抽象地思考，從而促進(jìn)學(xué)生形成符號(hào)意識(shí).

案例3暑假期間，力美體育運(yùn)動(dòng)中心針對(duì)學(xué)生推出了兩種打折優(yōu)惠方案：方案一，學(xué)生購(gòu)買一張暑期專享卡，費(fèi)用每次按六折計(jì)算;方案二，不購(gòu)買暑期專享卡，費(fèi)用每次按八折計(jì)算. 如果九年級(jí)的王海暑期健身x次，按照方案一需要支付費(fèi)用y元，按照方案二需要支付費(fèi)用y元，y，y與x的函數(shù)圖像如圖2所示.

（1）求y與x的函數(shù)解析式;

（2）計(jì)算打折前每次的費(fèi)用，并寫出y與x的函數(shù)解析式;

（3）王海計(jì)劃暑假期間去力美運(yùn)動(dòng)中心健身，應(yīng)選擇方案幾？

生1：對(duì)于第（1）題，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=kx+b. 觀察函數(shù)圖像可得直線y=kx+b經(jīng)過(guò)（0，30），（10，180）兩點(diǎn)，把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得b=30，

10k+b=180， 解得

k=15，

b=30， 所以y與x的函數(shù)解析式為y=15x+30.

生2：對(duì)于第（2）題，求打折前每次健身的費(fèi)用，需知道在解析式y(tǒng)=15x+30中，“15”與“30”的實(shí)際意義. 這里，“15”的意義就是購(gòu)買一張學(xué)生暑期專享卡后每次健身的費(fèi)用，“30”的意義就是購(gòu)買一張學(xué)生暑期專享卡的費(fèi)用. 因?yàn)橘?gòu)買一張學(xué)生暑期專享卡后，每次健身的費(fèi)用按六折優(yōu)惠，所以打折前每次健身的費(fèi)用為15÷0.6=25（元）. 因?yàn)椴毁I學(xué)生暑期專享卡，每次健身的費(fèi)用按八折優(yōu)惠，所以方案二中每次健身的費(fèi)用為25×0.8=20（元），所以y與x的函數(shù)解析式是y=20x.

生3：對(duì)于第（3）題，觀察函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，直線y=15x+30與y=20x有交點(diǎn)，交點(diǎn)之前，y>y;交點(diǎn)處，y=y;交點(diǎn)后，y

第（1）題要求學(xué)生通過(guò)觀察函數(shù)圖像，把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)槲淖终Z(yǔ)言，然后把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，按數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，從而得到結(jié)果;第（2）題要求學(xué)生通過(guò)分析題意，把解析式中的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為自然語(yǔ)言，然后把自然語(yǔ)言結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，得到第二個(gè)函數(shù)解析式;第（3）題要求學(xué)生通過(guò)觀察圖像，把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為自然語(yǔ)言，然后把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，即列方程得到方程的解后，再一次轉(zhuǎn)化成自然語(yǔ)言進(jìn)行回答. 不難發(fā)現(xiàn)，語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練，有利于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解，能達(dá)到靈活運(yùn)用的目的.

在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

學(xué)生是否形成了符號(hào)意識(shí)，檢驗(yàn)的重要方法就是在解決問(wèn)題時(shí)，能否引入符號(hào)表達(dá)、運(yùn)算、推理，或者對(duì)于新概念表示的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生能否完全理解.

案例4我們約定：若某函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”，其圖像上的這些點(diǎn)稱為“和諧點(diǎn)”. 如y=2x-1是“和諧函數(shù)”，其“和諧點(diǎn)”為（1，1）.

（1）有下列關(guān)于x的函數(shù)：①y=x-3;②y=-x+1;③y=x2-2x. 其中是“和諧函數(shù)”的有（?）

（2）已知“和諧函數(shù)”y=x2-（2m+1）x+（m-1）2（其中m>0），若A，B兩點(diǎn)是它的“和諧點(diǎn)”，8≤AB≤10，試求m的取值范圍.

師：對(duì)于第（1）題，當(dāng)x=y時(shí)，看方程是否有解. 如果有解，這個(gè)函數(shù)是“和諧函數(shù)”，否則不是.

生1：∵x=x-3無(wú)解，所以y=x-3不是“和諧函數(shù)”.

生2：當(dāng)x=-x+1時(shí)，解得x=，所以y=-x+1是“和諧函數(shù)”.

生3：當(dāng)x=x2-2x時(shí)，解得x=0或x=3，所以y=x2-2x 是“和諧函數(shù)”.

師：那第（2）題怎么做呢？

生4：因?yàn)閥=x2-（2m+1）x+（m-1）2是“和諧函數(shù)”，所以令x=x2-（2m+1）x+（m-1）2，整理后得x2-（2m+2）x+（m-1）2=0. 因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是“和諧函數(shù)”y=x2-（2m+1）x+（m-1）2的“和諧點(diǎn)”，于是設(shè)A（x1，x1），B（x2，x2），則Δ=[-（2m+2）]2-4×1×（m-1）2=16m>0，x1+x2=2m+2，x1·x2=（m-1）2. 所以AB==x1-x2=·=4. 因?yàn)?≤AB≤10，所以8≤4≤10，解得4≤m≤. 所以m的取值范圍是4≤m≤.

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用符號(hào)加以表示，同時(shí)體會(huì)引入符號(hào)的必要性，進(jìn)而在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，加深學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解.

總之，形成符號(hào)意識(shí)，學(xué)會(huì)使用符號(hào)語(yǔ)言，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 尤其是數(shù)學(xué)演繹推理，它離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言. 但需要注意的是，形成符號(hào)意識(shí)不能一蹴而就，需要教師做好長(zhǎng)期、耐心引導(dǎo)的準(zhǔn)備，并多角度地對(duì)符號(hào)進(jìn)行滲透與強(qiáng)化.

參考文獻(xiàn)：

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