方藝忠，韓 拓，胡慶雷

(1.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所試驗(yàn)物理與計(jì)算數(shù)學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100076；2.北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的作用在于有效利用導(dǎo)引頭量測(cè)信息以生成期望的制導(dǎo)指令，從而實(shí)現(xiàn)精確攔截/打擊目標(biāo)的任務(wù)。自從制導(dǎo)系統(tǒng)在導(dǎo)彈領(lǐng)域應(yīng)用以來(lái)，比例制導(dǎo)律由于具備較高的有效、簡(jiǎn)單、實(shí)用等特性，在近七十年得到了廣泛關(guān)注及迅速的發(fā)展與應(yīng)用。

制導(dǎo)律的核心設(shè)計(jì)思想在于零化視線角速率，以實(shí)現(xiàn)攔截目標(biāo)的最小脫靶量。關(guān)于制導(dǎo)律的早期研究/論述可追溯至20世紀(jì)50年代，例如，文獻(xiàn)[4]分析了雷達(dá)天線定位方法對(duì)比例制導(dǎo)的性能影響，文獻(xiàn)[5]對(duì)彈目運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了線性化并將二維比例制導(dǎo)擴(kuò)展為三維空間，同時(shí)給出了比例系數(shù)大于2時(shí)能夠產(chǎn)生有限加速度指令的結(jié)論。隨著更多制導(dǎo)律研究及應(yīng)用的開(kāi)展，一方面，比例制導(dǎo)進(jìn)一步得到了深入研究以實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)性能的提升。其中，文獻(xiàn)[6]針對(duì)正弦/波浪式機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截問(wèn)題，分析了比例制導(dǎo)的參數(shù)選取及脫靶量大小。文獻(xiàn)[7]針對(duì)目標(biāo)飛行速度大于攔截器速度的情況，研究了一種攔截高速目標(biāo)的逆比例制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[8]基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法對(duì)比例制導(dǎo)進(jìn)行了實(shí)時(shí)修正，以滿足最小脫靶量及飛行時(shí)間約束等要求。另一方面，除了對(duì)傳統(tǒng)比例制導(dǎo)的拓展及性能的提升，更多目光轉(zhuǎn)向了對(duì)新型制導(dǎo)律的研究。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)借助現(xiàn)代控制理論中的最優(yōu)控制方法、魯棒控制方法，以及人工智能等技術(shù)手段，從而提升制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性，以應(yīng)對(duì)導(dǎo)引頭量測(cè)不確定性、目標(biāo)機(jī)動(dòng)、外界干擾等帶來(lái)的擾動(dòng)。

在提升制導(dǎo)律魯棒性方面，文獻(xiàn)[9]將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度視為已知的有界擾動(dòng),考慮了導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性,設(shè)計(jì)了非線性三維變結(jié)構(gòu)魯棒末制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[10]基于零化彈目視線角速率的方法提出一種全局非線性末制導(dǎo)律，具有較強(qiáng)的魯棒性與適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[11]基于紅外和毫米波復(fù)合測(cè)量信息，采用滑動(dòng)模態(tài)控制方法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)非線性變結(jié)構(gòu)控制律。文獻(xiàn)[12]在考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)和攔截器狀態(tài)估計(jì)誤差的情況下，提出了漸近穩(wěn)定的增廣預(yù)測(cè)制導(dǎo)律，并對(duì)攔截器能量?jī)?yōu)化問(wèn)題給出了解決方案?？紤]到二階滑模的魯棒特性及有限時(shí)間收斂特性，文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了二階滑模末制導(dǎo)律來(lái)抑制系統(tǒng)中的不確定性。文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一種視線角速率收斂速度可調(diào)的跟蹤剖面，基于積分滑模面與快速趨近律設(shè)計(jì)了自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律。針對(duì)全捷聯(lián)導(dǎo)引頭探測(cè)器與彈體固連帶來(lái)的耦合問(wèn)題，文獻(xiàn)[15]基于干擾觀測(cè)器和動(dòng)態(tài)面控制提出一種制導(dǎo)控制一體化方法，以抑制目標(biāo)機(jī)動(dòng)和氣動(dòng)擾動(dòng)帶來(lái)的模型不確定。文獻(xiàn)[16]采用了修正的雙曲正切函數(shù)作為脫靶量等權(quán)重系數(shù)，基于極小值原理推導(dǎo)了三維最優(yōu)制導(dǎo)律的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[17]基于終端滑模面設(shè)計(jì)了視線方向及視線法向的雙層協(xié)同制導(dǎo)律，并進(jìn)一步得到了三維自適應(yīng)終端滑模協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了基于不同滑?？刂品椒ǖ闹茖?dǎo)律，并給出了制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性分析以及一系列的仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問(wèn)題分別基于一階滑模與二階滑模設(shè)計(jì)了二維與三維魯棒制導(dǎo)律?；邶R次系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和積分滑模控制理論，文獻(xiàn)[21]設(shè)計(jì)了視線法向方向上的制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)了多導(dǎo)彈攔截移動(dòng)目標(biāo)的任務(wù)。最近，基于人工智能設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的方法也得到了關(guān)注和研究。例如，文獻(xiàn)[22]針對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)部分失效的機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問(wèn)題，采用元學(xué)習(xí)方法，在線學(xué)習(xí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)部分失效及目標(biāo)機(jī)動(dòng)等不確定性，從而得到具有智能自適應(yīng)能力的三維制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[23]考慮制導(dǎo)精確性、能量消耗、攔截時(shí)間等組成反饋函數(shù)，設(shè)計(jì)了基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的智能制導(dǎo)律。

上述末制導(dǎo)律研究在提升制導(dǎo)系統(tǒng)魯棒性等方面做了很多具有理論與實(shí)際意義的貢獻(xiàn)，然而關(guān)于末制導(dǎo)律的研究還存在很多開(kāi)放性問(wèn)題。(1)傳統(tǒng)魯棒制導(dǎo)律(如滑模制導(dǎo)律)的制導(dǎo)增益需要大于目標(biāo)機(jī)動(dòng)、不確定性等帶來(lái)的擾動(dòng)上界，這意味著更大的擾動(dòng)需要更大的制導(dǎo)增益來(lái)保證視線角速率的穩(wěn)定性。然而，對(duì)于滑模制導(dǎo)律而言，較大的增益可能會(huì)導(dǎo)致抖振問(wèn)題或者制導(dǎo)指令的飽和問(wèn)題。(2)攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)及彈目相對(duì)距離逐漸縮小等因素，視線角速率往往會(huì)在碰撞點(diǎn)附近劇烈振蕩/發(fā)散，不滿足零化視線角速率的要求。同時(shí)，抑制視線角速率發(fā)散的有效途徑則需要更大的增益參數(shù)。(3)導(dǎo)引頭量測(cè)信息的獲取是制導(dǎo)律成功應(yīng)用的關(guān)鍵，然而實(shí)際中可能存在導(dǎo)引頭敏感元器件發(fā)生故障而導(dǎo)致的量測(cè)偏差。盡管傳統(tǒng)魯棒制導(dǎo)律在設(shè)計(jì)階段已經(jīng)考慮了將導(dǎo)引頭量測(cè)不確定性作為總擾動(dòng)去抑制/抵消，針對(duì)量測(cè)故障等制導(dǎo)狀態(tài)不確定性帶來(lái)的系統(tǒng)殘差及魯棒特性分析仍然較少。

基于上述三個(gè)問(wèn)題，需要研究一種在目標(biāo)機(jī)動(dòng)、導(dǎo)引頭量測(cè)故障下能夠保證系統(tǒng)魯棒特性并同時(shí)減小制導(dǎo)系統(tǒng)殘差的制導(dǎo)律，以避免設(shè)計(jì)制導(dǎo)增益較大的情況。增量式滑?？刂谱鳛橐环N提升系統(tǒng)魯棒性及降低系統(tǒng)殘差的有效方法，近年來(lái)發(fā)展迅速并得到成功應(yīng)用。文獻(xiàn)[26]研究了帶有角度約束的增量式制導(dǎo)律，但未給出制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)偏差下制導(dǎo)增益抗干擾能力的分析與校驗(yàn)。因此，本文針對(duì)攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的情況，考慮導(dǎo)引頭量測(cè)故障，設(shè)計(jì)一種增量式魯棒三維制導(dǎo)律，以實(shí)現(xiàn)零化視線角速率及最小脫靶量的任務(wù)需求，同時(shí)避免碰撞點(diǎn)附近的視線角速率劇烈振蕩/發(fā)散的情況。首先，基于三維彈目運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及視線角速率動(dòng)態(tài)方程，將制導(dǎo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為視線角速率控制問(wèn)題。其次，基于傳統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)逆設(shè)計(jì)滑模制導(dǎo)律，作為增量式制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)及參考。然后，基于增量式滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)增量式三維制導(dǎo)律。最后，給出導(dǎo)引頭量測(cè)故障及目標(biāo)機(jī)動(dòng)下兩種制導(dǎo)律帶來(lái)的系統(tǒng)殘差對(duì)比分析。理論分析和仿真結(jié)果表明，針對(duì)同一條件下的不確定性及目標(biāo)機(jī)動(dòng)，增量式制導(dǎo)律較傳統(tǒng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法所需增益較小，魯棒性更強(qiáng)。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型描述

圖1 三維末制導(dǎo)幾何示意圖Fig.1 Three-dimensional homing guidance geometry

根據(jù)圖1可知三維制導(dǎo)模型如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：,和,分別表示導(dǎo)彈與目標(biāo)在俯仰與偏航平面內(nèi)速度矢量的法向加速度。

導(dǎo)彈的前置角滿足條件||≠π2,||≠π2。

2 增量式三維制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了增強(qiáng)制導(dǎo)系統(tǒng)在不確定性、干擾、導(dǎo)引頭故障等量測(cè)誤差情況下的魯棒性，本文考慮應(yīng)用增量式滑?？刂品椒▉?lái)控制視線角速率，從而設(shè)計(jì)具有魯棒增強(qiáng)特性的增量式三維制導(dǎo)律。首先，基于視線角動(dòng)力學(xué)方程和輔助變量設(shè)計(jì)非線性動(dòng)態(tài)逆三維制導(dǎo)律；其次，基于該輔助變量和增量式非線性動(dòng)態(tài)逆進(jìn)一步設(shè)計(jì)增量式三維制導(dǎo)律。

2.1 視線角動(dòng)力學(xué)模型

基于前述制導(dǎo)模型，可以得到視線角動(dòng)力學(xué)模型如下：

(8)

其中，

為包含未知目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性的外界擾動(dòng)。

2.2 非線性動(dòng)態(tài)逆三維制導(dǎo)律

為了實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)，需要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律以實(shí)現(xiàn)零化視線角速率。因此，可以直接基于式(8)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。具體來(lái)說(shuō)，采用如下輔助變量：

=r

(9)

當(dāng)=r→時(shí)，則有→0或→，從而滿足了攔截目標(biāo)的制導(dǎo)要求。

輔助變量包含的相對(duì)距離與視線角速率均由導(dǎo)引頭可測(cè)量/可估計(jì)。

對(duì)式(9)求導(dǎo)可得

(10)

將式(8)中的第二個(gè)方程代入式(10)，可以得到

(11)

將式(11)重寫(xiě)為如下形式

(12)

其中,

基于式(12)可設(shè)計(jì)非線性動(dòng)態(tài)逆三維制導(dǎo)律(記為)如下：

(13)

(14)

將式(13)代入式(12)可得

(15)

結(jié)合式(14)和式(15)可知

(16)

2.3 增量式非線性動(dòng)態(tài)逆三維制導(dǎo)律

從上述制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過(guò)程可知，制導(dǎo)系統(tǒng)的抗干擾能力是基于制導(dǎo)參數(shù)>的條件來(lái)保證的。顯然，對(duì)于較大的，則需要更高的增益。然而，引入較高的增益會(huì)導(dǎo)致制導(dǎo)指令出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。解決此問(wèn)題的有效途徑是通過(guò)充分挖掘制導(dǎo)信息，從而減小制導(dǎo)系統(tǒng)的外界擾動(dòng)，進(jìn)一步降低可需增益。增量式非線性動(dòng)態(tài)逆滑?？刂品椒ㄊ翘幚碓擃悊?wèn)題的一種有效手段，本文基于此方法設(shè)計(jì)增量式三維制導(dǎo)律。

首先，將式(12)改寫(xiě)為

(17)

針對(duì)式(17)在最近一步采樣時(shí)刻=-Δ(為當(dāng)前飛行時(shí)刻，Δ為采樣步長(zhǎng))處，求其一階泰勒展開(kāi)式如下：

(18)

(19)

基于式(18)可以設(shè)計(jì)增量式制導(dǎo)律(記為Δ)形式為

(20)

其中，>0為需要設(shè)計(jì)的制導(dǎo)參數(shù)。

基于式(20)可給出增量式制導(dǎo)律的完整形式(記為)為

=+Δ

(21)

將式(20)代入式(18)可得

(22)

將式(22)代入式(14)可得

(23)

3 導(dǎo)引頭量測(cè)故障下的制導(dǎo)律魯棒性分析

為了進(jìn)一步分析對(duì)比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法下的制導(dǎo)律(13)與增量式制導(dǎo)律(20)的魯棒性，本節(jié)除了考慮前述目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶來(lái)的擾動(dòng)之外，還考慮了導(dǎo)引頭量測(cè)故障下導(dǎo)致的制導(dǎo)信息偏差，以及增量式制導(dǎo)律估計(jì)視線角加速度帶來(lái)的誤差項(xiàng)。關(guān)于導(dǎo)引頭故障，本文主要考慮相對(duì)距離、相對(duì)速度、視線角、前置角等量測(cè)故障，具體如下：

(24)

(25)

將式(24)代入式(12)得到

(26)

將式(25)代入式(18)得到

(27)

其中，與分別為系統(tǒng)殘差并具有如下形式：

(28)

(29)

因此，可以得到如下不等式：

(30)

(31)

根據(jù)上述分析可知，增量式制導(dǎo)律在目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶來(lái)的擾動(dòng)以及導(dǎo)引頭量測(cè)故障導(dǎo)致的制導(dǎo)信息偏差下，所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)殘差小于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所造成的系統(tǒng)殘差。兩種制導(dǎo)律采用了同樣的干擾抑制策略，因此增量式制導(dǎo)律(20)的所需制導(dǎo)增益小于傳統(tǒng)制導(dǎo)律(13)的所需制導(dǎo)增益，與注4中單獨(dú)考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)的分析結(jié)果相同，即：<。

4 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的魯棒性及有效性，本節(jié)給出數(shù)值仿真校驗(yàn)的相關(guān)內(nèi)容。首先，選取導(dǎo)彈初始位置為(0,0,0)=(0,0,10)km，目標(biāo)初始位置為( 0, 0, 0)=(10,10,0)km。導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始彈道傾角分別設(shè)置為0=?0=30°和 0=? 0=0°。導(dǎo)彈與目標(biāo)的初始速度分別為500 m/s和200 m/s。導(dǎo)彈速度受到阻力、推力、重力等實(shí)際模型的變化而變化?？紤]到初始視線角加速度估計(jì)可能存在偏差較大的情況,會(huì)帶來(lái)初始過(guò)載飽和問(wèn)題，因此，在初始50 ms采用比例制導(dǎo)，之后應(yīng)用所設(shè)計(jì)的增量式制導(dǎo)律。導(dǎo)彈加速度,的限制為100 m/s。關(guān)于制導(dǎo)參數(shù)，若沒(méi)有特別指出，則均按照如下參數(shù)選?。簜鹘y(tǒng)制導(dǎo)律(13)：=15；增量式制導(dǎo)律(20)：=15。此外，增量式制導(dǎo)律所采用微分器的具體參數(shù)選取為=07,=50,=4000，仿真停止條件為脫靶量小于1 m或?qū)楀e(cuò)失目標(biāo)。

4.1 標(biāo)稱情況下仿真校驗(yàn)結(jié)果

圖2 標(biāo)稱情況下攔截軌跡Fig.2 Interception trajectories in normal conditions

圖3 標(biāo)稱情況下制導(dǎo)指令特性Fig.3 Guidance commands in normal conditions

圖4 標(biāo)稱情況下視線角速率變化特性Fig.4 Line-of-sight rate variation in normal conditions

為了進(jìn)一步對(duì)比兩種制導(dǎo)律的魯棒性，分別驗(yàn)證了兩種制導(dǎo)律攔截更大機(jī)動(dòng)能力目標(biāo)的情況，即選取更大的，相關(guān)結(jié)果見(jiàn)表1?？梢钥闯?，增量式制導(dǎo)律針對(duì)=30和=40均可成功攔截，且不需要調(diào)節(jié)制導(dǎo)增益。相反，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思路的制導(dǎo)律在攔截更高機(jī)動(dòng)能力的目標(biāo)時(shí)，需要更大的制導(dǎo)增益。

表1 針對(duì)不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)的有效制導(dǎo)增益Table 1 Effective guidance gains for various target maneuvers

4.2 導(dǎo)引頭量測(cè)故障下仿真校驗(yàn)結(jié)果

需要指出，兩種方法在兩種故障下均實(shí)現(xiàn)了脫靶量小于1 m的要求。圖5和圖6分別給出了兩種制導(dǎo)律在不同故障下的縱向和側(cè)向制導(dǎo)指令變化趨勢(shì)?？梢钥闯?，在考慮±30%常值量測(cè)故障的情況下，增量式制導(dǎo)律避免了傳統(tǒng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法的制導(dǎo)指令發(fā)散情況。此外，考慮量測(cè)故障系數(shù)為±30%以內(nèi)平均分布的隨機(jī)故障，給出制導(dǎo)指令如圖7所示。可以看出，針對(duì)隨機(jī)量測(cè)故障，增量式制導(dǎo)律所產(chǎn)生的制導(dǎo)指令較傳統(tǒng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法的指令具有更小的噪聲波動(dòng)。

圖5 常值導(dǎo)引頭故障下的縱向指令Fig.5 Longitudinal commands under constant seeker faults

圖6 常值導(dǎo)引頭故障下的側(cè)向指令Fig.6 Lateral commands under constant seeker faults

圖7 隨機(jī)導(dǎo)引頭量測(cè)故障下的制導(dǎo)指令Fig.7 Guidance commands under random seeker faults

為了進(jìn)一步對(duì)比兩種制導(dǎo)律對(duì)導(dǎo)引頭量測(cè)故障的魯棒性和容忍度，分別驗(yàn)證了兩種制導(dǎo)律攔截更大導(dǎo)引頭常值量測(cè)故障的情況，相關(guān)結(jié)果見(jiàn)表2和表3。通過(guò)表2可以看出，在量測(cè)故障為負(fù)偏離的情況下，增量式制導(dǎo)律針對(duì)-90%以內(nèi)的故障均可實(shí)現(xiàn)成功攔截，且不需要調(diào)節(jié)制導(dǎo)增益。然而，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思路的制導(dǎo)律在攔截更大導(dǎo)引頭量測(cè)故障時(shí)，需要調(diào)節(jié)更大的制導(dǎo)增益。通過(guò)表3可以看出，在量測(cè)故障為正偏離的情況下，增量式制導(dǎo)律針對(duì)60%～90%的故障調(diào)節(jié)制導(dǎo)增益則可實(shí)現(xiàn)成功攔截。然而，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思路的制導(dǎo)律在攔截更大的導(dǎo)引頭正偏離量測(cè)故障時(shí)，調(diào)節(jié)更大的制導(dǎo)增益也不能實(shí)現(xiàn)成功攔截的任務(wù)。

表2 負(fù)偏離導(dǎo)引頭故障下的制導(dǎo)增益Table 2 Guidance gains for seeker faults (negative deviation)

表3 正偏離導(dǎo)引頭故障下的制導(dǎo)增益Table 3 Guidance gains for seeker faults (positive deviation)

4.3 初始偏差與隨機(jī)故障下的蒙特卡洛仿真結(jié)果

圖8 蒙特卡洛打靶的UI攔截軌跡Fig.8 Monte Carlo interception trajectories under UI

圖9 UI制導(dǎo)律的脫靶量分布Fig.9 Miss distance distribution under UI

圖10 UN制導(dǎo)律的脫靶量分布Fig.10 Miss distance distribution under UN

5 結(jié) 論

為了增強(qiáng)制導(dǎo)系統(tǒng)在目標(biāo)機(jī)動(dòng)、導(dǎo)引頭故障等量測(cè)誤差情況下的魯棒性，本文設(shè)計(jì)了增量式三維制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)了對(duì)視線角速率的零化控制，避免了碰撞點(diǎn)附近視線角速率的劇烈振蕩/嚴(yán)重發(fā)散。所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律充分挖掘了視線角加速度的估計(jì)信息，利用了上一采樣時(shí)刻的制導(dǎo)指令，從而所產(chǎn)生的系統(tǒng)殘差較小，僅需要較小的制導(dǎo)增益即可實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)的魯棒特性。理論分析與仿真結(jié)果均表明，增量式三維制導(dǎo)律具有較好的魯棒特性，可以容忍更大范圍的量測(cè)故障及更強(qiáng)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)。