譚小東，楊少波，楊金才，余 波，李鳳琴，郝 濤，艾曉玉，冉紹伯，李 捷

（1.重慶長安汽車股份有限公司汽車研究總院 重慶，400020）

（2.汽車噪聲振動和安全技術(shù)國家重點實驗室 重慶，400020）

引言

發(fā)動機(jī)曲軸的扭振會使曲軸產(chǎn)生附加應(yīng)力，在共振轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)引起較大噪聲，影響到發(fā)動機(jī)的NVH 性能與曲軸和輪系附件的疲勞耐久性。對P0混動架構(gòu)而言，曲軸前端較大的扭振會調(diào)制電機(jī)產(chǎn)生邊頻階次噪聲，也關(guān)乎電機(jī)的運行效率與使用壽命。隨著發(fā)動機(jī)朝大功率高轉(zhuǎn)速邁進(jìn)與P0 混動技術(shù)的蓬勃發(fā)展，曲軸的扭振控制技術(shù)受到了工程技術(shù)人員越來越多的關(guān)注。

在曲軸前端安裝TVD 是抑制曲軸扭轉(zhuǎn)共振最常用的方法，目前已有大量學(xué)者對安裝在發(fā)動機(jī)曲軸上TVD 的優(yōu)化匹配問題進(jìn)行了比較深入的研究［1-5］。TVD 的參數(shù)設(shè)計方法有多種，由于其原理與動力吸振器（dynamic vibration absorber，簡稱DVA）和調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned mass damper，簡稱TMD）相同，故在設(shè)計時可以參照DVA 和TMD 的研究方法。在與多自由度主振系統(tǒng)相匹配的減振器參數(shù)優(yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)的選擇有多種形式，大致可分為：極小化其中一個自由度的共振峰值或最大加速度［6-7］；極小化所有自由度共振峰值的加權(quán)或平方和［8-9］；極小化某兩個自由度之間的最大傳遞率［10-11］；極小化主振系統(tǒng)的最大功率流［12-13］。

針對曲軸TVD 的參數(shù)優(yōu)化，最簡單與常見的方法為模態(tài)慣量法，即將曲軸多自由度系統(tǒng)在前端等效成一個單自由度系統(tǒng)，再利用最優(yōu)同調(diào)公式計算出TVD 的參數(shù)［14］。這種方法的核心思想是通過在等效后的單自由度主振系上附加一個質(zhì)量（慣量）系統(tǒng)，將原系統(tǒng)的一個共振峰分成兩個較低且等高（最優(yōu)同調(diào)）的共振峰。該方法雖然簡單快捷，但存在以下幾種因素，導(dǎo)致使用該方法優(yōu)化的TVD 僅在等效后的單自由度主振系統(tǒng)中最優(yōu)同調(diào)，而在實際的曲軸多自由度系統(tǒng)中并不同調(diào)：①Den Hartog 的最優(yōu)同調(diào)公式是基于無阻尼主振系推導(dǎo)得到的，而實際的多自由度主振系是存在阻尼的；②當(dāng)前TVD 的橡膠所能提供的最大阻尼值無法達(dá)到用Den Hartog最優(yōu)同調(diào)公式計算出的最優(yōu)阻尼值；③Den Hartog在推導(dǎo)最優(yōu)同調(diào)公式時假定激勵力（力矩）的幅值是固定不變的，但發(fā)動機(jī)輸出的各階次交變力矩幅值是隨轉(zhuǎn)速變化的。

當(dāng)前針對TVD，DVA 與TMD 的所有參數(shù)設(shè)計方法研究大多是圍繞優(yōu)化系統(tǒng)能量、位移、速度、加速度、傳遞率及功率等目標(biāo)展開，目標(biāo)函數(shù)大多是將最大目標(biāo)值最小化，其結(jié)果均是將原系統(tǒng)的一個高峰分成兩個等高度的低峰。以上方法均能設(shè)計出具有一定減振效果的TVD，但在實際的工程應(yīng)用中，通常希望將曲軸與TVD 耦合后較低的共振峰留在常規(guī)轉(zhuǎn)速區(qū)間，將較高的共振峰推向發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速較少到達(dá)的高轉(zhuǎn)速區(qū)間，而最優(yōu)同調(diào)設(shè)計是得到兩個相等高度的共振峰，顯然無法實現(xiàn)這一愿望。此外，發(fā)動機(jī)前端的響應(yīng)由各個階次的響應(yīng)疊加后得到，多個階次的激勵均會激發(fā)起曲軸系統(tǒng)共振，而最優(yōu)同調(diào)公式只是在一個階次激勵下推導(dǎo)得到，故無法有效調(diào)整曲軸前端Overall 峰值高低。因此，對TVD 的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計時若直接應(yīng)用Den Hartog 的最優(yōu)同調(diào)理論明顯存在不足之處，無法實現(xiàn)TVD與曲軸的合理匹配。

筆者以某款發(fā)動機(jī)的曲軸為扭振模型，通過對Den Hartog 的最優(yōu)同調(diào)理論進(jìn)行研究推廣，以安裝TVD 后曲軸Hub 端在全轉(zhuǎn)速段的Overall 角加速度曲線與理想直線的最大相對誤差最小化為目標(biāo)函數(shù)，提出了一種能夠更好實現(xiàn)TVD 與曲軸合理匹配的新方法。試驗測試結(jié)果表明，用本方法設(shè)計出的TVD 能夠更好地控制發(fā)動機(jī)的前端扭振與加速噪聲。

1 Den Hartog 最優(yōu)同調(diào)理論簡介

在圖1 所示的二自由度扭振系統(tǒng)中：Jeq為主振系統(tǒng)的慣量；Keq為主振系的剛度；Jtvd為TVD的慣量；Ktvd為TVD 的剛度；Ctvd為TVD 的阻尼系數(shù)；TA為激勵力矩幅值；ω為激勵頻率；t為時間。

圖1 TVD 與單自由度無阻尼系統(tǒng)匹配模型Fig.1 TVD and an undamped single degree of freedom system

主振系統(tǒng)與TVD 的角位移分別用θ1和θ2表示，則系統(tǒng)的振動方程為

求得主振系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的振幅為

為便于理論分析，引入下列無量綱符號，如表1所示。

表1 參數(shù)符號及物理意義Tab.1 Definitions of the different parameter symbols

主振系統(tǒng)的振幅與靜變形之比（振幅比）可以表示為

當(dāng)主振系振幅曲線中的兩個峰值同時降至最低時，TVD 處于最優(yōu)同調(diào)狀態(tài)。利用定點定理可以求得最優(yōu)同調(diào)狀態(tài)下TVD 的頻率與阻尼計算公式。

當(dāng)TVD 的剛度與慣量不變時，無論TVD 的阻尼系數(shù)如何變化，無阻尼主振系的頻響曲線均通過兩個定點。定點P與Q可以通過在式（3）中分別令ξ=0 與ξ=∞使兩條曲線相交得到，如圖2 所示。

圖2 定點P 和Q 的定義Fig.2 Definition of fixed points of P and Q

當(dāng)ζ=0 時，主振系振幅比的平方為

當(dāng)ζ=∞時，主振系振幅比的平方為

聯(lián)立式（4）與式（5），可得P和Q兩點所在的方程，利用等比定理可得

將式（6）兩邊同時開方可得

故無論ζ如何變化，P和Q兩點均在無阻尼主振系的振幅曲線上，此為定點定理。當(dāng)這兩個定點等高且恰好分別處于兩個共振峰頂點時，TVD 具有最好的減振效果。

將式（4）與式（5）聯(lián)立可得

根據(jù)韋達(dá)定理，P和Q兩點滿足函數(shù)關(guān)系

當(dāng)P和Q兩點等高時，由于這兩點都在ζ=∞的振幅比曲線上，由式（5）可以得到

將式（9）與式（11）聯(lián)立，可得兩定點等高時的頻率比為

將式（12）代入式（8）中可以求得P和Q兩點的頻率比gP與gQ，在式（3）中通過調(diào)整TVD 的阻尼系數(shù)讓振幅倍率曲線在通過P和Q兩點時導(dǎo)數(shù)近似為0，以此確保P和Q兩點恰好處于振幅倍率曲線的峰值位置。通過計算，最后得到TVD 的最優(yōu)阻尼比［14］為

2 失調(diào)與過調(diào)理論

在實際工程應(yīng)用中，針對某些特殊情況需要對最優(yōu)同調(diào)理論加以推廣。如當(dāng)主振系統(tǒng)的原固有頻率靠近激勵頻率的上限時，由于激勵頻率激發(fā)起安裝TVD 后左側(cè)峰值的概率遠(yuǎn)大于右側(cè)，此時可以通過調(diào)整TVD 的參數(shù)使左側(cè)峰值低于右側(cè)峰值，即采用失調(diào)設(shè)計。

利用定點定理，可以推導(dǎo)出失調(diào)與過調(diào)理論，詳細(xì)證明過程如下。

令左側(cè)定點P低于右側(cè)定點Q，式（10）變?yōu)?/p>

將式（15）與式（9）聯(lián)立得

同理可得，若左側(cè)定點P高于右側(cè)定點Q，需滿足

在保持TVD 慣量與阻尼系數(shù)不變的情況下，降低TVD 頻率，使主振系統(tǒng)左側(cè)峰值降低，右側(cè)峰值升高，稱為失調(diào)；反之，增大TVD 頻率，使主振系統(tǒng)左側(cè)峰值升高，右側(cè)峰值降低，稱為過調(diào)。

在圖3 所示的模型中，令μ=0.3。當(dāng)主振系統(tǒng)的固有頻率靠近激勵頻率的下邊界時，可以采用過調(diào)設(shè)計使左側(cè)峰值略高于右側(cè)峰值，將TVD 的頻率調(diào)整至同調(diào)頻率的1.1 倍，此時主振系統(tǒng)的振幅倍率曲線如圖4（a）所示。當(dāng)主振系統(tǒng)的固有頻率靠近激勵頻率的上邊界時，可以采用失調(diào)設(shè)計使左側(cè)峰值略低于右側(cè)峰值，將TVD 的頻率調(diào)整至同調(diào)頻率的0.9 倍，此時主振系統(tǒng)的振幅倍率曲線如圖4（b）所示。通過以上計算可知，在工程上可以根據(jù)實際情況，通過調(diào)整TVD 的頻率來改變主振系統(tǒng)的左右峰值。

圖3 TVD 與單自由度阻尼系統(tǒng)匹配模型Fig.3 TVD and a damped single degree of freedom system

圖4 主振系的固有頻率靠近激勵頻率邊界時的TVD參數(shù)優(yōu)化Fig.4 TVD parameters optimization for the conditions that the natural frequencies of the primary system close to boundaries of excitation frequency

3 TVD 參數(shù)優(yōu)化分析

3.1 曲軸扭振模型的建立

筆者采用集中質(zhì)量法建立曲軸扭振模型。根據(jù)簡化原理及等效計算方法［15］，建立包含7 個自由度的扭振模型，如圖5 所示。扭振模型中各個自由度所代表的零部件名稱如表2 所示。

表2 扭振模型各自由度含義Tab.2 Definitions of the different degree of freedom in the torsional vibration model

圖5 發(fā)動機(jī)曲軸扭振模型Fig.5 Torsional vibration model of the crankshaft

曲軸扭振方程為

其中：J，C，K分別為7×7 階的轉(zhuǎn)動慣量矩陣、扭轉(zhuǎn)阻尼矩陣和扭轉(zhuǎn)剛度矩陣；分別為7 維的扭振角位移、扭振角速度、扭振角加速度的列向量；T為激勵力矩列向量。

以發(fā)動機(jī)全油門（wide open throttle，簡稱WOT）加速工況為例，在不同轉(zhuǎn)速下氣缸的缸壓不同，輸出力矩亦不同，故需將多個轉(zhuǎn)速下的缸壓作為仿真時的輸入，從1～5.3 kr/min，約每隔250 r/min取1 組缸壓，每個轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的角速度記為ωi，i=1，2，…，18。以某一角速度ωi為例，將各個氣缸的輸出力矩通過傅里葉級數(shù)展開得到各諧次激勵力矩，考慮到氣缸點火順序為1—3—4—2，各氣缸的輸出力矩可以表示為

其中：A0i為單個氣缸輸出的平均力矩；Ani為各諧次力矩的幅值；φni為第1 個氣缸中各諧次力矩的相位；n=0.5，1，1.5，…。

故在角速度ωi下的激勵力矩列向量為Tωi=。對每一個轉(zhuǎn)速下的氣缸輸出力矩均完成上述計算，作為不同轉(zhuǎn)速下的激勵，有T=[Tω1，Tω2，…，Tω18]。

3.2 自由振動分析及單自由度系統(tǒng)的等效

對扭振系統(tǒng)進(jìn)行固有特性分析，通常用無阻尼自由振動模型來簡化計算，即

求解特征方程得到第1 階固有頻率ωn為423 Hz，所對應(yīng)的振型如圖6 所示。可以看出，當(dāng)這一階模態(tài)發(fā)生共振時曲軸前端的振動較劇烈，從前往后振動逐漸減小，在后端飛輪處振動降到最低。

圖6 曲軸扭振第1 階模態(tài)振型Fig.6 First order mode shape of the torsional vibration model of the crankshaft

在多自由度振動系統(tǒng)中，TVD 應(yīng)當(dāng)安裝在共振時振幅最大的自由度上以吸收盡可能多的能量。由圖6 可知，TVD 應(yīng)當(dāng)安裝在曲軸前端，即第1 個自由度上。在第1 階模態(tài)上，曲軸在第1 個自由度處的模態(tài)慣量為

其中：[y1…yj…y7]T為振型。

模態(tài)剛度Keq可以由下式求出

3.3 TVD 同調(diào)參數(shù)計算

TVD 與曲軸耦合后的力學(xué)模型如圖7 所示。

圖7 TVD 安裝在曲軸上的力學(xué)模型Fig.7 Torsional vibration model of the crankshaft equipped with a TVD

振動方程為

由式（24）計算得到Jeq=0.010 3 kg·m2，通常慣量比μ取0.3，具體原因如下。

在圖1 所示的二自由度系統(tǒng)中，當(dāng)TVD 處于最優(yōu)同調(diào)狀態(tài)時，主振系振幅比的峰值為，與慣量比μ的關(guān)系曲線如圖8 所示。

圖8 TVD 最優(yōu)同調(diào)時主振系的最大振幅比與μ 的關(guān)系曲線Fig.8 Relation of the largest vibration amplitude ratio of a primary system and μ with an optimally tuned TVD

由圖8 可以看出，若μ在0.4 的基礎(chǔ)上增大，主振系的最大振幅比降幅不大；若μ在0.2 的基礎(chǔ)上減小，最大振幅比增幅較大。在工程上需綜合考慮減振效果、輕量化設(shè)計與可實施性等因素，故μ通常取0.3 左右。本研究所述三元乙丙（ethylene propylene diene monomer，簡稱EPDM）橡膠TVD 無法提供最優(yōu)同調(diào)時所需的阻尼比，需要更大的TVD 慣量才能達(dá)到最優(yōu)同調(diào)時的效果，但考慮到曲軸的輕量化設(shè)計與工程上的可實施性，μ仍然取0.3。

在對曲軸的TVD 進(jìn)行參數(shù)設(shè)計時，常以曲軸前端的角加速度作為評價TVD 減振性能的標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于主振系統(tǒng)加速度同調(diào)的TVD 參數(shù)計算公式［14］為

由式（31）與式（32）計算得到ωtvd為371 Hz，ζ為0.27。在工程上不同橡膠TVD 的阻尼比不同，如EPDM 橡膠TVD 的阻尼比在0.06 左右，具體數(shù)值可由試驗測試結(jié)果反推得到。

當(dāng)使用EPDM 橡膠TVD 時，曲軸前端（TVD的Hub 端）的各階次角加速度與Overall 角加速度如圖9 所示。可以看出，4 階激勵激發(fā)起的TVD 與曲軸耦合系統(tǒng)的第1 階模態(tài)共振在Overall 曲線中貢獻(xiàn)較大，Overall 曲線線性度較差，需對TVD 進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。根據(jù)本研究所提理論，應(yīng)適當(dāng)降低TVD頻率使其進(jìn)一步失調(diào)，即降低各階次激勵激發(fā)的第1 階模態(tài)共振峰，提升第2 階模態(tài)共振峰，使Overall曲線隨轉(zhuǎn)速呈近似線性增長。

圖9 曲軸Hub 端各階次及Overall 角加速度曲線Fig.9 Angular acceleration responses for each order and Overall levels of the Hub

3.4 TVD 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

設(shè)TVD 的頻率調(diào)整因子為β，則實際頻率為初始值371 Hz 乘以β。以β為優(yōu)化變量，以安裝TVD后曲軸Hub 端的Overall 角加速度曲線與理想直線的最大相對誤差最小化為目標(biāo)函數(shù)。優(yōu)化模型為

其中：F（β）為Overall 角加速度曲線與理想直線相對誤差的最大值；x（ω）為Hub 端Overall 角加速度頻率響應(yīng)；Xn（n=2，4，…，10）為各階次角加速度頻率響應(yīng)；φn（n=2，4，…，10）為各階次角加速度相位角；L（ω）為1 kr/min 與5.3 kr/min 兩個邊界轉(zhuǎn)速（頻率）對應(yīng)的角加速度連成的線性函數(shù)；δ（ω）為Overall 角加速度曲線與理想直線的相對誤差；ω為角速度。

調(diào)用Matlab 軟件中的fmincon 優(yōu)化求解器，通過優(yōu)化得到β為0.81，優(yōu)化后TVD 的Hub 端Overall角加速度與優(yōu)化之前對比如圖10 所示?？梢钥闯觯瑑?yōu)化后各階次激勵激發(fā)起的第1 階共振峰明顯降低，從整體來看線性度更好，有“削峰填谷”之效，故可以認(rèn)為優(yōu)化是合理的。

圖10 TVD 優(yōu)化前后的Hub 端Overall 角加速度曲線對比Fig.10 Comparison of the Overall angular acceleration responses of the Hub prior to and after optimization

4 試驗測試

4.1 TVD 頻率對NVH 性能影響測試

為了研究優(yōu)化前后兩個TVD 對扭振與噪聲的影響，驗證本優(yōu)化方法的正確性，在半消聲室內(nèi)發(fā)動機(jī)臺架上對曲軸Hub 端進(jìn)行扭振測試，在發(fā)動機(jī)進(jìn)氣側(cè)、排氣側(cè)、前端輪系側(cè)與頂部距離發(fā)動機(jī)1 m 位置處布置麥克風(fēng)測試聲壓級。Hub 端扭振傳感器布置如圖11 所示，麥克風(fēng)布置如圖12 所示。

圖11 Hub 端扭振測試Fig.11 Testing of the torsional vibration responses of Hub

圖12 發(fā)動機(jī)1 m 聲壓級測試Fig.12 Testing of the 1 meter sound pressure level of engine

TVD 優(yōu)化前后的Hub 端扭振實測結(jié)果對比如圖13 所示，可以看出4，6，8，10 階激勵激發(fā)的TVD與曲軸耦合后的第1 階共振峰出現(xiàn)大幅度降低，TVD 優(yōu)化后減振效果明顯提升。1 m 平均聲壓級測試結(jié)果對比如圖14 所示，優(yōu)化前1 m 平均聲級在1 800，2 350，3 150，4 500 r/min 附近超標(biāo)，這些聲壓級峰值與扭振峰值相對應(yīng)，TVD 經(jīng)過優(yōu)化后這些峰值全部降至目標(biāo)線以下。

圖13 TVD 優(yōu)化前后Hub 端Overall扭振響應(yīng)測試結(jié)果對比Fig.13 Comparison of the testing results of the torsional vibration Overall responses of Hub prior to and after optimization

圖14 TVD 優(yōu)化前后1 m 平均聲壓級測試結(jié)果對比Fig.14 Comparison of the testing results of the 1 meter average sound pressure level prior to and after optimization

4.2 TVD 阻尼比的測試方法

在發(fā)動機(jī)臺架測試時，分別測試Ring 端與Hub端的扭振響應(yīng)，測試時需確保Ring 端不連接皮帶。此時Ring 端的振動方程為

可得Ring 端與Hub 端的振幅比為

當(dāng)激勵頻率等于TVD 的固有頻率，即ω=ωtvd時，有

其中：ζ1為阻尼比（不同于表1 中的ζ），大小為Ctvd/（2Jtvdωtvd）。

分別導(dǎo)出某階次（通常是6 階，需要激發(fā)起TVD 的固有頻率）的Ring 端與Hub 端頻響數(shù)據(jù)，按式（36）進(jìn)行運算，當(dāng)實部大小為1 時，所對應(yīng)的頻率即為TVD 的固有頻率，根據(jù)虛部大小即可反推得到阻尼比ζ1。

通過對不同頻率、不同類型橡膠的TVD 進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)EPDM 橡膠TVD 的阻尼比在0.06 左右，而乙烯丙烯酸酯（acrylate ethylene monomer，簡稱AEM）橡膠TVD 的阻尼比在0.11 左右。此研究結(jié)果可以作為仿真時TVD 阻尼的輸入?yún)?shù)，提升了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

1）本研究所提方法能夠使Hub 端Overall 角加速度與發(fā)動機(jī)1 m 平均聲壓級隨轉(zhuǎn)速呈近似線性增長，實現(xiàn)了TVD 與曲軸的合理匹配。

2）提出了選擇TVD 慣量大小的方法，即通過計算Hub 端的模態(tài)慣量，在綜合考慮減振效果、輕量化設(shè)計、可實施性等因素下選取適當(dāng)?shù)膽T量比。

3）建立了TVD 阻尼的測試方法，通過此方法能夠準(zhǔn)確測試得到不同橡膠TVD 的阻尼大小，將此作為仿真時TVD 阻尼的輸入?yún)?shù)，提升了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4）對于P0 混合動力系統(tǒng)，通過TVD 控制發(fā)動機(jī)前端扭振，能夠降低扭振對電機(jī)階次的調(diào)制深度，從而有效抑制電機(jī)的邊頻階次噪聲。