王秋實，周勁松，肖忠民，宮 島，王騰飛，李炳劭，韓興晉，張展飛

（1.同濟大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院 上海，201804）

（2.南洋理工大學(xué)機械與航空航天工程學(xué)院 新加坡，639798）

1 問題的引出

軌道車輛在運行過程中受到十分復(fù)雜的激勵。這些激勵除了來自車輛外部的軌道不平順、車輪不圓等，還來自車輛內(nèi)部的電機牽引、制動等［1-3］。大量文獻都有提及電機吊掛座附近區(qū)域出現(xiàn)多處疲勞失效，并認為這與局部彈性振動有關(guān)［4-6］。安琪等［7］采用靜力學(xué)的方法對牽引電機振動載荷對構(gòu)架疲勞強度的影響進行了研究，結(jié)果表明電機吊座附近區(qū)域的應(yīng)力主要受電機垂向振動載荷影響較大。夏張輝等［8］對電機懸掛系統(tǒng)進行解耦優(yōu)化，提高了電機懸掛系統(tǒng)的隔振效果，從而降低對電機吊座的疲勞損傷。

圖1 為某城市地鐵從A 站到B 站實測的電機加速度振動時域信號?？梢钥闯?，車輛先后經(jīng)歷了“牽引—惰行—制動”等工況。其中，牽引工況包含了啟動工況和額定工況。在大量已有的構(gòu)架疲勞設(shè)計方法中，啟動工況時常被考慮為超常載荷工況而非疲勞載荷工況，導(dǎo)致啟動工況對構(gòu)架疲勞壽命的影響被遺漏［9-11］。針對此問題，文獻［12］指出，在任何疲勞損傷的分析中，都有必要考慮載荷的應(yīng)用次數(shù)。對于地鐵這一類頻繁啟動的運營車輛，其在相同運營里程下的啟動頻次與中長距離運輸?shù)母咚賱榆嚱M有顯著不同［13］。已有研究表明，一般啟動牽引所致的載荷幅值往往都偏大，而載荷幅值的增加對疲勞損傷的貢獻呈指數(shù)增長［14-16］，故開展電機牽引振動（含啟動工況）對疲勞壽命的影響具有重要的工程意義。

圖1 某地鐵從A 站到B 站電機垂向振動加速度信號Fig.1 Vertical vibration acceleration signal of a subway traction motor from station A to station B

該線路實測電機振動信號是受電機運轉(zhuǎn)、軌道不平順等因素影響后的綜合振動。因此，筆者以電機工作狀態(tài)作為唯一變量因素，旨在研究電機牽引振動對構(gòu)架疲勞壽命的影響。另有研究表明，電機的縱向振動對構(gòu)架的疲勞損傷貢獻極?。?］，故筆者不對電機的縱向振動展開研究。

以某地鐵車輛轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為研究對象：首先，建立構(gòu)架仿真模型，并對其進行固有頻率與模態(tài)振型的有限元計算（finite element method，簡稱FEM）；其次，將計算結(jié)果與實驗?zāi)B(tài)分析（experimental modal analysis，簡稱EMA）結(jié)果進行對比，以驗證仿真模型的正確性；然后，通過掃頻計算，以分析構(gòu)架對于電機橫、垂向振動激勵下的動態(tài)特性，并獲得電機振動加速度與動應(yīng)力響應(yīng)的傳遞關(guān)系；最后，截取頻率在1 300 Hz 以內(nèi)的實測電機加速度振動信號作為輸入條件，求解出構(gòu)架局部的動應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度，對比分析電機在牽引工況和惰行工況下的隨機振動對構(gòu)架疲勞壽命的影響。

2 模型的建立與驗證

2.1 有限元模型

基于Hypermesh18.0 建立該地鐵轉(zhuǎn)向架構(gòu)架有限元模型。其中，電機安裝座、齒輪箱安裝座以及部分橫梁結(jié)構(gòu)采用四面體實體單元，其余側(cè)梁、筋板等采用二維殼單元，并保留了大量結(jié)構(gòu)細節(jié)。實體、殼單元數(shù)分別為286 492 和102 839，節(jié)點數(shù)依次為63 996 和101 933。系統(tǒng)坐標系定義如下：車輛的前進方向為x軸（縱向）；y軸為水平面且垂直于x軸（橫向）；z軸垂直于水平面（垂向）。

根據(jù)振動結(jié)構(gòu)模態(tài)分析理論，對構(gòu)架系統(tǒng)的模態(tài)特征進行求解。對于轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)來說，阻尼比一般為0.01～0.1［17］，可忽略阻尼比對固有頻率的影響，故無阻尼多自由度系統(tǒng)自由振動的微分方程可表示為

設(shè)式（1）的特解為

其中：M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；u為位移矢量；φ為一個n階特征向量；ω為對應(yīng)于φ的特征值；t為時間；t0為由初始條件確定的常數(shù)。

將式（2）代入式（1），解得式（3）。計算結(jié)果為（ω1，φ1），（ω2，φ2），…，（ωn，φn）。參數(shù)ω1，ω2，…，ωn表示系統(tǒng)的固有頻率，特征向量φ1，φ2，…，φn表示系統(tǒng)的模態(tài)振型。

2.2 模態(tài)測試

為驗證仿真模型的正確性，對構(gòu)架進行實驗?zāi)B(tài)測試與分析。如圖2 所示，采用柔性吊繩使轉(zhuǎn)向架懸掛脫離地面，其約束狀態(tài)可視作自由狀態(tài)。在位置點1 和7 粘貼三向壓電式加速度傳感器作為響應(yīng)測試點。采用錘擊法對構(gòu)架進行實驗?zāi)B(tài)測試，錘擊點布置在構(gòu)架的30 個關(guān)鍵幾何位置，產(chǎn)生的信號通過機箱完成采集。經(jīng)計算分析，部分模態(tài)振型如圖3 所示。

圖2 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架模態(tài)測試Fig.2 Modal test of bogie frame

圖3 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架模態(tài)分析結(jié)果Fig.3 Modal analysis results of bogie frame

2.3 分析與驗證

采用模態(tài)置信矩陣（modal assurance criterion，簡稱MAC）對理論振型與實測振型的相關(guān)性進行如下計算

其中：φej為有限元分析結(jié)果的第j階模態(tài)振型向量；φfk為模態(tài)測試結(jié)果的第k階模態(tài)振型向量。

MAC 計算值越接近于1，表示兩振型的相關(guān)程度越高。其相關(guān)性計算結(jié)果如表1 所示（剛體模態(tài)略去），各階模態(tài)振型所對應(yīng)的固有頻率，其理論計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果誤差較?。ㄗ畲笳`差為7.37%），驗證了所建有限元模型的準確性。

表1 有限元模態(tài)分析結(jié)果和實驗結(jié)果Tab.1 Modal analysis results of FEM and EMA

3 隨機振動分析

轉(zhuǎn)向架構(gòu)架疲勞壽命的計算與校核方法主要有基于靜應(yīng)力和動應(yīng)力的方法。文獻［12，18］等強度設(shè)計標準為靜應(yīng)力的分析方法，該方法雖簡單實用，但是忽略了共振疲勞的影響?；趧討?yīng)力的方法主要有準靜態(tài)法、時域法和頻域法。

1）準靜態(tài)法僅適用于分析加載頻率遠離結(jié)構(gòu)固有頻率的工程問題，通過應(yīng)用單位載荷作用下的準靜態(tài)響應(yīng)系數(shù)與隨機載荷譜得出評估點動應(yīng)力響應(yīng)。

2）時域法是通過輸入隨機載荷時譜，應(yīng)用模態(tài)疊加法或者直接積分法得到各點的動應(yīng)力響應(yīng)。在處理較長的時間歷程時，采用時域的方法需要占用大量的運算時間與儲存空間。

3）頻域法將時域信號的自相關(guān)函數(shù)經(jīng)傅里葉變換得到頻域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)（power spectral density，簡稱PSD），以此作為輸入條件，結(jié)合頻響函數(shù)矩陣，求得構(gòu)架某節(jié)點的動應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度。

由于線路全程（約25 km）的載荷時域信號較長，采用時域法很難完成分析，故筆者選擇頻域分析方法。

3.1 功率譜密度的獲得

工程上通常把軌道車輛的振動過程視為廣義平穩(wěn)隨機振動過程。時域信號q（t）的自相關(guān)函數(shù)Rqq（τ）取決于時間差τ=t2-t1，且與功率密度譜Sqq（ω）為傅里葉變換對

在某地鐵運營線上，通過粘貼壓電式加速度傳感器（圖4）與數(shù)采機箱（圖5），測得牽引電機的垂向與橫向加速度振動信號，包含電機在牽引與惰行工況時的振動信號。因此，分別截取牽引工況與惰行工況下的加速度振動信號，經(jīng)轉(zhuǎn)換后獲得加速度功率密度譜，如圖6、圖7 所示。

圖4 牽引電機加速度測點Fig.4 Acceleration measuring point of traction motor

圖5 數(shù)字采集機箱Fig.5 Digital acquisition chassis

由圖6、圖7 可以看出，PSD 表征了該隨機振動過程中，牽引電機振動能量主要分布在250 Hz 以內(nèi)，以垂向振動為主，橫向振動幅值相比垂向振動幅值小了一個數(shù)量級。牽引工況時，垂向峰值最大值為7.041，橫向峰值最大值為0.270；惰行工況時，垂向峰值最大值為5.720，橫向峰值最大值為0.181?？芍?，牽引工況下，電機的振動明顯增強。

圖6 電機垂向加速度功率密度譜Fig.6 PSD of motor vertical acceleration

圖7 電機橫向加速度功率密度譜Fig.7 PSD of motor horizontal acceleration

3.2 理論分析

由振動理論可知，將加速度作為隨機振動輸入條件的方法有定點激勵法與相對運動法。定點激勵需要將電機加速度轉(zhuǎn)換為絕對力或者力矩再進行施加，而目前沒有較好的針對剛性連接電機的絕對激勵力識別的方法。

相對運動法則是通過在載荷激勵點進行全約束，并在整體系統(tǒng)上施加一個加速度場，以實現(xiàn)構(gòu)架與電機激勵點之間相對運動的模擬，即等效于載荷激勵點以所施加的加速度場同等大小的加速度進行振動。筆者采用相對運動法，直接使用實測電機加速度振動信號作為激勵條件，定性分析電機振動對構(gòu)架結(jié)構(gòu)疲勞強度的影響。

根據(jù)隨機振動譜分析理論，構(gòu)架上某點的應(yīng)力功率譜密度矩陣［19-20］可表示為

其中：H（fσ）為應(yīng)力頻響函數(shù)矩陣；（f）為H（fσ）的共軛復(fù)數(shù)；（f）為H（fσ）的轉(zhuǎn)置；Gσ（fσ）為動應(yīng)力單邊功率譜密度；G（fa）為加速度單邊功率譜密度。

對于構(gòu)架上某點的動應(yīng)力響應(yīng)輸出與電機振動加速度輸入之間的頻響函數(shù)矩陣，可通過有限元計算方法求得。

3.3 振動特性分析

應(yīng)用ANSYS14.0 隨機振動分析模塊對構(gòu)架進行振動特性分析。根據(jù)相對運動法理論，對電機質(zhì)心進行x，y，z方向的約束，并在構(gòu)架系統(tǒng)分別施加+y，+z方向單位幅值的正弦加速度場進行掃頻，范圍設(shè)在0～1 300 Hz。

圖8 為掃頻結(jié)束后輸出的動應(yīng)力均方根（root mean square，簡稱RMS）σRMS的云圖。選取動應(yīng)力均方根主要集中區(qū)域的3 個節(jié)點作為關(guān)鍵點P1，P2，P3進行分析。關(guān)鍵點P1位于電機吊掛座的下側(cè)螺栓安裝座過渡圓角處；關(guān)鍵點P2位于電機安裝座根部（與橫梁圓角結(jié)合處）；關(guān)鍵點P3位于構(gòu)架側(cè)梁下底板中部（與構(gòu)架橫梁圓角過渡處）。

圖8 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架應(yīng)力均方根云圖Fig.8 RMS stress cloud diagram for bogie frame

分別提取P1，P2，P3在+y和+z方向掃頻載 荷激勵下的動應(yīng)力響應(yīng)進行分析（能量主要集中在250 Hz以內(nèi)）。由圖9～11可知，構(gòu)架的第2 階（56.066 Hz）、第7 階（84.279 Hz）模態(tài)受電機垂向振動而產(chǎn)生較大振動；構(gòu)架的第6 階（78.885 Hz）模態(tài)受電機橫向振動而產(chǎn)生較大振動。

圖9 P1點在單位幅值正弦載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)Fig.9 Stress response of interest point P1 under unit amplitude sinusoidal load

圖10 P2點在單位幅值正弦載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)Fig.10 Stress response of interest point P2 under unit amplitude sinusoidal load

圖11 P3點在單位幅值正弦載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)Fig.11 Stress response of interest point P3 under unit amplitude sinusoidal load

總結(jié)各關(guān)鍵點共振模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，距離電機越近的節(jié)點（與電機距離為P1＜P2＜P3），發(fā)生共振的模態(tài)階數(shù)明顯更多（共振頻率數(shù)量為P1＞P2＞P3），這說明電機牽引振動對構(gòu)架的影響主要為局部彈性共振。因此，定性地分析構(gòu)架結(jié)構(gòu)對于電機橫、垂向振動激勵下的振動特性可為車輛局部結(jié)構(gòu)抗疲勞設(shè)計提供參考。

3.4 構(gòu)架關(guān)鍵點隨機振動分析

根據(jù)圖6、圖7 所示的實測橫向、垂向加速度振動信號，采用上述方法求解實際運行中構(gòu)架隨機振動響應(yīng)的動應(yīng)力功率譜密度。提取關(guān)鍵點P1，P2，P3在牽引工況與惰行工況下的動應(yīng)力響應(yīng)，繪制雙對數(shù)功率譜密度，如圖12～14 所示，計算結(jié)果如表2所示。

表2 關(guān)鍵點動應(yīng)力響應(yīng)的部分峰值與頻率Tab.2 Peak and frequency of dynamic stress response of the key point

圖12 關(guān)鍵點P1動應(yīng)力響應(yīng)Fig.12 Power density spectrum of P1 dynamic stress response

結(jié)果表明，在牽引和惰行工況下，關(guān)鍵點P1，P2，P3的主頻率一致。構(gòu)架的振動能量主要集中于第7階（84.279 Hz）、第6 階（78.885 Hz）模態(tài)，對構(gòu)架疲勞損傷貢獻較大。由振動特性分析可知：第7 階模態(tài)受電機垂向振動所激起；第6 階模態(tài)受電機橫向振動所激起。因此，構(gòu)架疲勞強度設(shè)計中，電機的橫向振動對構(gòu)架疲勞壽命的影響同樣不可忽視。

圖13 關(guān)鍵點P2動應(yīng)力響應(yīng)Fig.13 Power density spectrum of P2 dynamic stress response

圖14 關(guān)鍵點P3動應(yīng)力響應(yīng)Fig.14 Power density spectrum of P3 dynamic stress response

4 疲勞損傷與壽命計算

對于頻域的振動疲勞損傷計算，采用基于頻域統(tǒng)計的譜密度方法。按照Miner 線性累積損傷理論，疲勞損傷計算式［21-22］表示為

其中：D為疲勞累積損傷；E（P）為單位時間內(nèi)的峰值數(shù)量，可通過功率譜密度的二階譜矩m2、四階譜矩m4求得；T為時間；C，m為S-N 曲線參數(shù)；Sa為某應(yīng)力范圍；f（Sa）為某應(yīng)力范圍的概率密度。

對于寬帶信號，應(yīng)力范圍的概率密度f（Sa）計算采用Dirlik 公式的計算方法較為可靠［23］。

提取3.4 節(jié)中計算所得關(guān)鍵點P1，P2和P3的動應(yīng)力響應(yīng)，并導(dǎo)入MSC Fatigue 分析軟件進行壽命計算。由于關(guān)鍵點P1，P2和P3均屬于母材區(qū)域，參照BS 7608—2015 焊接結(jié)構(gòu)疲勞分析標準，選定S-N 曲線等級為B，對參數(shù)進行設(shè)置［24］。設(shè)損傷極限為1，按照式（9）對構(gòu)架進行了壽命計算

計算結(jié)果如表3 所示。惰行工況下，考慮頻率在1 300 Hz 以內(nèi)的振動時，關(guān)鍵點P1的疲勞壽命為9.26×105h；牽引工況下（含啟動工況），壽命為3.78×103h。關(guān)鍵點P1的疲勞壽命減少了99.59%，關(guān)鍵點P2的疲勞壽命減少99.66%，關(guān)鍵點P3的疲勞壽命減少99.19%。相比惰行工況，牽引工況下的構(gòu)架關(guān)鍵位置的疲勞壽命大幅減少。地鐵構(gòu)架設(shè)計需要充分考慮電機牽引振動對疲勞壽命的影響。

表3 牽引工況與惰行工況下的疲勞壽命Tab.3 Comparison of fatigue life under traction condition and idle running condition

5 結(jié)論

1）電機牽引振動作用下，構(gòu)架疲勞強度薄弱位置位于電機吊掛座的下側(cè)螺栓安裝座過渡圓角處、電機安裝座根部（與橫梁圓角結(jié)合處）以及構(gòu)架側(cè)梁下底板中部（與構(gòu)架橫梁圓角過渡處）。

2）構(gòu)架的第6、第7 階模態(tài)對構(gòu)架的疲勞損傷貢獻較大。其中：第7 階模態(tài)受電機垂向振動所激起；第6 階模態(tài)受電機橫向振動所激起。因此，在構(gòu)架抗疲勞設(shè)計中，電機垂向振動和橫向振動對構(gòu)架疲勞壽命的影響均不可忽視。

3）相比于惰行工況，牽引工況下（包含啟動工況時）的構(gòu)架疲勞壽命大幅減少，對疲勞壽命的影響較大。因此，地鐵構(gòu)架設(shè)計需要充分考慮電機牽引振動對疲勞壽命的影響。