◇中原工學(xué)院 陳仁霞 李士生

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)中一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，具有內(nèi)容難度大、周期長(zhǎng)等特點(diǎn),學(xué)生學(xué)習(xí)面臨不少問(wèn)題。本文建議采用“創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題講授新知解決問(wèn)題”的教學(xué)過(guò)程展開(kāi)高等數(shù)學(xué)教學(xué)，融入數(shù)學(xué)建模思想和課程思政元素，增加課堂的趣味性，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。本文以第一類(lèi)曲線(xiàn)積分為例，深入討論問(wèn)題情境教學(xué)模式在工科各專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)策略中的應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)（高數(shù)）作為高校理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)重要基礎(chǔ)課程，具有知識(shí)點(diǎn)多、學(xué)習(xí)周期長(zhǎng)、課時(shí)緊張、理解困難等特點(diǎn)[1]。許多大學(xué)生覺(jué)得高數(shù)比較抽象，學(xué)習(xí)意義不大，在學(xué)習(xí)中容易產(chǎn)生單調(diào)枯燥的感覺(jué)，從而削弱乃至喪失學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致高數(shù)掛科率較高。在傳統(tǒng)的高數(shù)教學(xué)中，往往偏向于學(xué)生對(duì)特定方法和知識(shí)點(diǎn)的傳授，關(guān)注解題技巧較少，甚少要求學(xué)生發(fā)掘和解決生活中的具體問(wèn)題，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)不夠?；诖耍绾翁岣呓虒W(xué)質(zhì)量、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力變得尤為重要。

1 教學(xué)現(xiàn)狀分析以及相應(yīng)措施

近幾年，關(guān)于高數(shù)相關(guān)的課堂教學(xué)改革開(kāi)展得如火如荼，與以往傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比，雖然課堂教學(xué)有了一定的改善和進(jìn)步，但課堂氛圍還不夠濃厚，精彩度不高，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性偏低。同時(shí)，大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生所處的年齡階段，形象思維強(qiáng)于抽象思維。為了解決這一矛盾，我們從學(xué)生的知識(shí)和能力背景出發(fā)，依照科學(xué)研究和知識(shí)認(rèn)知的規(guī)律，構(gòu)建以問(wèn)題為中心，以學(xué)生為本的高數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)了將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和知識(shí)運(yùn)用能力。

一堂高數(shù)課的引入是否恰當(dāng)是一節(jié)課是不是“高效”的核心，有效地創(chuàng)設(shè)情境引入不僅能吸引學(xué)生的興趣和積極性，而且能起到事半功倍的效果。課堂是教學(xué)的主陣地，為了改變以往高數(shù)課堂的填鴨式教學(xué)，從教學(xué)需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的場(chǎng)景和氛圍，從而激發(fā)學(xué)生的共鳴，喚醒學(xué)生的思維認(rèn)知，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。作者認(rèn)為“問(wèn)題情境教學(xué)法”可有效提高課堂效率，問(wèn)題情境教學(xué)法一般認(rèn)為是由美國(guó)教育學(xué)家布魯納提出的，他指出對(duì)學(xué)習(xí)者最有意義的對(duì)象一定是學(xué)習(xí)者經(jīng)歷了對(duì)學(xué)習(xí)資料的自身體驗(yàn)和發(fā)展過(guò)程挖掘出來(lái)的。為了吸引學(xué)生的思考和興趣，課堂知識(shí)點(diǎn)的闡釋需要有相關(guān)的情境展示，而創(chuàng)設(shè)情境不僅要聯(lián)系生活實(shí)際，而且要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與課堂并思索問(wèn)題的解決方式。

據(jù)了解，大多高校高數(shù)教師對(duì)問(wèn)題情境教學(xué)模式是有了解的，但具體應(yīng)用到課堂教學(xué)的并不多，原因在于認(rèn)為情境教學(xué)有些牽強(qiáng)，不能很好地應(yīng)用于高數(shù)課堂。問(wèn)題情境教學(xué)法需要教師做大量的課前準(zhǔn)備，才能將數(shù)學(xué)知識(shí)的淵源背景和實(shí)際生活場(chǎng)景聯(lián)系起來(lái)，這無(wú)疑要增加教師的工作量。為此，在課前準(zhǔn)備中，教師自身要有淵博的知識(shí)儲(chǔ)備，包括對(duì)知識(shí)淵源的把控，知識(shí)點(diǎn)在生活中有哪些應(yīng)用，講授中如何設(shè)疑方便學(xué)生自然融入角色等，這樣方能把問(wèn)題情境模式運(yùn)用好，教學(xué)質(zhì)量將有質(zhì)的飛躍。我們建議按章節(jié)把查找相關(guān)知識(shí)實(shí)際背景的任務(wù)分配到高數(shù)課程組教師，教師經(jīng)過(guò)整理后添加到課件中。

2 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的教學(xué)過(guò)程

高數(shù)的課堂教學(xué)不僅要求教會(huì)學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要求學(xué)生能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題，從而達(dá)到教書(shū)育人的目標(biāo)[1]。在高數(shù)課堂教學(xué)中，教師要突破教材的限制，由實(shí)際問(wèn)題引出抽象的數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生在充分了解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，注重理論結(jié)合實(shí)際，拓展延伸課堂教學(xué)內(nèi)容。我們建議在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用“創(chuàng)設(shè)情境—提出問(wèn)題—講授新知—解決問(wèn)題”的教學(xué)模式。

多元函數(shù)積分學(xué)是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，共分為六類(lèi)：二重積分、三重積分、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分和兩類(lèi)曲面積分。由于積分類(lèi)型眾多，學(xué)生特別容易混淆。若能把積分定義和實(shí)際問(wèn)題建立聯(lián)系，讓同學(xué)們體會(huì)到進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探究的必要性，可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面我們將按照學(xué)生的求知規(guī)律，基于客觀(guān)實(shí)際，遵循“提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—推廣應(yīng)用”的思路，以“第一類(lèi)曲線(xiàn)積分”為例，對(duì)問(wèn)題情境教學(xué)模式展開(kāi)介紹。

2.1 創(chuàng)設(shè)情境

首先，教師PPT展示各種建筑的承重梁設(shè)計(jì)、直流特高壓輸電線(xiàn)路等，引出曲線(xiàn)形構(gòu)件質(zhì)量的思考。通過(guò)這些生活問(wèn)題引發(fā)思考，既具有時(shí)代氣息，貼近生活，帶給學(xué)生切身體驗(yàn)，又能激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。進(jìn)而，著重介紹設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)項(xiàng)鏈的質(zhì)量[2]：為了美觀(guān)，設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)項(xiàng)鏈的各部分粗細(xì)程度往往不一樣，即密度是連續(xù)但不均勻的，但是無(wú)論把項(xiàng)鏈放在任何位置，從幾何上看，它都是一個(gè)曲線(xiàn)形物體，從而該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解密度不均勻曲線(xiàn)形物體的質(zhì)量問(wèn)題。學(xué)生們會(huì)疑惑：有的曲線(xiàn)形物體（比如項(xiàng)鏈）是有寬度的，為什么可以理解成曲線(xiàn)呢？討論：項(xiàng)鏈的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度，我們把寬度都體現(xiàn)在密度函數(shù)上，比如比較粗的部分，密度函數(shù)取值大一些，比較細(xì)的部分，密度函數(shù)取值小一些，所以可以理解為曲線(xiàn)形物體。通過(guò)課堂實(shí)踐，使學(xué)生深入了解第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的實(shí)際背景，將實(shí)際問(wèn)題抽象化和具體化，讓學(xué)生體會(huì)到科學(xué)探討的必要性，學(xué)習(xí)積極性進(jìn)一步提高。

2.2 提出問(wèn)題

在解決上述問(wèn)題之前，教師以學(xué)生熟悉的定積分為切入點(diǎn)，利用經(jīng)典的元素法，即“分割—近似—求和—取極限”，求解密度不均勻直細(xì)棒的質(zhì)量：當(dāng)我們把直細(xì)棒拉伸扭曲就得到密度不均勻的彎曲細(xì)棒，進(jìn)一步探討彎曲細(xì)棒的質(zhì)量求解問(wèn)題，即研究曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量問(wèn)題。這里采用由已知探求未知的過(guò)程，使學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)逐步遷移解決新的問(wèn)題。

2.3 講授新知

（1）定義：通過(guò)多媒體的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生自然猜想到可以利用經(jīng)典的積分思想來(lái)求解彎曲細(xì)棒的質(zhì)量，可得到一個(gè)和式的極限在解決其它問(wèn)題時(shí)也會(huì)用到這種和式的極限，從而拋開(kāi)問(wèn)題的背景，抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)概念，即第一類(lèi)曲線(xiàn)積分積分的思想告訴學(xué)生可以將生活中的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把大目標(biāo)分割成階段性容易實(shí)現(xiàn)的小目標(biāo)，久而久之就可以實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想。

（2）性質(zhì)：首先讓學(xué)生回顧定積分和重積分有哪些性質(zhì)，在學(xué)生進(jìn)行一番大腦思索后，進(jìn)而和學(xué)生一同分析：第一類(lèi)曲線(xiàn)積分和定積分、重積分從定義來(lái)看都可歸結(jié)為“和式的極限”，是否具有相似的性質(zhì)，最后用簡(jiǎn)單明了的語(yǔ)言和具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相應(yīng)的性質(zhì)。

（3）幾何意義：數(shù)形結(jié)合貫穿于整個(gè)高數(shù)的知識(shí)體系，其核心是通過(guò)直觀(guān)形象的圖形展示抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使空洞抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化、具體化、可視化，方便駕馭數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)[3]。從數(shù)形結(jié)合的視角結(jié)合定積分的幾何意義，給出第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的幾何意義，可描述如下：定積分的幾何意義為曲線(xiàn)梯形的面積，當(dāng)我們把曲邊梯形卷起來(lái)（見(jiàn)圖1）就得到一個(gè)柱面，原來(lái)的高就變成空間直角坐標(biāo)系的曲面積分范圍由二維坐標(biāo)系中軸上的閉區(qū)間推廣到三維坐標(biāo)系中面上的一條曲線(xiàn)。進(jìn)而展示，幾何意義的實(shí)際應(yīng)用（見(jiàn)圖2）：上海復(fù)興藝術(shù)中心的可移動(dòng)的流蘇幕簾的面積，即柱面的面積。

圖1 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的幾何意義

圖2 上海復(fù)興藝術(shù)中心流蘇幕簾

（4）計(jì)算公式：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用融會(huì)貫通、相互聯(lián)系、知識(shí)遷移的方式學(xué)習(xí)高數(shù)課程。課堂講授中，引導(dǎo)學(xué)生弄清后續(xù)概念和前續(xù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，辨別概念的內(nèi)涵與外延，加深相關(guān)知識(shí)的理解和掌握。對(duì)于一些具有相似或聯(lián)系的知識(shí)模塊，著重引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分它們之間的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，讓學(xué)生能夠全局把握高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系。

首先，教師板書(shū)寫(xiě)定積分的應(yīng)用—平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)計(jì)算公式以及第一類(lèi)曲線(xiàn)積分定義公式然后，提出問(wèn)題：那么這兩種公式是否存在聯(lián)系呢？如何進(jìn)行分析呢？其實(shí)只要認(rèn)真觀(guān)察兩個(gè)式子，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的玄機(jī)[5]。一是肯定和鼓勵(lì)學(xué)生得到的結(jié)論，二是啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索：弧長(zhǎng)計(jì)算公式和第一類(lèi)曲線(xiàn)積分都與曲線(xiàn)有關(guān)，前者計(jì)算曲線(xiàn)的長(zhǎng)度，后者計(jì)算曲線(xiàn)的質(zhì)量，從形式上觀(guān)察，后者比前者多了一個(gè)被積函數(shù)，但是被積函數(shù)是定義在積分曲線(xiàn)上的，所以中的變量和應(yīng)該滿(mǎn)足積分曲線(xiàn)的方程，這樣被積函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，這時(shí)可以大膽假設(shè)第一類(lèi)曲線(xiàn)積分是否也可以轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算呢？引出第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算方法的定理，利用元素法進(jìn)行驗(yàn)證定理的正確性。

2.4 解決問(wèn)題

將數(shù)學(xué)建模元素融入高數(shù)課堂，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活和生產(chǎn)中涌現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題的能力。做足功課之后，理論指導(dǎo)實(shí)踐，解決開(kāi)篇問(wèn)題，有始有終地展開(kāi)教學(xué)—利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算項(xiàng)鏈的質(zhì)量。建立模型：如果項(xiàng)鏈纏繞成半徑為10cm的圓，由項(xiàng)鏈的密度函數(shù)在曲線(xiàn)上的積分，即為項(xiàng)鏈的質(zhì)量。

分析問(wèn)題：已知線(xiàn)密度在曲線(xiàn)上的積分表示曲線(xiàn)形物體的質(zhì)量。模型中密度函數(shù)是給定的，曲線(xiàn)方程怎么表示呢？引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述?？梢园亚€(xiàn)（圓）的參數(shù)方程表示為，運(yùn)用上面的計(jì)算公式可得項(xiàng)鏈的質(zhì)量為：

2.5 歸納總結(jié)

歸納總結(jié)既是教學(xué)課堂的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，又是學(xué)好高數(shù)的一個(gè)重要方法。在教學(xué)任務(wù)的最后階段，教師可以勾畫(huà)思維導(dǎo)圖（見(jiàn)圖3），引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，鞏固重難點(diǎn)，總結(jié)課堂中涉及的知識(shí)點(diǎn)、技巧、方法等，加強(qiáng)學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)。延伸第一類(lèi)曲線(xiàn)積分在生活中的應(yīng)用，大型建筑的承重梁設(shè)計(jì)，測(cè)電壓輸電線(xiàn)路，讓學(xué)生們體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，使學(xué)生能夠?qū)Φ谝活?lèi)曲線(xiàn)積分有更加深入地直觀(guān)認(rèn)識(shí)和理解。同時(shí)融入思想政治元素，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，有利于激發(fā)學(xué)生深入思考問(wèn)題，整合價(jià)值觀(guān)念，凝聚共同力量。通過(guò)第一類(lèi)曲線(xiàn)積分在鳥(niǎo)巢承重梁的設(shè)計(jì)這一偉大工程中的應(yīng)用，切實(shí)幫助大學(xué)生樹(shù)立中國(guó)特色社會(huì)主義道路自信、科學(xué)自信、文化自信。

圖3 課堂小結(jié)思維導(dǎo)圖

2.6 教學(xué)效果分析

通過(guò)近兩年問(wèn)題情境教學(xué)模式在本人授課班級(jí)的實(shí)施，同時(shí)在課堂中融入課程思政元素，結(jié)合課上課下的習(xí)題和作業(yè)反饋，綜合過(guò)程考核和期末考試情況分析，所作的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅傳授了課程知識(shí)，而且從多維度提高了教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)改革的目標(biāo)。首先，通過(guò)具體生活實(shí)例引入，讓學(xué)生了解第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的研究背景，即創(chuàng)設(shè)合適的情境提出來(lái)源于實(shí)際生活的問(wèn)題；其次，由定積分的實(shí)際應(yīng)用出發(fā)進(jìn)行剖析，與當(dāng)前問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比，讓學(xué)生明確研究思路，即總結(jié)已有知識(shí)并進(jìn)行拓展和創(chuàng)新，明確提出第一類(lèi)曲線(xiàn)積分概念的必要性；此外，在了解了第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì)和物理意義、幾何意義的基礎(chǔ)上，掌握了第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式，解決了開(kāi)篇問(wèn)題：項(xiàng)鏈質(zhì)量的求解。

3 結(jié)束語(yǔ)

在高數(shù)課堂中，教師按照不同的知識(shí)模塊和所授專(zhuān)業(yè)的學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的問(wèn)題情境，不僅能夠完備學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，刺激學(xué)生的鉆研欲望，深化學(xué)生的求知意識(shí)，推動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)新動(dòng)機(jī)，而且能夠有效地提升高數(shù)課堂的教學(xué)效果。又如在梯度概念的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過(guò)引入黃河水和瀑布水流向的實(shí)例，學(xué)生可以明晰梯度概念的研究背景。高數(shù)教學(xué)模式的改進(jìn)，一直是高校數(shù)學(xué)教師努力的方向之一，如何進(jìn)行行之有效的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是關(guān)鍵?；趩?wèn)題情境模式的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)可以有效地促進(jìn)師生互動(dòng)，加大學(xué)生參與度，提升學(xué)生學(xué)習(xí)激情，進(jìn)一步提高教師的教學(xué)質(zhì)量。