朱永廠 錢銘

摘? 要：以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》為準(zhǔn)則，理解單元教學(xué)的重要性，討論并形成章引言課教學(xué)設(shè)計(jì)的原則. 以“棱柱、棱錐和棱臺(tái)”的章引言課為例，從宏觀設(shè)計(jì)、情境創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)探究、概念辨析和總結(jié)反思等角度進(jìn)行具體的章引言課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并總結(jié)出設(shè)計(jì)的要點(diǎn).

關(guān)鍵詞：單元教學(xué);章引言課;數(shù)學(xué)探究

一、提出問題

在新一輪課程改革中，無論是課程標(biāo)準(zhǔn)的制定、教材的編寫，還是教學(xué)實(shí)施建議都凸顯了“單元教學(xué)”的重要性. 幫助學(xué)生弄清楚“為什么學(xué)、學(xué)什么和怎么學(xué)”是單元總體設(shè)計(jì)的主導(dǎo)思想. 加強(qiáng)對章節(jié)內(nèi)容的宏觀把握和整體性認(rèn)識，從知識的聯(lián)系性出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是課程改革的顯著特點(diǎn)，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在. 單元教學(xué)需要依據(jù)單元目標(biāo)和內(nèi)容，闡述知識形成的背景和必要性，厘清知識的形成過程，梳理知識間的相互聯(lián)系，讓學(xué)生體驗(yàn)研究問題的方法. 這是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主要任務(wù). 下面以立體幾何初步的“棱柱、棱錐和棱臺(tái)”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者在單元教學(xué)中是如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的，旨在拋磚引玉.

二、教學(xué)過程簡錄

1. 宏觀設(shè)計(jì)，章節(jié)引領(lǐng)

高中數(shù)學(xué)教材每章的開頭都有章頭圖和章引言，它們是一章的開始，統(tǒng)領(lǐng)本章的知識要領(lǐng)和思想方法，展現(xiàn)本章內(nèi)容在實(shí)際生產(chǎn)、生活或科技中的應(yīng)用，傳播數(shù)學(xué)文化. 在實(shí)際教學(xué)過程中，教師對章節(jié)起始課的重視程度普遍不足，經(jīng)常出現(xiàn)忽略、淡化或一帶而過的現(xiàn)象，致使浪費(fèi)了良好的教育素材. 實(shí)際上，按照教材的編寫意圖對章節(jié)起始課進(jìn)行合理的問題設(shè)計(jì)，能夠幫助學(xué)生合理構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，掌握基本思想方法，積累基本活動(dòng)（研究）經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生積極思考和探索新知的欲望.

問題1：數(shù)學(xué)之美不僅表現(xiàn)在“數(shù)”的方面，更多的時(shí)候則表現(xiàn)在“形”的方面. 今天我們就一起走進(jìn)五彩繽紛的“形”的世界. 看下面三個(gè)問題.

（1）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是什么？

（2）我們知道，3條等長的線段可以拼成一個(gè)正三角形，那么6條等長的線段最多可以拼成幾個(gè)正三角形？

（3）如何檢查旗桿與地面是否垂直？如何刻畫人造地球衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成的角？

生：問題1（1），在平面內(nèi)軌跡是圓，在空間中軌跡是球;問題1（2），6條等長的線段最多可以拼成4個(gè)正三角形;問題1（3），見過工人師傅檢驗(yàn)旗桿是否垂直于地面的方法是測旗桿是否垂直于地面內(nèi)兩條相交直線，但是不知道原因. 人造地球衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成角的問題想象不出來.

問題2：回憶一下，初中平面幾何的研究對象和研究內(nèi)容是什么？立體幾何呢？

生：記得初中平面幾何的研究對象是平面圖形，研究內(nèi)容是點(diǎn)、線的位置關(guān)系，平面圖形的畫法，角、線段、面積等的相關(guān)計(jì)算及應(yīng)用. 類比平面幾何的研究對象和研究內(nèi)容，猜想立體幾何的研究對象應(yīng)該是空間幾何體，研究內(nèi)容應(yīng)該是點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間圖形的畫法，角、線段、面積、體積等的相關(guān)計(jì)算及應(yīng)用.

問題3：（1）用一條直線能把圓分成面積相等的兩部分，那么用一個(gè)平面能把球分成體積相等的兩部分嗎？

（2）如圖1，螞蟻甲要從棱長分別為3，4，5的長方體的頂點(diǎn)[A]處沿表面爬到頂點(diǎn)[C1]的好友螞蟻乙處，你能幫它規(guī)劃最短路線嗎？

生：問題3（1），用一條過圓心的直線能把圓分成面積相等的兩部分，類比可知，用一個(gè)過球心的平面能把球分成體積相等的兩部分. 問題3（2），如圖2，將長方體分別沿著棱[BB1，A1B1，A1D1]展開成平面圖形進(jìn)行求解并比較，可得最短路線.

【設(shè)計(jì)意圖】問題1的設(shè)計(jì)能將學(xué)生的視野從平面引向空間. 其中，通過問題1（3）的設(shè)計(jì)能夠誘發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)立體幾何知識的必要性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的良好習(xí)慣. 問題2的設(shè)計(jì)啟發(fā)了學(xué)生通過類比、聯(lián)想得到立體幾何的研究對象和研究內(nèi)容，讓學(xué)生初步構(gòu)建了研究立體幾何的內(nèi)容、框架和體系. 問題3的設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生用類比和化歸的思想來解決問題，即讓學(xué)生學(xué)會(huì)用類比平面和空間問題平面化等方法來研究立體幾何問題. 這樣，通過以上問題的提出和解決，實(shí)現(xiàn)了“為什么學(xué)、學(xué)什么和怎么學(xué)”的宏觀引領(lǐng).

2. 創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求普通高中數(shù)學(xué)課程要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件. 所創(chuàng)設(shè)的問題情境要能產(chǎn)生認(rèn)知沖突，要能蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要能激發(fā)學(xué)生求知的欲望，要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)新、舊知識之間的聯(lián)系.

師：既然有許多問題用已有的平面幾何知識無法解決，那么就讓我們一起沖出平面，走向空間，來欣賞一組精美的圖片.

教師投影展示上海金茂大廈建筑群、北京水立方、埃及金字塔、神舟五號發(fā)射塔、家居的設(shè)計(jì)圖等，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡潔之美、對稱之美、和諧之美和奇異之美，思考其中蘊(yùn)含的豐富的幾何體.

問題4：能否畫出一些簡單的空間圖形？

師：以上圖片中的建筑物蘊(yùn)含了豐富的幾何體，有的復(fù)雜，有的簡單. 本節(jié)課我們就先從抽象出來的部分簡單的幾何體開始吧.

問題5：如圖3，你能將下面的幾何體分類嗎？你對所分類的幾何體有哪些認(rèn)識？

生：圖3（1）、圖3（2）、圖3（6）和圖3（8）是一類，圖3（3）、圖3（5）和圖3（7）是一類，圖3（4）和圖3（9）是一類. 它們分別是棱柱、棱錐和棱臺(tái). 棱柱是兩頭一樣大的幾何體，棱錐是棱柱一頭縮成一個(gè)點(diǎn)的幾何體，棱臺(tái)是棱錐被一個(gè)平面截下來的幾何體.

師：同學(xué)們的分類和概括都很好，但是語言過于生活化，沒有把它們的本質(zhì)特征用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表述出來. 下面，我們就從棱柱、棱錐和棱臺(tái)開始研究.

3. 數(shù)學(xué)探究，意義構(gòu)建

孔凡哲、史寧中教授認(rèn)為，教師要幫助學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，并獲得理解性掌握，在獲得過程中提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 通過親身經(jīng)歷觀察、探究和發(fā)現(xiàn)的過程，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力得到提高.

探究1：棱柱性質(zhì)的“發(fā)現(xiàn)”.

問題6：觀察棱柱的生成過程（動(dòng)畫演示），通過獨(dú)立思考、小組交流，能否歸納、概括出圖3（1）、圖3（2）、圖3（6）和圖3（8）的共同特征，并用數(shù)學(xué)語言給棱柱下個(gè)定義？

生：它們分別由平面四邊形、三角形、五邊形和六邊形沿同一方向平移而得. 通過討論，我們給棱柱下的定義是：由一個(gè)平面多邊形沿某一確定的方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱.

師：非常準(zhǔn)確！點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體. 我們把平移起止位置的兩個(gè)面叫做棱柱的底面，把多邊形的邊平移所形成的面叫做棱柱的側(cè)面，把兩個(gè)側(cè)面的公共邊（或多邊形的頂點(diǎn)平移所形成的線段）叫做側(cè)棱. 按底面多邊形來分，棱柱可以分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 棱柱可以記作棱柱[ABC-A1B1C1]、棱柱[ABCD-A1B1C1D1]等.

問題7：根據(jù)棱柱的生成過程和棱柱的定義，你能概括出棱柱有哪些特點(diǎn)嗎？

生：棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形且對應(yīng)邊互相平行，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形.

問題8：觀察棱錐和棱臺(tái)的生成過程（動(dòng)畫演示棱柱轉(zhuǎn)化為棱錐和棱錐轉(zhuǎn)化為棱臺(tái)的過程），通過獨(dú)立思考、小組交流，你能用數(shù)學(xué)語言給棱錐和棱臺(tái)下個(gè)定義嗎？

生：當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的幾何體叫做棱錐. 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái).

探究2：棱錐和棱臺(tái)性質(zhì)的類比“發(fā)現(xiàn)”.

問題9：你能用同樣的方法研究棱錐和棱臺(tái)嗎？類比棱柱的研究方法，以自主探究、合作交流的形式把研究的成果設(shè)計(jì)成表格，并向全班匯報(bào)研究成果.

【設(shè)計(jì)意圖】問題的設(shè)計(jì)不只是為了幫助學(xué)生獲得知識和技能，更重要的是為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)積極、民主、和諧的探究環(huán)境，讓學(xué)生親身體驗(yàn)自主探究、合作交流的過程，讓學(xué)生嘗試“說數(shù)學(xué)”的思維與表達(dá)過程，讓學(xué)生收獲成功的喜悅的情感過程，并在這一過程中積累失敗的教訓(xùn)和成功的經(jīng)驗(yàn)，不斷感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值和育人價(jià)值.

4. 概念辨析，深化理解

數(shù)學(xué)概念的形成、理解和掌握既要經(jīng)歷建構(gòu)的過程，又要經(jīng)歷解構(gòu)的過程. 建構(gòu)是抽象概括的過程，而解構(gòu)是辨析、理解和應(yīng)用的過程. 通過解構(gòu)能夠幫助學(xué)生更深刻地理解和掌握概念的本質(zhì). 解構(gòu)是知識內(nèi)化的過程.

探究3：概念內(nèi)涵的理解與辨析.

問題10：如圖4，過[BC]的截面截去長方體的一角，所得的幾何體是不是棱柱？為什么？

生：根據(jù)棱柱的定義知，以上幾何體是棱柱，只不過底面是[ABB1A1]和[DCC1D1].

問題11：如圖5所示的幾何體是棱臺(tái)嗎？為什么？

生：圖5（1）是棱臺(tái)，圖5（2）不是棱臺(tái)，因?yàn)閳D5（2）的側(cè)棱延長后不交于一點(diǎn)，不能還原成棱錐.

問題12：指出如圖6所示的幾何體的名稱和它們的底面.

生：圖6（1）是棱錐，底面為[ABCD];圖6（2）是棱柱，各個(gè)面都可以作為底面;圖6（3）是棱臺(tái)，底面是[ABC]和[A1B1C1];圖6（4）是棱錐，各個(gè)面都可以作為底面.

問題13：能否用轉(zhuǎn)化的思想和聯(lián)系的觀點(diǎn)談?wù)劺庵?、棱錐和棱臺(tái)之間是如何相互轉(zhuǎn)化的？

【設(shè)計(jì)意圖】以上問題的設(shè)計(jì)主要是對棱柱、棱錐和棱臺(tái)的概念本質(zhì)的辨析和理解，通過對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)的探究和辨析能夠讓學(xué)生達(dá)到掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目的.

5. 總結(jié)反思，拓展延伸

問題14：本節(jié)課我們研究棱柱、棱錐和棱臺(tái)的思維路線圖是什么？

生：歸納共性→抽象定義→對象分類→符號表示→探究性質(zhì)→學(xué)以致用.

問題15：借助已有的研究經(jīng)驗(yàn)，接下來你還會(huì)去研究哪些幾何體？如何去研究？

生：接下來我們要研究的幾何體應(yīng)該是圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球等，研究的思想方法應(yīng)該是類比和化歸思想.

問題16：本節(jié)課你有哪些收獲？你能提出一些有價(jià)值的問題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生總結(jié)、教師點(diǎn)睛深化認(rèn)識，讓學(xué)生體會(huì)在立體幾何的學(xué)習(xí)過程中能夠規(guī)劃研究問題的方案，能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，能夠進(jìn)行思維與表達(dá)、交流與反思，能夠在感悟數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這些都有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng).

三、關(guān)于單元設(shè)計(jì)的教學(xué)思考

以考試為目的，以灌輸為手段，以題型（套公式）訓(xùn)練為方法，這些都嚴(yán)重束縛了師生的教學(xué)行為，損害了學(xué)生的問題意識，限制了學(xué)生的全面發(fā)展. 實(shí)際上，學(xué)生能力的發(fā)展和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開好問題的驅(qū)動(dòng)、自主探究的體驗(yàn)、合作后的交流和教師恰當(dāng)?shù)膯l(fā).

1. 創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)數(shù)學(xué)探究欲望

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)像游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身經(jīng)歷，僅僅通過看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)真實(shí)有趣的問題情境，給學(xué)生充足的時(shí)間和空間展開探究活動(dòng)，讓學(xué)生開展理性思考，幫助學(xué)生從不同的視角獲取信息，使學(xué)生的思維得到有效的啟發(fā)和鍛煉，在情境和活動(dòng)中激發(fā)興趣，建構(gòu)起自己對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解.

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)探究的出發(fā)點(diǎn)和原動(dòng)力，好問題能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的欲望. 好問題的呈現(xiàn)需要情境的創(chuàng)設(shè)，情境的創(chuàng)設(shè)可以來自現(xiàn)實(shí)情境，也可以是數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境. 好的問題情境有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲望;有助于促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程;有助于學(xué)生了解知識的來龍去脈. 問題情境應(yīng)該使學(xué)生感興趣并具有一定的挑戰(zhàn)性，應(yīng)與學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容有著本質(zhì)的聯(lián)系，等等.

2. 開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識并不是簡單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識、經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)加以建構(gòu). 學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生認(rèn)知框架的不斷變革或重組，是新的學(xué)習(xí)活動(dòng)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用的直接結(jié)果，也就是說，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，任何一種學(xué)習(xí)方式都必須以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)面對一個(gè)新問題時(shí)應(yīng)如何探索和研究. 科學(xué)的學(xué)習(xí)方式必須以學(xué)生的主體參與為前提，以促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展為核心，以促使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為手段，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo).

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思想和方法等開展自主探究、合作研究，并最終解決數(shù)學(xué)問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容. 教師在教學(xué)中還要善于運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)工具為學(xué)生創(chuàng)造出更加豐富多彩、人機(jī)交互、及時(shí)反饋、快捷高效的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生在這一環(huán)境中能更加生動(dòng)、自主地學(xué)習(xí)，進(jìn)而積累多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地解決一些有意義、有價(jià)值的問題.

3. 把握合適啟發(fā)時(shí)機(jī)，教會(huì)學(xué)生怎么學(xué)

教之道在于度，學(xué)之道在于悟. 課堂教學(xué)是教與學(xué)的雙邊活動(dòng). 教的秘訣在于適度，度就是恰到好處，就是能在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間和節(jié)點(diǎn)給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)膯l(fā)和幫助;學(xué)的真諦在于悟，悟是學(xué)生的獨(dú)立思考，是用心感悟，是自主構(gòu)建，是反思提升，是高效的學(xué)習(xí)方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師對度的精準(zhǔn)把握，能夠幫助學(xué)生在獲得必要的基礎(chǔ)知識和基本技能、感悟數(shù)學(xué)基本思想、不斷積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程中，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識及創(chuàng)新意識，樹立科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

美國著名教育家杜威曾指出，教育是在經(jīng)驗(yàn)中、由于經(jīng)驗(yàn)和為著經(jīng)驗(yàn)的一種發(fā)展過程. 教育的理念與視野決定了教育的品位與高度. 只有立足于以學(xué)生的全面發(fā)展為本，轉(zhuǎn)變陳舊、落后的教育觀念，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、有思考價(jià)值和挑戰(zhàn)性的問題，營造寬松、和諧、積極、民主的探究環(huán)境，組織興趣盎然的探究交流活動(dòng)，才能真正實(shí)現(xiàn)積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]蔡甜甜，寧連華. 數(shù)學(xué)教材章頭課的理性分析及教學(xué)建議[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（4）：22-26.

[3]孔凡哲，史寧中. 中國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成途徑[J]. 教育科學(xué)研究，2017（6）：5-11.

[4]朱成萬. 函數(shù)概念的教學(xué)解構(gòu)與建構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（4）：100-102.

[5]胡浩.“平面”教學(xué)設(shè)計(jì)的理性突圍：兼談原始概念的教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（1）：16-18，26.

[6]朱永廠. 讓思維在探究中升華：以2018年江蘇高考第13題為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（11）：49-51，65.