【摘 要】以2019年人教版高中數(shù)學(xué)(A版)教材選擇性必修中的“解析幾何”內(nèi)容為素材,以信息技術(shù)為載體,在課堂教學(xué)中可采用一種有別于常規(guī)的教學(xué)組織方式,讓信息技術(shù)成為學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知工具,促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】解析幾何;信息技術(shù);創(chuàng)造性思維
【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009(2022)27-0012-03
【作者簡(jiǎn)介】王凱,浙江省杭州市源清中學(xué)(杭州,310015)教師,高級(jí)教師,杭州市普通高中新課程新教材研究小組成員,杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組成員。
解析幾何是高中數(shù)學(xué)中與“數(shù)形結(jié)合”聯(lián)系最緊密的內(nèi)容之一,“在建立幾何直觀的基礎(chǔ)上,利用代數(shù)方法予以表達(dá)”是其基本理念。在以往的解析幾何教學(xué)中,無(wú)論是新授課還是習(xí)題課,教師經(jīng)常會(huì)使用信息技術(shù)軟件演示動(dòng)畫(huà)效果,借助直觀呈現(xiàn)來(lái)幫助學(xué)生更好地理解概念和思考問(wèn)題,從這個(gè)層面上來(lái)說(shuō),技術(shù)的引入僅僅是為了驗(yàn)證問(wèn)題。在信息化的環(huán)境下,學(xué)習(xí)解析幾何,應(yīng)嘗試用技術(shù)去設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證猜想,用技術(shù)的力量促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解走向更高層面。
2019年人教版高中數(shù)學(xué)(A版)教材強(qiáng)調(diào)通過(guò)信息技術(shù)軟件探究圖形之間的關(guān)系[1],把信息技術(shù)作為學(xué)生的一種認(rèn)知工具,在教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教。[2]“幾何畫(huà)板”是由美國(guó)Key Curriculum Press公司制作并出版的軟件,它能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)行變化規(guī)律,是一款用于輔助教授代數(shù)、歐氏幾何、微積分等數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)態(tài)幾何軟件。
本文以人教A版教材選擇性必修中的“解析幾何”內(nèi)容為素材,以“幾何畫(huà)板”為工具,談?wù)勅绾螛?gòu)建信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的課堂,讓信息技術(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知工具。
一、解題后顯形
筆者以2019年人教A版選擇性必修一第二章“直線(xiàn)和圓的方程”中“圓與圓的位置關(guān)系”的例6為例題,引入本節(jié)課。
問(wèn)題:如圖1,已知圓O的直徑AB=4,動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的[2]倍,試探究點(diǎn)M的軌跡,并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系。
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決,教材立足解析法,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)適當(dāng)?shù)慕ㄏ?,用代?shù)式表示幾何關(guān)系,然后化簡(jiǎn),求出點(diǎn)M的軌跡方程。在解決此問(wèn)題后,課本中又提出:“如果把本例中的‘[2]倍’改為‘k(k>0)倍’,你能分析并解決這個(gè)問(wèn)題嗎?”這種由特殊到一般的過(guò)程,旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。
以上解題方法需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力,但由于缺少對(duì)幾何圖形的直觀觀察和理解,所以很多學(xué)生不確定通過(guò)計(jì)算得出的答案是否準(zhǔn)確。此時(shí)教師可以借助幾何畫(huà)板,展示點(diǎn)M的軌跡方程。如圖2,筆者用繪圖軟件作點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0),設(shè)置參數(shù)[k],作線(xiàn)段BD并度量出其長(zhǎng)度r2。以點(diǎn)B為圓心,BD長(zhǎng)為半徑作圓B;以點(diǎn)A為圓心,k·BD長(zhǎng)r1為半徑作圓A。圓B與圓A交于點(diǎn)M,改變BD的長(zhǎng)度,就可以得到點(diǎn)M的軌跡。
此過(guò)程使點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前,讓不可見(jiàn)的“代數(shù)關(guān)系”變成了可見(jiàn)的“幾何圖形”。上述教學(xué)中,筆者先用解析的方法進(jìn)行代數(shù)推理,再用信息技術(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生通過(guò)數(shù)和形的角度去理解這種比值構(gòu)圓的過(guò)程。高中數(shù)學(xué)中有很多概念具有較強(qiáng)的抽象性,所以在概念教學(xué)的過(guò)程中,教師可以借助信息技術(shù)讓學(xué)生直觀地感知概念,這對(duì)學(xué)生正確理解、掌握數(shù)學(xué)概念有很大的幫助。
二、用變形引導(dǎo)探究
通過(guò)以上過(guò)程,學(xué)生對(duì)信息技術(shù)在解決幾何問(wèn)題中的應(yīng)用有了一定的認(rèn)識(shí)。此時(shí)教師可以對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行拓展,增加變量,引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)再現(xiàn)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)信息技術(shù)的理解和運(yùn)用。
實(shí)驗(yàn)探究:若平面中一動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和B距離之積為定常數(shù)k,即[AM·MB=k(k>0)],請(qǐng)嘗試用繪圖軟件畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形。
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,我們可以把之前問(wèn)題中圓[A]的半徑改成[kBD],這在幾何畫(huà)板中非常容易實(shí)現(xiàn)。我們可以觀察到[k]的值會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生比較大的影響。圖3中兩個(gè)小圓是[k=2];類(lèi)似于“[∞]”符號(hào)的圖形是[k=4];接下來(lái)3條封閉曲線(xiàn)由“凹”到“凸”依次是[k]等于6、8、10。接下來(lái)可以讓有能力的學(xué)生用解析法來(lái)探究該圖形的解析式。
以上探究過(guò)程以課本的例題為源,改變情境,借助技術(shù)探究結(jié)果,看似和之前處理問(wèn)題的方式一致,但在化簡(jiǎn)的過(guò)程中分類(lèi)較多,對(duì)學(xué)生解析和操作能力的要求也較高。在此過(guò)程中,學(xué)生能夠自主利用信息技術(shù)解決問(wèn)題、思考數(shù)學(xué)現(xiàn)象、發(fā)展數(shù)學(xué)思維,為接下來(lái)系統(tǒng)學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)提供了認(rèn)知基礎(chǔ)和心理準(zhǔn)備。我們的教學(xué)應(yīng)該追求這樣一種境界——讓數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程合理,也要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)知的過(guò)程、思維的過(guò)程合理。[3]
三、理解代數(shù)關(guān)系
通過(guò)信息技術(shù)再現(xiàn)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡,化抽象的代數(shù)關(guān)系為直觀的幾何圖形,提高了學(xué)生利用信息技術(shù)分析和解決問(wèn)題的能力。但在考試過(guò)程中,學(xué)生往往只能利用抽象思維推理出題目中的代數(shù)關(guān)系,因此教學(xué)最后的落腳點(diǎn)還是要落在代數(shù)關(guān)系的計(jì)算上。而信息技術(shù)則作為一種認(rèn)知工具,能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)此代數(shù)關(guān)系的理解,提高其解決問(wèn)題的能力。
任務(wù)1:若平面中一動(dòng)點(diǎn)[M]到定點(diǎn)[A]和[B]距離之和為定常數(shù)(即[AM+BM=2a]),請(qǐng)嘗試用繪圖軟件畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形,并求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
任務(wù)2:若平面中一動(dòng)點(diǎn)[M]到定點(diǎn)[A]和[B]距離之差的絕對(duì)值為定常數(shù)(即[AM-BM=2a]),請(qǐng)嘗試用繪圖軟件畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形,并求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
按照之前的思路,解決這兩個(gè)問(wèn)題時(shí),教師可借助幾何畫(huà)板在繪制圖形的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中參數(shù)的變化對(duì)方程所表示的曲線(xiàn)形狀、大小的影響,通過(guò)演繹推理,最終完成任務(wù)。
從最初的問(wèn)題出發(fā),學(xué)生在構(gòu)圖軟件中再現(xiàn)了平面中一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A和B距離之比、之積、之和、之差(的絕對(duì)值)為定常數(shù)的點(diǎn)軌跡,加深了對(duì)代數(shù)關(guān)系的理解。信息技術(shù)的介入能使學(xué)生的邏輯推理方向更加明確,找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。信息技術(shù)在這里不僅僅是學(xué)具,更是學(xué)生認(rèn)知的孵化器,讓學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”[4],培育學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出:“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實(shí)效性。[5]”以上教學(xué)設(shè)計(jì)更加側(cè)重利用信息技術(shù)工具培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)的意識(shí),突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性,旨在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。在這一教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng),經(jīng)歷了探索和求新的過(guò)程,培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維。
作為教師,要努力為學(xué)生搭建基于信息技術(shù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),比如幾何畫(huà)板、網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板、GeoGebra和圖形計(jì)算器等,結(jié)合這些信息技術(shù)各自的特點(diǎn),在教學(xué)的過(guò)程中組合使用,以活躍學(xué)生的思維、拓寬其視野、培育其創(chuàng)新精神。
【參考文獻(xiàn)】
[1]章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2021:262,251.
[2]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)(A版)[M].北京:人民教育出版社,2020:11.
[3]王凱,蘇有生. 基于“兩個(gè)過(guò)程”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)——以“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(16):38-40.
[4]王凱. 基于“兩個(gè)過(guò)程”合理性理念下的探究課設(shè)計(jì)——以“余弦定理”的教學(xué)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2021(5):29-31.
[5]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[S].北京:人民教育出版社,2020:3.