鄒倫富

摘要：初中學(xué)業(yè)水平考試內(nèi)容要依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)化對“四基”的考查，著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.部分省市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題緊密貼合課程標(biāo)準(zhǔn)，牢牢扎根教材，體現(xiàn)能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航.對引導(dǎo)廣大師生回歸教材，研究教材，用好教材，結(jié)合教材欄目開展研究性學(xué)習(xí)，落實(shí)“雙減”政策，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具有導(dǎo)向作用.

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn);能力立意;研究教材

1 引言

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.2016年9月，教育部發(fā)布了《關(guān)于進(jìn)一步推進(jìn)高中階段學(xué)?？荚囌猩贫雀母锏闹笇?dǎo)意見》（以下簡稱《指導(dǎo)意見》）.《指導(dǎo)意見》指出：要依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)確定初中學(xué)業(yè)水平考試內(nèi)容，提高命題質(zhì)量，減少單純記憶、機(jī)械訓(xùn)練性質(zhì)的內(nèi)容，增強(qiáng)與學(xué)生生活、社會(huì)實(shí)際的聯(lián)系，注重考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.近年來，各省市初中學(xué)業(yè)水平考試和高中階段學(xué)校招生考試試題的命制按照《指導(dǎo)意見》精神，積極探究，涌現(xiàn)了不少緊密貼合課程標(biāo)準(zhǔn)，牢牢扎根教材，體現(xiàn)能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航的試題.下面淺析近幾年部分中考數(shù)學(xué)試題的“根”與“源”，供大家參考.

2 試題溯源

2.1植根教材正文

例1 （2021資陽中考第8題）圖1是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，恰好拼成一個(gè)大正方形ABCD.連結(jié)EG并延長交BC于點(diǎn)M.若AB=13，則GM的長為（? ）.

A.225

B.223

C.324

D.425

評(píng)析：人教版教材八年級(jí)下冊“勾股定理”一節(jié)中，介紹了運(yùn)用“趙爽弦圖”證明勾股定理的基本思路，即通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明勾股定理.“趙爽弦圖”曾被作為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.一般地，涉及“趙爽弦圖”的相關(guān)問題，需要弄清構(gòu)成“趙爽弦圖”中的兩個(gè)正方形、四個(gè)直角三角形的邊角以及面積間的等量關(guān)系.“趙爽弦圖”溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，能夠完美地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，由“趙爽弦圖”派生出的多種問題，對于考查學(xué)生的理性思維能力，提升核心素養(yǎng)具有較大的幫助，因此它備受各級(jí)命題者青睞.多年來，全國各省市州中考數(shù)學(xué)試題中，涉及“趙爽弦圖”的試題可以說不計(jì)其數(shù)，而且常考常新，值得我們關(guān)注.

本題大正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成.在直角三角形中利用勾股定理可求出BF=AE=GC=DH=2.過點(diǎn)M作MN⊥FC于點(diǎn)N，如圖2，由△EFG為等腰直角三角形可證得△GMN也為等腰直角三角形.設(shè)GN=MN=a，則NC=GC-GN=2-a.由tan∠FCB=BFCF=23=MNCN=a2-a，解得a=45，進(jìn)而可得GM=2GN=425.本題源于教材，整合了三角形、四邊形的性質(zhì)，對于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)較為合適.

2.2 源于閱讀與思考

例2 （2021廣東中考第9題）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p（p-a）（p-b）（p-c）. 這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若p=5，c=4，則此三角形面積的最大值為（? ）.

A.5

B.4

C.25

D.5

評(píng)析：人教版教材八年級(jí)下冊第16頁閱讀與思考安排了閱讀素材“海倫-秦九韶公式”，通過對這段材料的閱讀，可以幫助學(xué)生了解已知三角形的三邊求其面積的方法和求三角形面積的數(shù)學(xué)歷史.本題將教材閱讀與思考欄目提供的素材加以改編，給出三角形的半周長和c邊的長，要求學(xué)生靈活使用公式，消元減參，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，主要考查學(xué)生的閱讀理解、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)滲透了數(shù)學(xué)文化.

2.3 立足數(shù)學(xué)活動(dòng)

例3 （2018四川宜賓中考）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），直線y=14x與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線l為y=-1.

（1）求拋物線的解析式;

（2）在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

（3）已知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo).

評(píng)析：本題的第（3）問實(shí)際上是已知拋物線的方程，在題設(shè)條件下求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，一般思路是運(yùn)用勾股定理建立方程，再通過恒成立問題得出方程組，最后求出定點(diǎn)F的坐標(biāo).

人教版教材九年級(jí)上冊第54頁，在第二十二章學(xué)習(xí)結(jié)束之后安排了兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中活動(dòng)2要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中探求拋物線的解析式，滲透了拋物線的定義、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等.本題的第（3）問可以看作是對該數(shù)學(xué)活動(dòng)的延伸與拓廣.

2.4 扎根實(shí)驗(yàn)與探究

例4 （2021重慶中考第9題）如圖4，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（? ）.

A.1

B.2

C.2

D.22

評(píng)析：本題源于人教版教材八年級(jí)下冊第十八章“平行四邊形”中的實(shí)驗(yàn)與探究：

如圖5，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1D1的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，無論正方形A1B1C1D1繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的14.想一想，這是為什么？

本題以教材中的實(shí)驗(yàn)與探究為原型，適度改編和變形，給出四邊形MOND的面積，逆向求正方形的邊長.對于學(xué)生來講，試題來源于教材，面目親切，難度適中，體現(xiàn)了命題者考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)師生立足教材開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與探究的良苦用心.

2.5 拓展教材習(xí)題

例5 （2018四川綿陽第11題）如圖6，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，若AE=2，AD=6，則兩個(gè)三角形重疊部分的面積為（? ）.

A.2

B.3-2

C.3-1

D.3-3

評(píng)析：本題源于人教版教材八年級(jí)下冊習(xí)題的拓廣探索“如圖7，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，求證：AE2+AD2=2AC2”.

本題以教材習(xí)題為原型，在原題設(shè)條件下，增加線段AE，AD的長度，求出兩個(gè)三角形重疊部分的面積.解決本題需要首先求出△ACB的邊長，再添加輔助線，發(fā)現(xiàn)∠ADB=90°，且CD平分∠ADB，求出CD

分線段AB之比，進(jìn)而解決問題.此題與教材習(xí)題相比，問題的深度和廣度都得到進(jìn)一步的提升，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求.本題源于教材，高于教材，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，并且具有一定的選撥功能，是一道改編于教材的較為成功的試題.

3 啟示與思考

啟示一：深入學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)，研讀教材，理解教材，弄清教材體系、體例和各個(gè)欄目的作用，認(rèn)真體會(huì)編者的意圖是開展教學(xué)工作的前提，要用教材教，而不是教教材.在平常教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用好教材，結(jié)合教材安排的閱讀素材、實(shí)驗(yàn)與探索、數(shù)學(xué)活動(dòng)等，指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動(dòng);適時(shí)安排一些具有針對性的研究性學(xué)習(xí)課題，對拓展學(xué)生的視野，提高分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，無疑具有較大的幫助.

啟示二：當(dāng)前，一些學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中還存在著教學(xué)脫離課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，盲目使用教輔資料的現(xiàn)象，教師忙于歸納各種題型和套路，學(xué)生忙于機(jī)械“刷題”，課堂教學(xué)容量過大，教學(xué)節(jié)奏過快;教學(xué)過程中，學(xué)生獨(dú)立思考、感悟、反思的時(shí)間不多，師生交流、碰撞、合作的機(jī)會(huì)較少;所用的資料和考題絕大多數(shù)來自于現(xiàn)成的出版物或者網(wǎng)絡(luò)，缺少改編、自編、原創(chuàng)試題，影響教學(xué)質(zhì)量的進(jìn)一步提升.因此，建議教師在教學(xué)中要認(rèn)真揣摩課程標(biāo)準(zhǔn)，研究回歸教材的具體措施，增加整合、激活、落實(shí)教材的環(huán)節(jié)，細(xì)化對教材各個(gè)欄目作用的研究;鼓勵(lì)教師立足教材，積極開展改編、自編、原創(chuàng)試題的研究，形成具有校本特色的教材拓展資源，提升資料、試卷的針對性，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).