李鳴午

摘要：放縮法指的是借助于不等式所具有的傳遞性特點(diǎn)，結(jié)合所證的目標(biāo)展開合理放大與縮小的流程.有效地使用放縮法可以調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究與化解問(wèn)題的能力.本文中以不等式的證明、最值的求解、完全平方數(shù)以及不定方程等問(wèn)題為例，展開放縮法的實(shí)際運(yùn)用分析.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)解題；放縮法；數(shù)列；不等式；最值問(wèn)題

在最近的初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題乃至教材（比如蘇科版等）中都陸陸續(xù)續(xù)出現(xiàn)了借助于放縮法理論工具進(jìn)行解答的試題.可見，放縮法在初中數(shù)學(xué)解題中的重要性愈來(lái)愈明顯.筆者結(jié)合具體的例子嘗試著對(duì)放縮法在初中數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用展開分析，歸納提煉出解題的方法及思考路徑.通常而言，把代數(shù)式子的某個(gè)具體項(xiàng)或是某一項(xiàng)所涉及到的某個(gè)具體因式加以放大或是縮小處理即不等取代，從而使它向結(jié)論的方向轉(zhuǎn)化的一種數(shù)學(xué)方法，叫“放縮法”.比如，在證明A

1 不等式問(wèn)題中放縮法的運(yùn)用

放縮法在初中數(shù)學(xué)不等式習(xí)題中是常用的一種方法.借助于放縮法的特性，可以巧妙地化解有關(guān)不等式的證明問(wèn)題［1］.

例1現(xiàn)有n∈N+，證明：2（n+1-1）<1+12+13+……+1n<2n.

證明：因?yàn)?k=2k+k<2k－1+k=2（k－k－1）（k=1，2，……，n），所以1+12+13+……+1n<2［（1－0）+（2－1）+……+（n－n－1）］=2n.

再者，1k=2k+k>2k+1+k=2（k+1－k）（k=1，2，……，n）

因此，可以證得1+12+13+……+1n>2×［（2－1）+（3－2）+……+（n+1－n）］=2（n+1－1）.

綜上所述，原不等式成立.

2 最值問(wèn)題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一類習(xí)題是關(guān)于最值的問(wèn)題.一般情況下，當(dāng)難以順利地確定出最大值或者最小值時(shí)，合理運(yùn)用放縮法，便可以有效化解這一類最值問(wèn)題.

例2已知二次函數(shù)y=x2+ax+b的圖象和x軸2個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)依次是m，n，同時(shí)|m|+ |n|≤1.假定與上述的條件相吻合的b對(duì)應(yīng)的最大、最小值依次是P，Q，試求｜P|+ ｜Q|的數(shù)值［2］.

解：由m，n為一元二次方程x2+ax+b=0的2個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理，可知m+n=-a，mn=b.

又|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1.

由于原方程式存在實(shí)數(shù)根，因此Δ≥0，也就是a2-4b≥0.

所以b≤14a2≤14（|m|+|n|）2≤14，即P=14.

而4b=4mn=（m+n）2-（m-n）2≥（m+n）2-1≥-1，因此b≥-14，即Q=-14.

故|P|+|Q|=14+14=12.

3 完全平方數(shù)問(wèn)題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)完全平方數(shù)的問(wèn)題.由于完全平方數(shù)本身具有性質(zhì)上的獨(dú)特性，如果能夠有意識(shí)地把握住這一點(diǎn)，同時(shí)合理運(yùn)用好放縮法這一工具，能夠使這類問(wèn)題迎刃而解［3］.

例3求使m2+m+7屬于完全平方數(shù)的全部整數(shù)m的值.

解析：（1）如果m≥7，那么m+7≤2m.

因此，m2+m+7處于2個(gè)連續(xù)的整數(shù)的平方之間，而非完全平方數(shù).

（2）如果0

（3）如果m=0，那么m2+m+7的值為7，非完全平方數(shù).

（4）如果m<0，那么使n=-m，由于n為正整數(shù)，因此m2+m+7=n2-n+7.就二次三項(xiàng)式n2-n+7而言，如果n>7，那么-n<-7，且有-n+7<0.也就是n2-n+7（n-1）2.因此（n-1）2

如果n≤7，將n=1，2，3，4，5，6，7依次代入到n2-n+7中，通過(guò)運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，僅僅在n=2或7的時(shí)候，n2-n+7屬于完全平方數(shù).因?yàn)閚=-m，所以m=-2或-7.

綜上所述，與條件相吻合的整數(shù)m的值分別為1，6，-2，-7.

上述問(wèn)題的化解，不僅僅使同學(xué)們掌握了借助于放縮法判斷單個(gè)整數(shù)是否屬于完全平方數(shù)的手段，同時(shí)訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思想方法中重要的分類討論法.對(duì)上述問(wèn)題還能夠進(jìn)行以下的變式練習(xí)：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，求證4n2+4n+4不可能屬于完全平方數(shù).

4 不定方程問(wèn)題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，不定方程問(wèn)題相對(duì)比較復(fù)雜，如果按部就班地求解，步驟顯然會(huì)變得非常繁瑣.此時(shí)，恰當(dāng)?shù)厥褂梅趴s法可以達(dá)到事半功倍的效果［4］.

例4求滿足方程1x+1+1x+2+1x+3=1312的正整數(shù)解.

解：由x+1

綜上所述，方程的正整數(shù)解是x=1.

事實(shí)上，上述有關(guān)不定方程的相關(guān)問(wèn)題能夠進(jìn)一步推廣到以下例子.

例5已知1a+1b+1c+1d+136+145=1，同時(shí)a，b，c，d為4個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，試求a，b，c，d的值.

解：假定a=x，那么b=x+1，c=x+2，d=x+3.因此1x+1x+1+1x+2+1x+3+136+145=1.

化簡(jiǎn)，得1x+1x+1+1x+2+1x+3=5760.

由x＞0，可得

4x+3<1x+1x+1+1x+2+1x+3<4x.

因此，由4x+3<5760<4x，解得6957

由于x為正整數(shù)，因此x=2，3，4.

通過(guò)檢驗(yàn)x=3符合題意.

故a=3，b=4，c=5，d=6.

通過(guò)上述問(wèn)題的化解，不僅拓展了學(xué)生解題的思路，培育了學(xué)生運(yùn)用放縮法化解非確定性方程問(wèn)題的內(nèi)在能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的觀念.事實(shí)上，還可以將上述問(wèn)題進(jìn)行以下的變式練習(xí)：假定自然數(shù)x

綜上所述，基于以上4個(gè)不同的初中數(shù)學(xué)題型的探討及其解答，不難發(fā)現(xiàn)放縮法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有非常重要的作用.按照中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”的相關(guān)要求，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的有效運(yùn)用，并達(dá)到創(chuàng)新性使用的目的.因此，通過(guò)放縮法的運(yùn)用，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)”，并落實(shí)到初中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中去，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的良好習(xí)慣．

參考文獻(xiàn)：

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