王連國(guó) 傅海倫

[摘 ?要] 當(dāng)前基礎(chǔ)教育改革已經(jīng)從“以學(xué)科為中心”轉(zhuǎn)向“以學(xué)生為中心”，從“知識(shí)技能獲得”轉(zhuǎn)向“核心素養(yǎng)發(fā)展”，從“信息工具使用”轉(zhuǎn)向“學(xué)習(xí)方式變革”，而數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)對(duì)三個(gè)轉(zhuǎn)向的實(shí)現(xiàn)有無(wú)與倫比的獨(dú)特作用，是促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展，促進(jìn)核心素養(yǎng)落地的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 項(xiàng)目式學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);無(wú)蓋長(zhǎng)方體

提出研究問(wèn)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程目標(biāo)中明確提出，通過(guò)義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，能有發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的能力及分析、解決問(wèn)題的能力. 數(shù)學(xué)課程應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程. 如何能更好地實(shí)現(xiàn)新時(shí)代的育人目標(biāo)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地呢？基于以上思考，筆者嘗試進(jìn)行了數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的探索.

為了讓項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)容更貼近學(xué)生的生活，同時(shí)也為了充分利用教材內(nèi)容做延伸和拓展，筆者在初一學(xué)生學(xué)完“展開與折疊”內(nèi)容之后，向他們提出貼近生活的一個(gè)問(wèn)題：如何利用一張正方形紙片，制作一個(gè)盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒（不允許拼補(bǔ)）？通過(guò)該項(xiàng)目研究，我們發(fā)現(xiàn)一張紙片中蘊(yùn)藏了哪些數(shù)學(xué)秘密？

項(xiàng)目目標(biāo)與方案設(shè)計(jì)

對(duì)各小組（每組6人，共6個(gè)小組）預(yù)案進(jìn)行展示和討論，逐步篩選辨析，在此基礎(chǔ)上，對(duì)各小組的方案進(jìn)行優(yōu)化整合，形成項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的研究方案（如表1）.

筆者將項(xiàng)目下放給全體學(xué)生，讓學(xué)生在真實(shí)的情境中體驗(yàn)方案策劃、數(shù)據(jù)分析、實(shí)踐論證、反思改進(jìn)，再將學(xué)生生成的不同信息和資源收集起來(lái)作為項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的互動(dòng)性資源. 從對(duì)學(xué)生解決方案的調(diào)整中，筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)會(huì)了如何在團(tuán)隊(duì)協(xié)作中切實(shí)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

項(xiàng)目方案的實(shí)施與評(píng)價(jià)

第一階段：制作無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒匯報(bào)

小組A展示：在正方形的四個(gè)角分別畫一個(gè)相等的小正方形，然后沿著裁剪線把小正方形剪掉，從而折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒（如圖1）.

筆者發(fā)現(xiàn)在紙盒制作中，有些學(xué)生的小正方形裁剪得很不標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致組裝的紙盒很不協(xié)調(diào)，這些學(xué)生非常急切地向裁剪得精致美觀的學(xué)生請(qǐng)教. 本階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)是主動(dòng)而快樂(lè)的，通過(guò)動(dòng)手操作，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

第二階段：求紙盒容積的代數(shù)表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型

如果大正方形的邊長(zhǎng)為a，剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為h，你能用a和h來(lái)表示這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積V嗎？

（1）折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的高是______;

（2）折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積是_______;

（3）折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積V= _______.

本階段，學(xué)生對(duì)項(xiàng)目任務(wù)非常感興趣，他們借助圖形的展開和折疊（如圖2），一起經(jīng)歷確定目標(biāo)、設(shè)計(jì)圖紙、測(cè)量數(shù)據(jù)、制作模型、交流展示的過(guò)程，培養(yǎng)了動(dòng)手操作能力. 學(xué)生在積極主動(dòng)、活潑的氛圍下用字母表示數(shù)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用代數(shù)式的值去推斷“容積變化與剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)變化之間的聯(lián)系”，發(fā)展空間觀念，感受函數(shù)思想以及數(shù)學(xué)符號(hào)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造.

本階段讓學(xué)生體會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，在動(dòng)手實(shí)踐過(guò)程中體會(huì)建模的方法，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，為下一步分割逼近尋找最大值做好準(zhǔn)備.

第三階段：合作探究，分割逼近

各小組展示完成果后，筆者追問(wèn)：為什么你們剪裁粘貼后的長(zhǎng)方體形狀是不一樣的呢？造成區(qū)別的源頭在哪里？如何判斷容積最大？最大值是多少？因?yàn)槌跻粚W(xué)生還沒(méi)形成科學(xué)的研究方法，所以筆者引導(dǎo)他們從一般到特殊再到一般地進(jìn)行探究. 小組討論確定先通過(guò)代入具體數(shù)值計(jì)算紙盒容積，把原有方案進(jìn)一步細(xì)化與完善.

小組B展示：（如表2）.

當(dāng)a=20時(shí)，隨著h的變化，容積V如何變化？怎樣才能直觀形象地表達(dá)這種關(guān)系？

師：當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)等于3時(shí)，得到的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積是最大的嗎？

生：通過(guò)折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖3）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)為3 cm時(shí)，長(zhǎng)方體紙盒的容積并不一定是最大的，而應(yīng)該是當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)在3與4 cm之間時(shí)，長(zhǎng)方體紙盒的容積最大.

師：那么當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)在3與4 cm之間取何值時(shí)，長(zhǎng)方體紙盒的容積最大呢？我們可以在3與4 cm之間，按0.1 cm的間隔取值，然后代入計(jì)算.

小組合作，明確分工，完成統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖的制作.

小組C展示：（借助Excel完成探究過(guò)程）

師：通過(guò)這些數(shù)據(jù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)取什么值時(shí)，所得到的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積最大？最大值是多少？

生：結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表（如表3和表4）可以看出，當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)等于3.3 cm時(shí)，所得到的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積最大，此時(shí)紙盒的容積是592.548 cm3.

本階段讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、想象、猜測(cè)的過(guò)程，感悟正確的探究方向. 通過(guò)小組合作，歸納出結(jié)論，體會(huì)分割逼近的思想，體會(huì)探究學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

第四階段：?jiǎn)栴}升級(jí)，探求本質(zhì)

師：當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)等于3.3 cm時(shí)，所得到的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積是592.548 cm3. 這時(shí)得到的容積是最大的嗎？

我們繼續(xù)可以在3.3與3.4 cm之間，按0.01 cm的間隔取值，然后代入計(jì)算.

（借助Excel完成探究過(guò)程，運(yùn)用分割逼近的思想方法. ）

生：結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表（如表4）可以看出，當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)等于3.33 cm時(shí)，所得到的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積最大.

師：在方案一中，當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)在3與4 cm之間容積達(dá)到最大;在方案二中，當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)在3.3與3.4 cm之間容積達(dá)到最大. 以此類推，在3.3與3.4 cm之間分別以0.01 cm，0.001 cm，…為間隔計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積，即可得到小正方形邊長(zhǎng)為3.333333333…時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積最大.

師：事實(shí)上，運(yùn)用分割逼近的數(shù)學(xué)方法，在h=3的周圍不斷地縮小間距取值，可以發(fā)現(xiàn)紙盒中蘊(yùn)含著這樣一個(gè)秘密：當(dāng)h=a時(shí)，紙盒的容積最大，最大值為V=a3，此時(shí)V=592.

另外，如果我們改變a的值，重復(fù)上面的探索過(guò)程，那么經(jīng)過(guò)比較、歸納、猜想也可以發(fā)現(xiàn)該結(jié)論.

有了上一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決學(xué)生駕輕就熟，運(yùn)用圖像法、分割逼近思想找到了h的精確值. 但是學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)變量h與常量a的一般規(guī)律，因此筆者將原來(lái)的問(wèn)題調(diào)整為：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，當(dāng)h與a之間滿足什么關(guān)系時(shí)，折得的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積有最大值呢？

通過(guò)前面兩個(gè)階段的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生討論、反思，從而引發(fā)學(xué)生繼續(xù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究. 在這一過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)數(shù)字信息進(jìn)行處理，從特殊到一般，抽象思維與形象思維不斷轉(zhuǎn)換，從而發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，培養(yǎng)了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

感悟與思考

1. 開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 因?yàn)橹谱鳠o(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒項(xiàng)目設(shè)計(jì)的問(wèn)題具有開放性，讓學(xué)生在真實(shí)的情境中體驗(yàn)方案策劃、數(shù)據(jù)分析、實(shí)踐論證、反思改進(jìn)等，較好地激發(fā)了學(xué)生的好奇心和創(chuàng)造力. 在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，學(xué)生不再是對(duì)書本知識(shí)進(jìn)行機(jī)械認(rèn)知，而是在豐富的、充分的實(shí)踐中獲取知識(shí)，用學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)不斷建構(gòu)知識(shí)體系，不斷延伸、拓寬、創(chuàng)新思維，提升能力.

2. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，學(xué)生既可以通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題情境，將其抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題;又可以利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋結(jié)果的合理性. 比如，在該項(xiàng)目方案的實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生不僅要獨(dú)立思考問(wèn)題，還要向同伴清晰有條理地表述自己的思考過(guò)程與結(jié)果. 這就要求學(xué)生用動(dòng)作、口語(yǔ)或書面（圖像、符號(hào)、文字等）的形式描述展示知識(shí)技能、思維過(guò)程、思想方法，很好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.

3. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 要探究何時(shí)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒容積最大，需要學(xué)生綜合運(yùn)用圖形的展開與折疊、字母表示數(shù)、畫統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)解決問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步體驗(yàn)部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的融合運(yùn)用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化. 學(xué)生通過(guò)借助已有的代數(shù)式、收集有關(guān)數(shù)據(jù)去推斷無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒容積變化的規(guī)律，到建立函數(shù)模型揭示紙盒的秘密項(xiàng)目活動(dòng)， 進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)觀念、模型思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 該項(xiàng)目從學(xué)生熟悉的折紙活動(dòng)開始，進(jìn)而通過(guò)動(dòng)手操作、交流討論和抽象概括，形成數(shù)學(xué)問(wèn)題. 在發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律過(guò)程中，不是所有的學(xué)生都能考慮到用折線圖來(lái)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以及分割逼近的思想研究變量之間的關(guān)系，有的學(xué)生根據(jù)直觀感受得出結(jié)論，也有的學(xué)生根據(jù)具體數(shù)值猜測(cè)，不能否認(rèn)學(xué)生方法的多樣性，這時(shí)筆者追問(wèn)學(xué)生：你的猜測(cè)準(zhǔn)確嗎？這時(shí)的容積真的最大了嗎？還有可能再大一點(diǎn)嗎？你有更合理的方式來(lái)表達(dá)自己的觀點(diǎn)嗎？鼓勵(lì)學(xué)生小組之間進(jìn)行交流，讓學(xué)生的思維碰撞出火花，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

總之，本項(xiàng)目式學(xué)習(xí)讓學(xué)生獲得一種科學(xué)探究問(wèn)題的思想方法，即我們的研究目的不是找一個(gè)確切的最大值，而是找一個(gè)能解決問(wèn)題的方法. 在后面的學(xué)習(xí)中我們會(huì)遇到，這一種“逼近”的方法，早在三國(guó)時(shí)期就有了，稱為“二分法”. 在這樣的情境下，學(xué)生的問(wèn)題得到了實(shí)實(shí)在在的解決，而解決過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法也達(dá)到了潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的效果，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以落實(shí).

拓展與延伸

在學(xué)生探究完利用一張正方形紙片，制作一個(gè)盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒后，可以向?qū)W生提出這樣幾個(gè)問(wèn)題：（1）如果允許拼接，你還能用同樣的正方形紙片制作容積更大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒嗎？（2）用長(zhǎng)是80 cm、寬是50 cm的長(zhǎng)方形的紙做一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，做出的紙盒的最大容積是多少？（3）如果把正方形紙片改為長(zhǎng)方形紙片，結(jié)論又如何呢？以小組為單位，撰寫一份課題研究報(bào)告.

經(jīng)過(guò)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的探索和實(shí)施，學(xué)生在逐步形成解決方案的過(guò)程中，提高了他們的動(dòng)手操作能力以及思考問(wèn)題的能力. 在嘗試“項(xiàng)目任務(wù)”的活動(dòng)中又會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，如此螺旋式的上升過(guò)程極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和求知欲，激活他們的思維，同時(shí)也培養(yǎng)他們?cè)诨顒?dòng)中團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，以此充分還原學(xué)生的主體思維和主體能動(dòng)性.

項(xiàng)目學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的有效途徑，可以作為傳統(tǒng)課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充. 在教學(xué)實(shí)踐中，可以精選項(xiàng)目主題，每學(xué)期做一至兩個(gè)項(xiàng)目，有效地將兩種教學(xué)方式進(jìn)行融合，發(fā)揮各自所長(zhǎng)，共同提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素養(yǎng)，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).