潘正剛 周艷

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)教學(xué)除了要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思想方法，還應(yīng)著重發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識(shí)力. 文章以“乘法公式（1）”這一節(jié)課為例，從科學(xué)性、哲學(xué)性、方法性三個(gè)維度對(duì)數(shù)學(xué)公式教學(xué)進(jìn)行闡述和分析. 教師以數(shù)學(xué)史為依據(jù)，激發(fā)學(xué)生科學(xué)探究精神;豐富習(xí)題類型，培養(yǎng)學(xué)生哲學(xué)思辨精神;上位思考，整體設(shè)計(jì)，促成學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)研究的基本方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的可持續(xù)發(fā)展，發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的核心功能.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)識(shí)力;科學(xué)探究性;哲學(xué)思辨性;基本方法性

近日，筆者在一次線上教研活動(dòng)中觀摩了一節(jié)“乘法公式（1）”的網(wǎng)絡(luò)展示課. 本節(jié)課選自浙教版教材七年級(jí)下冊第三章，課中授課教師對(duì)公式教學(xué)進(jìn)行了積極的探索. 本節(jié)課以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)學(xué)對(duì)象，大膽進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，并運(yùn)用幾何直觀來解釋代數(shù)抽象;習(xí)題設(shè)計(jì)層次分明，針對(duì)性較強(qiáng);教學(xué)組織形式多樣，學(xué)生主體地位突出;數(shù)形結(jié)合、一般到特殊等數(shù)學(xué)思想方法貫穿整個(gè)課堂教學(xué)中. 以下為本節(jié)課的教學(xué)簡述.

教學(xué)片段回顧

片段1 上課伊始，學(xué)生先完成學(xué)習(xí)單上的4道題并觀察運(yùn)算結(jié)果，再在教師的引導(dǎo)下猜想規(guī)律，并用字母來表示規(guī)律：（a+b）（a-b）=a2-b2. 隨后學(xué)生相互合作，利用提前準(zhǔn)備好的兩張長方形紙片（如圖1），用拼圖的方式來驗(yàn)證猜想.

學(xué)生獨(dú)立思考，相互交流，在教師的指導(dǎo)下展示了兩種拼圖方式（如圖2），第一種拼圖陰影部分的面積為（a+b）（a-b），第二種拼圖陰影部分的面積為（a2-b2）.

緊接著，教師讓學(xué)生閱讀課本，并提出以下問題：（1）平方差公式的文字表述是什么？（2）平方差公式中字母a，b可以表示什么？

經(jīng)過簡短的思考，學(xué)生代表回答：平方差公式可以理解為兩數(shù)和與兩數(shù)差的積等于兩數(shù)平方差. 最后，經(jīng)過師生反復(fù)交流探討，歸納出：平方差公式中的a，b還可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.

片段2 學(xué)生獨(dú)立思考，辨析6個(gè)算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算，并說出自己的想法. 在該教學(xué)環(huán)節(jié)中，對(duì)于第（6）題（m+n+p）（m+n-p）能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算，學(xué)生提出了不同的觀點(diǎn). 教師進(jìn)行啟發(fā)式提問：既然第（6）題可以用平方差公式計(jì)算，那么a，b在這里分別指什么？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“整體思想”來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并總結(jié)歸納：判斷一個(gè)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算，關(guān)鍵要看它是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，其中公式中的a，b可以表示多項(xiàng)式.

片段3 學(xué)生自學(xué)課本例題.

教師通過“問題串”的形式，層層推進(jìn)，使得學(xué)生在運(yùn)用平方差公式時(shí)“有跡可循”“有法可依”.

問題1：第（1）題中的100是怎樣找到的？

問題2：寫成103×97=（110-7）（90+7）是否可行？

問題3：100和103、97之間有什么聯(lián)系？

問題4：在運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算時(shí)，你覺得應(yīng)該分哪些步驟進(jìn)行？

通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，總結(jié)方法：先計(jì)算出兩個(gè)乘數(shù)的平均數(shù)，從而確定a，進(jìn)一步用減法確定b，再化成平方差公式的形式.

通過以下兩組練習(xí)進(jìn)行平方差公式運(yùn)用的強(qiáng)化與鞏固.

練習(xí)1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算下面各題.

（1）102×98 ;

（2）50.5×49.5;

（3）20172-2016×2018 .

練習(xí)2：運(yùn)用平方差公式計(jì)算下面各題.

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1;

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）.

探究與分析

數(shù)學(xué)教育肩負(fù)著提升學(xué)生智育水平的責(zé)任與使命. 除了要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該著重發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識(shí)力. 所謂認(rèn)識(shí)力，就是人們對(duì)世界（客觀世界和主觀世界）各種事物的認(rèn)識(shí)能力. 具體地說，就是科學(xué)的視角、創(chuàng)造力、想象力、洞察力、判斷力、預(yù)見力，這些能力綜合起來就是認(rèn)識(shí)力[1]. 鑒于此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)兼具科學(xué)探究性、哲學(xué)思辨性和基本方法性.

數(shù)學(xué)公式是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的規(guī)律與結(jié)構(gòu)的高度概括，它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)符號(hào)建立的代數(shù)結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)公式貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的有機(jī)融合體. 平方差公式是初中學(xué)生所學(xué)的第一個(gè)代數(shù)公式，其重要地位在于平方差公式的研究方法對(duì)學(xué)習(xí)完全平方公式起著引導(dǎo)作用. 平方差公式和完全平方公式這兩個(gè)乘法公式則是因式分解、分式運(yùn)算和解一元二次方程的重要工具. 筆者以本節(jié)課為例，從科學(xué)探究性、哲學(xué)思辨性和基本方法性淺談如何以發(fā)展認(rèn)識(shí)力為目標(biāo)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì).

1. 以史為據(jù)，培養(yǎng)科學(xué)探究精神

本課用二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式的運(yùn)算作為平方差公式的引入，考慮了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;在隨后的幾何操作環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生從形的角度對(duì)平方差公式做出幾何解釋. 但在課堂實(shí)踐中，這兩個(gè)環(huán)節(jié)相對(duì)獨(dú)立，沒能激發(fā)學(xué)生的好奇心. 究其原因，可能有以下幾點(diǎn)：多項(xiàng)式的運(yùn)算難度低，無法激發(fā)學(xué)生對(duì)于觀察運(yùn)算結(jié)果的興趣，因此無法發(fā)現(xiàn)或提出有意義的數(shù)學(xué)問題;組合圖形的出現(xiàn)比較突兀，數(shù)形結(jié)合不自然，且因?yàn)榈谰叩南拗疲瑢W(xué)生思維受限，分析和解決問題的能力未得到有效提升. 綜上，學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的好奇心、主觀能動(dòng)性均有所不足. 根據(jù)筆者研究，現(xiàn)行的各版本教材多按照知識(shí)的邏輯順序進(jìn)行編排，即將平方差公式看成整式乘法的一個(gè)特例. 如此編排，符合數(shù)學(xué)知識(shí)自然生成的規(guī)律，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想. 教師往往將教學(xué)重點(diǎn)定位于代數(shù)表征，而以幾何表征作為輔助. 實(shí)際上，多數(shù)學(xué)生能在課堂學(xué)習(xí)中較輕松地完成平方差公式的代數(shù)推理，并能進(jìn)行一些基本的應(yīng)用. 在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，若繼續(xù)強(qiáng)化相應(yīng)的訓(xùn)練，學(xué)生也能夠熟練地運(yùn)用平方差公式. 但是，我們希望數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不止于此. 若學(xué)生能更深入地理解平方差公式的幾何表征，將有助于挖掘思維的深度;若能更廣泛地閱讀平方差公式的歷史，將有助于拓寬思維的廣度. 因此，作為數(shù)學(xué)教育者，我們不得不思考教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)是否可以是多樣的. 通過對(duì)平方差公式的進(jìn)一步了解，筆者認(rèn)為本課不僅可以滿足學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)提升的需要，還可以成為實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的好契機(jī).

從數(shù)學(xué)史的視角看，平方差公式蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和厚重的數(shù)學(xué)文化，它并非源自多項(xiàng)式的運(yùn)算，它的提出遠(yuǎn)早于基于符號(hào)代數(shù)的多項(xiàng)式概念和多項(xiàng)式乘法. 數(shù)學(xué)教師要想辦法觸及學(xué)生的心靈，不僅讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的美妙，還讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)史的厚重. 平方差公式跨越了三千多年的歷史，它在中國、古巴比倫、古希臘、古印度的著作中均有出現(xiàn)，在解方程、解直角三角形等方面有著重要的應(yīng)用. 到了16世紀(jì)，平方差公式的代數(shù)表征才由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)用字母給出. 平方差公式的發(fā)展歷程有沒有可能在個(gè)人身上重現(xiàn)呢？實(shí)事求是地說，要讓學(xué)生在課堂時(shí)間內(nèi)完全經(jīng)歷前人艱巨的數(shù)學(xué)創(chuàng)造工作是不現(xiàn)實(shí)的. 但翻閱浩瀚史書，從中選取部分史料改編成恰當(dāng)?shù)摹皩W(xué)習(xí)”材料，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)具有研究氛圍的學(xué)習(xí)環(huán)境，以史為據(jù)，感知學(xué)習(xí)平方差公式的必要性，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的積極性，卻是大有可為的. 文章設(shè)計(jì)了以下教學(xué)情境.

三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（如圖3），并指出：“勾實(shí)之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實(shí)方其里……股實(shí)之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實(shí)方其里.[2]”這段話探討了這樣的數(shù)學(xué)問題：如圖4所示，從邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，請依次回答以下問題：

（1）你能將陰影部分拼成哪些圖形？

（2）請用含有a，b的代數(shù)式表示所拼圖形的面積.

（3）這些等式一定成立嗎？你能用代數(shù)方法證明嗎？

選取中國數(shù)學(xué)史的材料創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境有以下目的：一是培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神，促進(jìn)學(xué)生樹立文化自信，同時(shí)在教學(xué)中落實(shí)課程育人、文化育人的目標(biāo);二是從數(shù)學(xué)的視角看學(xué)生感興趣的三國時(shí)代，貼近學(xué)生情感世界，可有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為數(shù)學(xué)再創(chuàng)造提供條件. 當(dāng)直覺和未經(jīng)分析的經(jīng)驗(yàn)在許多不同的背景下存在著共同的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，數(shù)學(xué)就有了任務(wù)，這就是以精確的和客觀的形式系統(tǒng)地闡明基本的結(jié)構(gòu)特征[3]. 第（1）問開放探究，發(fā)散思維，豐富課堂生成，有利于學(xué)生對(duì)比各種圖形結(jié)構(gòu)（如圖5、圖6、圖7、圖8），發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，體會(huì)平方差公式的幾何之源;第（2）問由形及數(shù)，用代數(shù)符號(hào)表達(dá)一般規(guī)律，初步認(rèn)識(shí)平方差公式符號(hào)表征的結(jié)構(gòu)性;第（3）問用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算證明公式的合理性，學(xué)生可以體會(huì)到代數(shù)運(yùn)算的邏輯推理特征對(duì)證明猜想的作用.

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注公式的形成過程，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的自然生成，有利于發(fā)展學(xué)生的想象能力，培育學(xué)生的科學(xué)探究精神.

2. 豐富習(xí)題類型，培養(yǎng)哲學(xué)思辨精神

幾何探究發(fā)現(xiàn)公式，代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)公式，理解和運(yùn)用公式是后續(xù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn). 筆者認(rèn)為理解公式，應(yīng)緊抓“字母可變，結(jié)構(gòu)不變”的本質(zhì);運(yùn)用公式，則有兩個(gè)層面的考慮，一是是否能用，二是是否有必要用. 本課中，教師著重從公式的代數(shù)表征和文字表征來引導(dǎo)學(xué)生理解公式，并設(shè)計(jì)了富有梯度的習(xí)題來強(qiáng)化公式的運(yùn)用. 從反饋來看，有部分學(xué)生對(duì)正確理解公式有障礙. 可能有以下原因：其一，學(xué)生對(duì)于平方差公式的結(jié)構(gòu)特征仍停留在基礎(chǔ)記憶的層面上，幾何表征的直觀背景還未起到積極的作用;其二，習(xí)題設(shè)計(jì)類型較單一，且過于關(guān)注整數(shù)的簡便計(jì)算，思維深度不足. 在教學(xué)中，教師要結(jié)合各圖形結(jié)構(gòu)，講清楚 “+b”“-b”表示的是分別加減相等的線段長度，即加減相同項(xiàng);代數(shù)運(yùn)算中“+b”“-b”的意義則是分別加上一組相反數(shù)，即加上相反項(xiàng). 教師還要引導(dǎo)學(xué)生辯證地看待公式的結(jié)構(gòu)特征. 另外，適當(dāng)豐富習(xí)題的類型也有助于學(xué)生理解和運(yùn)用公式. 以下3道題僅供參考.

（1）請你編寫三道難度不同的題目，使它們符合平方差公式的特征.

（2）請計(jì)算以下題目：

①（2x+5y）（2x-5y）;

②（-2+3n）（2-3n）;

③（an+b）（an-b）;

④a2（a+b）-b（a-b）（a+b）.

（3）已知兩個(gè)正數(shù)的和為24，積為44，求這兩個(gè)數(shù).

題（1）讓學(xué)生編題，能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生通過親身實(shí)踐，舉一反三，獲得不同的體會(huì)，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí). 題（2）使用一般性的題設(shè) “計(jì)算”代替指向性明確的題設(shè)“用平方差公式計(jì)算”，并在題目中設(shè)置了不符合平方差公式特征的問題，避免學(xué)生盲目套用公式，讓學(xué)生面對(duì)問題時(shí)，養(yǎng)成先分析運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算條件，再探索運(yùn)算策略的習(xí)慣，形成以公式結(jié)構(gòu)為目標(biāo)，等價(jià)變換運(yùn)算對(duì)象的能力. 在題（3）的問題解決中，不妨借鑒古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的故事，加深學(xué)生對(duì)公式的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維. 同時(shí)讓本課的教學(xué)設(shè)計(jì)始于數(shù)學(xué)史，終于數(shù)學(xué)史，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)平方差公式的必要性.

事實(shí)上，平方差公式的代數(shù)表征、文字表征和幾何表征之間的轉(zhuǎn)化、準(zhǔn)確判斷以及合理運(yùn)用公式計(jì)算這些目標(biāo)是很難在一節(jié)課里就達(dá)成的. 這就要求教學(xué)設(shè)計(jì)具有哲學(xué)性，在教學(xué)中有意識(shí)指導(dǎo)學(xué)生辯證地思考問題，培養(yǎng)哲學(xué)思辨精神，訓(xùn)練思辨思維.

3. 整體設(shè)計(jì)，掌握基本研究方法

數(shù)學(xué)公式本身是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，它是結(jié)構(gòu)特征明確的邏輯體系，它反映了數(shù)學(xué)研究對(duì)象空間形式和數(shù)量關(guān)系之間的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu). 學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，還要學(xué)習(xí)研究問題的一般方法. 所謂一般方法，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義、性質(zhì)、應(yīng)用等問題的研究方法，學(xué)生參與形成問題、歸納概括、構(gòu)建概念、應(yīng)用反思等實(shí)踐和思維活動(dòng)，在做的過程中學(xué)方法，在用的過程中學(xué)方法. 鑒于數(shù)學(xué)公式教學(xué)的相通性以及平方差公式和完全平方公式的緊密聯(lián)系，有必要上位思考“乘法公式”的整體教學(xué). 梳理平方差公式的教學(xué)，可以從研究思路、研究內(nèi)容和研究方法三個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)，形成具有系統(tǒng)性、可參考性的基本研究方法.

研究思路：如圖9所示.

研究內(nèi)容：探索幾何圖形的面積問題，總結(jié)歸納平方差公式，合理運(yùn)用平方差公式解決問題.

研究方法：開展實(shí)驗(yàn)，直觀觀察，發(fā)現(xiàn)不同解法中數(shù)量關(guān)系的不變性，猜想平方差公式，用代數(shù)運(yùn)算證明猜想.

實(shí)際上，平方差公式和完全平方公式起源相似、研究內(nèi)容相似、研究方法相似、研究用途相似. 類比以上研究“套路”，引導(dǎo)學(xué)生自主確定完全平方公式的研究思路、研究內(nèi)容和研究方法，有助于學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)公式的一般程序，學(xué)習(xí)研究問題的基本方法，有助于從心理層面改變學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

可見，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅只是對(duì)知識(shí)的加工傳授，還可以從科學(xué)性、哲學(xué)性和方法性三個(gè)維度展開設(shè)計(jì)，教師只有在深刻理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的基礎(chǔ)上，才能設(shè)計(jì)出契合學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展和數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的教學(xué)，培育核心素養(yǎng)，發(fā)展認(rèn)識(shí)力.

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