趙冬艷， 王懌磊， 石慧榮

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

1 引 言

由于航空航天、潛艇、鐵道車輛和船舶等工業(yè)領(lǐng)域中經(jīng)常使用柱殼結(jié)構(gòu)作為蒙皮或幕墻，而且柱殼壁厚相對較小，受外界激勵會出現(xiàn)噪聲和振動問題，而局部約束阻尼可以在引入較小質(zhì)量的情況下達到較好的減振效果，因此也廣泛應(yīng)用于薄壁柱殼結(jié)的減振中。

使用粘彈性層耗散結(jié)構(gòu)振動能量的約束阻尼減振在20世紀50年代已有應(yīng)用，早期Kerwin等[1]主要針對板梁結(jié)構(gòu)的約束阻尼減振。隨著薄壁柱殼的廣泛應(yīng)用，約束阻尼柱殼的減振研究也受到很多學者的關(guān)注[2-4]。Mahmoudkhani等[5]應(yīng)用Donnell殼理論和一階剪切變形理論研究了由溫升和空氣靜載荷引起預(yù)應(yīng)力約束阻尼柱殼的振動特性。Mokhtari等[6]基于Donnell-Moshtari殼理論和Lagrange方程建立了含分數(shù)階粘彈性芯層的約束阻尼柱殼模型，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)、分數(shù)階參數(shù)和耗散模量對振動頻率和損耗因子的影響。鄭玲等[7]采用局部敷設(shè)ACLD的方法，討論了不同敷設(shè)位置對于振動特性的影響。一些學者對開口柱殼的動態(tài)特性進行了研究，Wang等[8]基于Pasternak基獲取了厚壁開口柱殼的具有廣義邊界條件的三維精確解，并在ABAQUS中驗證了該方法的準確性和可靠性。Karlash[9]對開口和封閉壓電陶瓷柱殼進行了實驗測試，表明相對開口柱殼，封閉柱殼共振模態(tài)的機電耦合系更大。

為了獲得較好的減振效果，縮減約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量，很多學者也對柱殼的約束阻尼設(shè)置進行了優(yōu)化研究。Mohammadi等[10]利用遺傳算法和二次規(guī)劃方法對局部約束阻尼敷設(shè)位置、約束層和芯層厚度進行了優(yōu)化。但基于某單一性能指標的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并不能滿足工程實際中多模態(tài)減振問題[11]。石慧榮等[12]對分段敷設(shè)約束阻尼結(jié)構(gòu)進行了多目標優(yōu)化，從而在引入較小質(zhì)量的條件下有效縮減了多個模態(tài)的振動。Li等[13]利用多目標粒子群優(yōu)化算法對柱殼敷設(shè)壓電層位置進行了優(yōu)化，分析表明優(yōu)化后的主動減振效果良好。袁維東等[14]對復(fù)合阻尼柱殼的多模態(tài)振動問題進行了拓撲優(yōu)化，使敷設(shè)體積縮減為全覆蓋的50%時仍然具有良好減振效果。

綜上所述，目前主要是針對于整體圓柱殼模型進行振動分析及優(yōu)化，而工程應(yīng)用中局部開口柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)用非常廣泛，其連接狀態(tài)使得振動特性與整體柱殼存在較大差異，因此對局部約束阻尼開口柱殼的減振特性還有待進一步的深入分析。本文基于Sanders殼體理論和Lagrange方程建立了局部約束層阻尼開口柱殼動力學模型，對影響結(jié)構(gòu)振動的主要因素進行分析，為了有效縮減開口柱殼的前三階模態(tài)振動，利用 NSGA-II多目標優(yōu)化算法對引入的約束阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，并對裸殼和優(yōu)化前后約束阻尼結(jié)構(gòu)柱殼的動態(tài)特性進行了比較分析。

2 局部約束阻尼開口柱殼動力學模型

局部約束阻尼柱殼由基層、阻尼層和約束層組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。R為基層半徑，l為長度，hc為基層厚度；hv為阻尼層厚度，lv為阻尼單元長度，對應(yīng)的敷設(shè)角為αv，粘彈性層沿軸向和周向均勻相間布置；hp為約束層厚度，αp為約束層敷設(shè)角；柱坐標系原點位于基層的中面上，x為柱殼的軸向，y為柱殼的周向，z為柱殼的徑向，下標p，v和c分別為約束層、阻尼層和基層。

圖1 局部約束阻尼開口柱殼模型

假定各層之間理想粘接，無相對滑動，采用Sanders殼體理論表示應(yīng)力和位移之間的關(guān)系[15]，該理論能更準確地計算開口柱殼的固有頻率，此時位移場可以表示為

u(x,y,z,t)=u0(x,y,t)+zβx(x,y,t)

(1a)

v(x,y,z,t)=v0(x,y,t)+zβy(x,y,t)

(1b)

w(x,y,z,t)=w0(x,y,t)

(1c)

式中u，v和w為復(fù)合圓柱殼在x，y和z方向的位移矢量，對應(yīng)的基層中性面位移矢量用u0，v0和w0表示，矢量βy和βx為繞x和y軸的橫向變形，z為位移變換矩陣，各矢量和矩陣可表示為

(2)

圖2 各層扭轉(zhuǎn)變形

2.1 應(yīng)變-位移關(guān)系

(3)

根據(jù)Sanders理論，基層、阻尼層和約束層的應(yīng)變-位移關(guān)系表示為

εi=εt i+Zr iεr i

(4)

式中Zr為應(yīng)變變換矩陣，下標i=(c，v，p)，εt，εr和Zr的具體形式如下，

2.2 本構(gòu)方程

(5)

則各層的應(yīng)力可表示為

σi=Qiεi

(6)

式中Qi為剛度矩陣，可表示為

(7)

本文忽略各層纖維角的影響，根據(jù)文獻[16]，對于各向異性的Qi j可表示為

(8a)

各向同性時可以表示為

(8b)

2.3 邊界條件

對于約束阻尼開口柱殼的膜應(yīng)力N和彎曲應(yīng)力M向量，根據(jù)文獻[17]可以表示為

Ni=Bi·εt i，Mi=Ji·εr i

(9)

則各層的膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力向量形式為

(10a)

(10b)

式中膜應(yīng)力變換矩陣Bi和彎曲應(yīng)力變換矩陣Ji分別為

(11)

本文對于基層柱殼的周向兩端采用簡支邊界條件，根據(jù)簡支邊界條件有

約束層和阻尼層無約束，則有

2.4 位移形函數(shù)

根據(jù)Galerkin法，位移可表示為

U=Φq

(12)

式中Φ為結(jié)構(gòu)形函數(shù)矩陣，q為廣義結(jié)構(gòu)坐標系，分別為

(13a)

(13b)

式中m為柱殼周向波數(shù)，n為柱殼軸向的半波數(shù)，i=u，v，w，θx，θy，Φx，Φy，γx，γy。

將式(13)代入應(yīng)變-位移關(guān)系(4)，可得各層的應(yīng)變?yōu)?/p>

εt=ni·q

(14)

式中ni的具體形式如下：

式中0為零矩陣。

由于柱殼繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動變形較小，因此忽略其對系統(tǒng)動能的影響，根據(jù)虛功原理以及能量法，約束阻尼柱殼結(jié)構(gòu)的動能T可表示為

(15)

(16)

系統(tǒng)的總勢能U可表示為

(17)

H*(xi,yi)=[H(x-xi 2)-H(x-xi 1)]·

[H(y-yi 2)-H(y-yi 1)]

(18)

式中H為Heaviside函數(shù)。

根據(jù)Lagrange方程，

(19)

式中W為外力做功，L=T-U，F(xiàn)e為外加載荷。將式(15，17)代入方程(19)，可得系統(tǒng)的動力學方程為

(20a)

M=Mc+Mv+Mp，K=K1+K2+K3

(20b)

式中Mc，Mv和Mp分別為各層的質(zhì)量矩陣，K1～K3為系統(tǒng)的剛度子矩陣，具體形式為

(21)

3 約束阻尼開口柱殼分析參數(shù)

3.1 模態(tài)損耗因子

根據(jù)式(17)可以獲得各層的應(yīng)變能，依據(jù)模態(tài)應(yīng)變能法，第k階模態(tài)損耗因子可表示為

通過設(shè)置緊急切斷閥和SIS，不但實現(xiàn)了進、出口閥門的遠程控制，而且增加了安全聯(lián)鎖保護措施，提高了罐區(qū)的安全性能，符合國家安全監(jiān)管相關(guān)要求。

(22)

(23)

3.2 引入約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量比

對于敷設(shè)約束阻尼結(jié)構(gòu)而引入的質(zhì)量MCLD=Mv+Mp太多會影響開口柱殼應(yīng)用特性，本文定義MCLD與基殼質(zhì)量Mb的比值為

∈M=MCLD/Mb

(24)

式中Mv和Mp分別為粘彈性層和約束層的質(zhì)量。為了減小結(jié)構(gòu)振動，在考慮損耗因子最大化的基礎(chǔ)上，不能引入太大的質(zhì)量。

3.3 阻尼層占空比

(25)

4 約束阻尼開口柱殼振動影響因素

表1 各層材料屬性

4.1 粘彈性單元分段數(shù)

圖3 周向分段數(shù)對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

圖4 軸向分段數(shù)對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

可以看出，其他不變時，阻尼單元分段數(shù)的增加會導致阻尼層敷設(shè)面積減小，使得開口柱殼變形時阻尼結(jié)構(gòu)耗散的能量減小，損耗因子減小，但也注意到各模態(tài)形變不同，所以在分析中表現(xiàn)出阻尼分段數(shù)對變形較大的第二階模態(tài)損耗因子影響較大。因此，選取阻尼單元分段數(shù)時，要根據(jù)結(jié)構(gòu)的實際應(yīng)用確定，保證柱殼具有良好的減振特性。

4.2 粘彈性層厚度

圖5 粘彈性層厚度對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

4.3 約束層厚度

4.4 粘彈性單元占空比

4.5 約束層敷設(shè)角

圖6 約束層厚度對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

圖7 占空比對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

圖8 約束層敷設(shè)角對損耗因子和模態(tài)頻率的影響

5 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

5.1 NSGA-II優(yōu)化算法

針對開口約束阻尼柱殼，本文利用基于Pareto最優(yōu)的NSGA-II多目標優(yōu)化法對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計[18]。NSGA-II優(yōu)化算法可以隨機產(chǎn)生多種初始種群，對其進行非支配排序，然后利用遺傳算法的選擇、交叉和變異得到第一代子代種群，第二代后，子代種群與父代種群合并，再次排序，并計算每個非支配層中個體的擁擠度，選取合適的個體組成新的父代種群，通過遺傳算法產(chǎn)生新的子代種群，多次迭代后得到全局最優(yōu)。

5.2 設(shè)計變量

(26)

5.3 目標函數(shù)

為了滿足多種工程實際應(yīng)用要求，本文考慮縮減結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)的振動，使引入約束阻尼結(jié)構(gòu)在圖3所示的三階模態(tài)具有較大的能量耗散，獲得較好的綜合減振性能，因此將前三階模態(tài)損耗因子作為目標函數(shù)，通過優(yōu)化計算使其最大，則可以設(shè)定目標函數(shù)F(·) 為

(27)

式中g(shù)i(·)為損耗因子函數(shù)，下標i=1，2，3，此時使F(·)最小化，得到的開口約束阻尼柱殼的損耗因子最大。

5.4 優(yōu)化結(jié)果分析

5.4.1 優(yōu)化結(jié)果

對于約束層阻尼開口柱殼的多目標優(yōu)化，轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕臉O小值問題minF(·)，可得到如圖9所示的Pareto最優(yōu)解集?？梢钥闯?，在可行解集中，Pareto最優(yōu)解不唯一，各最優(yōu)解之間也沒有優(yōu)劣之別，只是Pareto最優(yōu)解所對應(yīng)的個體性能更好。本文利用NSGA-II算法原理，能夠?qū)areto域的最優(yōu)gi均勻地擴展到整個可行解集中，從而形成保持多樣性的最優(yōu)種群，選擇參加繁殖的gi產(chǎn)生的后代同其父代個體共同競爭來產(chǎn)生下一代種群，使存留gi保持更好的優(yōu)良性，由此獲取的最優(yōu)解能夠更好地滿足約束阻尼開口柱殼的應(yīng)用特性。

圖9 Pareto前沿

由表2優(yōu)化前后的設(shè)計結(jié)果可以看出，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)相對于優(yōu)化前約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量比∈M由 90.33% 減小到了37.8%，有效縮減了系統(tǒng)質(zhì)量，此時引入的約束阻尼可以有效耗散系統(tǒng)振動能量，使得結(jié)構(gòu)的前三階模態(tài)損耗因子都顯著增加，其中第二階模態(tài)柱殼周向中部變形最大，因此損耗因子增幅也最大；而且也可以看出，雖然優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)敷設(shè)角αp減小了約36°，阻尼層和約束層厚度都有所減小，但合理選取粘彈性單元分段數(shù)和占空比，能夠在引入較小阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量的條件下，進一步使開口柱殼結(jié)構(gòu)具有良好的減振性能。

表2 優(yōu)化前后參數(shù)

5.4.2 優(yōu)化前后動態(tài)特性分析

圖10是優(yōu)化前后柱殼中點施加100 N徑向簡諧作用力后得到的頻率響應(yīng)曲線。

圖11 開口柱殼頻率響應(yīng)曲線

可以看出，相對裸殼，敷設(shè)約束阻尼結(jié)構(gòu)可有效減小前三階模態(tài)幅值，優(yōu)化結(jié)構(gòu)幅值縮減更加顯著，并且相對裸殼的模態(tài)頻率變化更小。從圖10(a)可以看出，在以徑向振動為主的第二階模態(tài)處，優(yōu)化前的徑向幅值 2.18×10-3m對應(yīng)頻率 88.2 Hz，優(yōu)化后的模態(tài)頻率為 107.2 Hz，峰值變?yōu)?.9×10-3m，較裸殼在第二階模態(tài) 120.26 Hz 處的峰值0.114 m大幅縮減；圖10(b)表明，優(yōu)化結(jié)構(gòu)對應(yīng)的前三階模態(tài)在切向的振動較優(yōu)化前和裸殼均有所減小，但優(yōu)化結(jié)構(gòu)的切向振動縮減有限；圖10(c)中，柱殼的最大軸向振動幅值出現(xiàn)在第三階模態(tài)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的軸向振幅也相對較小。同時通過柱殼三個方向的振動響應(yīng)可以看出，優(yōu)化結(jié)構(gòu)較裸殼模態(tài)頻率變化更小，而且由表2知其引入質(zhì)量僅為37.8%，因此優(yōu)化結(jié)構(gòu)可在引入較小阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量條件下，在改變固有頻率較小時有效縮減柱殼振動，因此更加有利于實際應(yīng)用需求。

6 結(jié) 論

通過對影響模態(tài)頻率和損耗因子參數(shù)的分析和對約束阻尼開口柱殼進行結(jié)構(gòu)的NSGA-II優(yōu)化，可以得到以下一些結(jié)論。

(1) 根據(jù)Lagrange方程以及Sanders殼體理論能夠準確建立局部約束阻尼柱殼模型。

(2) 增加阻尼單元周向與軸向分段數(shù)和約束層厚度，損耗因子減小；增大約束層敷設(shè)角、阻尼單元占空比和阻尼層厚度可以增加結(jié)構(gòu)的損耗因子；粘彈性層和約束層厚度越大，模態(tài)頻率下降越多，占空比增加，模態(tài)頻率也隨之增大，阻尼單元分度數(shù)對模態(tài)頻率幾乎無影響。

(3) 利用NSGA-II法對約束阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，能夠在大幅縮減約束阻尼結(jié)構(gòu)引入質(zhì)量的情況下，有效抑制開口柱殼結(jié)構(gòu)的振動。