康厚軍， 朱國(guó)敬， 蘇瀟陽(yáng)

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082； 2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004)

1 引 言

拱橋是一種古老的橋梁結(jié)構(gòu)，其兩端除了產(chǎn)生豎向反力之外，還產(chǎn)生可以大大降低拱截面彎矩的水平反力。大多數(shù)拱橋施工采用斜拉懸臂澆筑法，考慮到斜拉索和拱橋主體結(jié)構(gòu)的耦合振動(dòng)，合攏過(guò)程中的振動(dòng)狀態(tài)尤其復(fù)雜。因此，圍繞拱橋施工中的動(dòng)力學(xué)行為，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在拱橋建模方面做了大量研究。

丁毅[1]考慮了豎轉(zhuǎn)加平轉(zhuǎn)施工的鋼箱拱橋，通過(guò)將其豎轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)過(guò)程分解成不同角度的靜力模型，借助正裝迭代法求得索力，進(jìn)一步分析了拱橋豎轉(zhuǎn)施工過(guò)程的靜動(dòng)力和穩(wěn)定性性能。孟繁義[2]建立臺(tái)風(fēng)區(qū)的東莞水道特大橋有限元三維模型，對(duì)其主拱吊裝階段的動(dòng)力特性進(jìn)行了計(jì)算分析，為該橋的順利建成提供了科學(xué)數(shù)據(jù)。向中富等[3]實(shí)際研究了拱橋拱架施工過(guò)程中的結(jié)構(gòu)行為分析方法與模型，并通過(guò)實(shí)橋分析、模型試驗(yàn)和實(shí)橋測(cè)試結(jié)果比較證明了其分析方法的可行性。訾銀輝等[4]在斜拉懸臂澆筑施工拱橋正裝計(jì)算中引入優(yōu)化理論，采用一階分析法進(jìn)行迭代優(yōu)化，有效改善了施工階段拱圈截面的受力。康厚軍等[5-7]基于索拱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，考慮拱結(jié)構(gòu)的幾何方程和物理方程，并根據(jù)索拱自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，利用半解析方法-傳遞矩陣法對(duì)索拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)及面外自由振動(dòng)特征值問(wèn)題進(jìn)行了求解。文獻(xiàn)[8,9]均采用有限元程序 Midas 計(jì)算并探討了鋼管混凝土拱橋的靜力特性、動(dòng)力特性和施工過(guò)程以及成橋后的穩(wěn)定性能，為鋼管混凝土拱橋的設(shè)計(jì)和施工提供了參考。易壯鵬等[10]提出了多索支撐拱的全局分析模型，將整體分為多個(gè)部分，再將各個(gè)部分組裝為整體，以模擬拱橋的斜拉索架設(shè)施工，并對(duì)平面內(nèi)自由振動(dòng)特性進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)研究。

多體系統(tǒng)傳遞矩陣法是一種采用矩陣來(lái)描述多輸入多輸出的系統(tǒng)內(nèi)部輸入與輸出之間關(guān)系的手段和方法，近年廣泛應(yīng)用在橋梁體系動(dòng)力學(xué)特性研究中。芮筱亭等[11,12]發(fā)展了多體系統(tǒng)傳遞矩陣法，研究了多體系統(tǒng)發(fā)射動(dòng)力學(xué)理論與技術(shù)，并將其應(yīng)用在火箭和火炮武器射擊精度和安全性設(shè)計(jì)與試驗(yàn)研究中。謝維東[13]提出了上中下承式三種拱橋整橋面內(nèi)自由振動(dòng)特性的通用簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型(拱-彈簧-梁組合體系)，并利用哈密頓原理推導(dǎo)出其面內(nèi)自由振動(dòng)的控制微分方程，結(jié)合傳遞矩陣法求解其特征值。蘇瀟陽(yáng)等[14]建立了斜拉橋的多索梁模型，并考慮索和梁的軸向和橫向振動(dòng)的微分方程，基于傳遞矩陣法的基本原理對(duì)模型自由振動(dòng)特征值進(jìn)行求解，并與ANSYS得出的精確解進(jìn)行對(duì)比，相對(duì)誤差很小?？岛褴姷萚15]建立了漂浮式獨(dú)塔斜拉橋新的三梁離散彈簧整體動(dòng)力學(xué)模型，并利用傳遞矩陣法結(jié)合相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)理論關(guān)于其進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[16,17]基于漂浮式獨(dú)塔斜拉橋三梁離散彈簧動(dòng)力學(xué)模型，采用傳遞矩陣法關(guān)于拉索對(duì)斜拉橋豎向振動(dòng)頻率的影響進(jìn)行了研究，并介紹了采用傳遞矩陣法對(duì)不同體系斜拉橋的處理方法。吉伯海等[18]充分考慮了斜拉橋的延伸、塔的彎矩和軸力引起的位移及轉(zhuǎn)角等因素，利用傳遞矩陣法并結(jié)合斜拉橋自身的特點(diǎn)確定了聯(lián)立方程組所需的若干邊界條件和兼容條件，從而實(shí)現(xiàn)斜拉橋內(nèi)力和位移的求解，為大型橋梁結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)提供了新型便捷的計(jì)算方法。劉利等[19]應(yīng)用傳遞矩陣法對(duì)徑向均布荷載作用下的圓拱面內(nèi)屈曲微分方程進(jìn)行解答，利用邊界條件導(dǎo)出其特征方程，從而求得其屈曲荷載。

綜上所述，現(xiàn)有的對(duì)索拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究多為有限元方法，但是這種方法的精度依賴于建模方法以及單元?jiǎng)澐忠?guī)則，并且在模型參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，有限元方法會(huì)因?yàn)橹匦陆６兊梅浅?fù)雜[20]，因此對(duì)于模型的參數(shù)分析效果稍顯不足。傳遞矩陣法在機(jī)械、軍工、航空航天和土木工程等領(lǐng)域雖有廣泛應(yīng)用，但用于拱橋施工過(guò)程中動(dòng)力學(xué)分析的研究尚未見(jiàn)到。與此同時(shí)，拱橋在施工過(guò)程中，合攏前的最大懸臂狀態(tài)和剛合攏的索-拱階段為最危險(xiǎn)的施工工況。鑒于此，本文基于拱橋的力學(xué)模型，考慮索拱結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合索拱耦合處的位移協(xié)調(diào)條件，將傳遞矩陣法應(yīng)用在拱橋合攏過(guò)程的動(dòng)力學(xué)分析中，對(duì)其面內(nèi)特征值問(wèn)題進(jìn)行求解。同時(shí)，采用有限元軟件建立了拱橋施工合攏時(shí)全跨和合攏前半跨的有限元模型，并將頻率和振型與本文方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性，同時(shí)也建立了該類(lèi)橋型施工過(guò)程中面內(nèi)豎彎剛度的評(píng)估方法。

2 索拱模型

2.1 基本構(gòu)型及假設(shè)

圖1 拱橋合攏狀態(tài)模型

(1) 為便于求解拱結(jié)構(gòu)的微分方程，將拱局部坐標(biāo)系設(shè)為極坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，拱的兩個(gè)線位移分別為徑向位移和切向位移。

(2) 不考慮拱剪切變形的影響，即按照歐拉-伯努利梁的振動(dòng)方程求解。

(3) 索的垂度和初始靜態(tài)構(gòu)型忽略不計(jì)。

(4) 僅考慮索和拱的小幅振動(dòng)，且拱軸線不伸縮。

2.2 傳遞矩陣求解

首先，考慮拱的平面內(nèi)振動(dòng)微分方程[5],

(1)

?2v/?t2=-ω2v

(2)

(3)

方程(3)對(duì)應(yīng)的特征方程為

r5+2r3+(1-x2)r=0

(4)

解得特征方程(4)的根有

因此，方程(1)的解可以寫(xiě)成級(jí)數(shù)形式為

(5)

(6)

式中Cj(j=1,2,…,6)為實(shí)常數(shù)系數(shù)。

對(duì)x的大小分類(lèi)討論。

此時(shí)，根據(jù)力的平衡條件、內(nèi)力與變形的物理關(guān)系，可得到切向位移u、徑向位移v、相應(yīng)于拱軸方向上的轉(zhuǎn)角θ、彎矩M、剪力Q和軸向力N的表達(dá)式分別為

T15C5+T16C6

(7)

(8)

T35C5+T36C6

(9)

(10)

(11)

(12)

元素T11～T65見(jiàn)附錄1。

同樣得到式(7～12)，只是元素Ti j不同，見(jiàn)附錄2。

其次考慮索的縱橫向振動(dòng)微分方程為

(13)

(14)

Uc(xc,t)=uc(xc)Gc u(t)

(15)

Vc(xc,t)=vc(xc)Gc v(t)

(16)

式中uc(xc)和vc(xc)分別為索的縱向和橫向振動(dòng)振型函數(shù)，通過(guò)求解偏微分方程(13，14)可以得到uc(xc)和vc(xc)通解形式為

uc(xc)=C7sin(βcxc)+C8cos(βcxc)

(17)

vc(xc)=C9sin(δcxc)+C10cos(δcxc)

(18)

式中Ci(i=7,…,10)為實(shí)常數(shù)系數(shù)，且

根據(jù)力-位移關(guān)系，由式(17，18)可以推導(dǎo)出軸力N和剪力Q的表達(dá)式為

Nc(xc)=C7EcAcβccos(βcxc)-C8EcAcβcsin(βcxc)

(19)

Qc(xc)=C9N0δccos(δcxc)-C10N0δcsin(δcxc)

(20)

2.3 傳遞矩陣法理論

將式(7～12)寫(xiě)成如下矩陣形式，

Za=TaCa

(21)

式中Za=[uavaθaMaQaNa]T,且

Ca=[C1C2C3C4C5C6]T

x<1或x>1時(shí)，Ta的元素T11～T65分別見(jiàn)附錄1和附錄2。

將式(17～20)寫(xiě)成矩陣形式為

Zc=TcCc

(22)

式中Zc=[ucvcNcQc]T,Cc=[C7C8C9C10]T,Tc元素T11～T44見(jiàn)附錄3。

(23)

將式(23)代入式(21)可得

(24)

(25)

圖2 拱段與索段傳遞

(26)

將式(26)代入式(22)可得

(27)

令式(27)的xc=lm,則有

(28)

(29)

對(duì)拱左半部分m個(gè)索拱節(jié)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，如圖3(a)所示，由受力分析和位移關(guān)系可得

(30)

將式(30)寫(xiě)成矩陣的形式,

(31)

對(duì)拱右半部分n-m個(gè)索拱節(jié)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，如圖3(b)所示，由受力分析和位移關(guān)系可得

(32)

將式(32)寫(xiě)成矩陣的形式，

(33)

在拱節(jié)點(diǎn)i右側(cè)，有傳遞方程

(34)

將式(25,28,29,31,33)代入式(34)，可以得到整個(gè)體系的傳遞方程

(35)

圖3 節(jié)點(diǎn)受力分析

此外，考慮到索拱節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)條件，得到左側(cè)m個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)方程為

(36)

將式(36)寫(xiě)成矩陣形式，即

(37)

將式(25，28，29，31)代入式(37)，得到在索拱結(jié)構(gòu)左半部分m(m

(i=2,3,4,…,m)(38)

右側(cè)n-m個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)方程為

(39)

將式(39)寫(xiě)成矩陣形式，即

(40)

將式(26，28，29，31，33)代入式(39)，右半部分n-m(m

(i=m+1,m+2,…,n)(41)

最后，聯(lián)立式(35,38,41)，可以得到整個(gè)系統(tǒng)的特征值方程

UallZall=0

(42)

式中Uall是整個(gè)系統(tǒng)的傳遞矩陣，Zall是索拱所有邊界的總狀態(tài)向量，含有4n+12個(gè)元素，即

(43)

若系統(tǒng)有非零解，必然有

(44)

式(44)即為系統(tǒng)的特征方程，利用數(shù)值分析軟件MATLAB可以很容易得到其數(shù)值解。

3 算例分析

3.1 模態(tài)分析

以某拱橋合攏(圖4)為例，對(duì)其面內(nèi)特征值問(wèn)題進(jìn)行求解。拱橋和斜拉索參數(shù)如下，拱的半徑為100 m，開(kāi)角為100°，截面尺寸為0.3 m×0.8 m，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為1872 kg/m，彈性模量Eb=3.45e10 Pa；斜拉索共8根，對(duì)稱(chēng)分布在拱的兩側(cè)，彈性模量Ec=2.1e11 Pa，面積均為A=0.005 m2，初始索力均為N=656250 N，索的作用位置為10°,20°,30°和40°，而索與作用點(diǎn)切線方向的夾角分別為60°,50°,40°和30°，索的錨固點(diǎn)與拱端點(diǎn)水平距離5 m。

圖4 某拱橋合攏狀態(tài)模型

為了驗(yàn)證本文理論的正確性，采用有限元軟件ANSYS15.0 建立相應(yīng)的索拱模型，拱采用Beam3單元模擬，索采用Link1單元模擬，共劃分為510個(gè)單元。表1列出了本文理論和有限元模擬得到的結(jié)構(gòu)前十階頻率?？梢钥闯觯疚睦碚撚?jì)算得到的頻率和有限元模擬得到的頻率相對(duì)誤差均未超過(guò)4%，最大誤差僅第十階的3.99%。圖5給出上述兩種方法計(jì)算得出的系統(tǒng)前六階模態(tài)。可以看出，本文理論的前四階模態(tài)和有限元模擬的結(jié)果一致，而第五階和第六階模態(tài)與有限元的結(jié)果剛好相反，原因可能是第五階和第六階頻率比較接近，從而出現(xiàn)了振型互換的現(xiàn)象，但對(duì)模態(tài)影響不大。從圖5和表1可以看出，兩種方法得出的頻率和振型相互吻合，說(shuō)明本文的理論方法和建立模型的正確性，可以用在同類(lèi)型拱橋合攏過(guò)程的基本動(dòng)力學(xué)特性分析中。

表1 大跨拱橋合攏狀態(tài)模型的前10階頻率Tab.1 The first 10 frequencies of the long -span arch bridge closed state model

圖5 大跨拱橋合攏狀態(tài)模型前六階振型

為了進(jìn)一步說(shuō)明傳遞矩陣法解決此類(lèi)橋梁合攏過(guò)程中動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的適用性，本文采用上述理論和方法對(duì)拱橋合攏前的半跨模型進(jìn)行了面內(nèi)特征值求解。表2給出了拱橋合攏前半跨模型的本文理論和有限元模型的前十階頻率，可以看出，半跨模型自振頻率的計(jì)算結(jié)果與有限元模型的結(jié)果相對(duì)誤差較小，涉及拱的全局模態(tài)誤差稍大，但總體吻合良好。圖6給出了上述兩種方法計(jì)算得出的前五階模態(tài)，可以看出本文理論的前五階模態(tài)和有限元模擬的前五階模態(tài)也相互吻合，進(jìn)一步說(shuō)明了本文理論和方法的正確性。

表2 拱橋合攏前模型的前10階頻率Tab.2 The first 10 frequencies of the model before the closure of the arch bridge

圖6 拱橋合攏前模型的前五階模態(tài)

3.2 參數(shù)分析

圖7給出了模型前六階頻率隨著拉索彈性模量變化的影響曲線?？紤]到實(shí)際施工時(shí)不同扣索材料的選取，拉索的彈性模量變化范圍從100 GPa增加到250 GPa，可以看出隨著索彈性模量的增加，系統(tǒng)前六階頻率呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，原因在于提高拉索的彈性模量會(huì)增大索對(duì)拱的支撐，提高了對(duì)拱的約束，從而增加了系統(tǒng)的自振頻率。此外，圖中相鄰兩階頻率之間出現(xiàn)了相互靠近又相互分離的現(xiàn)象，即結(jié)構(gòu)中普遍存在Veering現(xiàn)象。此時(shí)兩階模態(tài)的頻率十分接近，可能在一些情況產(chǎn)生1∶1 內(nèi)共振并發(fā)生振型的互換。

圖7 索的彈性模量對(duì)模型前六階頻率的影響

圖9給出了模型前六階頻率隨著拉索的初始索力變化的影響曲線。拉索的初始索力變化范圍從0.65 MN增加到1 MN，可以看出模型的前六階頻率隨著初始索力的增大而增大，這是因?yàn)樵黾铀髁?huì)造成系統(tǒng)的幾何剛度增大，從而系統(tǒng)的自振頻率也會(huì)增大。此外，與圖7類(lèi)似，圖9也出現(xiàn)了Veering現(xiàn)象，說(shuō)明索拱結(jié)構(gòu)很容易出現(xiàn)相鄰兩階頻率產(chǎn)生 1∶1 內(nèi)共振并發(fā)生振型互換的現(xiàn)象，工程中應(yīng)注意初始索力的選取，以避免Veering現(xiàn)象的發(fā)生。

圖8 拱橋半徑對(duì)模型前六階頻率的影響

圖9 初始索力對(duì)模型前六階頻率的影響

4 結(jié) 論

本文基于拱橋的力學(xué)模型，考慮索拱結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合索拱耦合處的位移協(xié)調(diào)條件，將傳遞矩陣法應(yīng)用在拱橋合攏過(guò)程的動(dòng)力學(xué)分析中，并對(duì)其合攏狀態(tài)前后的自振頻率進(jìn)行特征值求解，建立了該類(lèi)橋型施工過(guò)程中面內(nèi)豎彎剛度的評(píng)估方法。以某拱橋合攏模型為例，對(duì)其面內(nèi)特征值問(wèn)題進(jìn)行了求解，并采用有限元模擬對(duì)本文理論得到的頻率和模態(tài)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果吻合較好。同時(shí)，針對(duì)前六階頻率進(jìn)行了詳細(xì)的參數(shù)分析，得到以下結(jié)論：

(1) 本文理論和方法計(jì)算得出的拱橋合攏時(shí)全跨模型和合攏前半跨模型的頻率和振型都與ANSYS有限元模型的計(jì)算結(jié)果一致，說(shuō)明了本文理論和方法的正確性，可以應(yīng)用在同類(lèi)型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。

(2) 增加拉索的彈性模量，增大了拉索對(duì)拱的支撐，提高了對(duì)拱的約束，因此會(huì)增大結(jié)構(gòu)的前六階頻率。此外，各相鄰階頻率之間出現(xiàn)了Veering現(xiàn)象，工程中應(yīng)選取合適的拉索材料以避免內(nèi)共振現(xiàn)象的發(fā)生。

(3) 增大拉索的初始索力，會(huì)增大系統(tǒng)的幾何剛度，從而增大系統(tǒng)的自振頻率。隨著初始索力的增加，相鄰各階頻率之間也會(huì)發(fā)生Veering現(xiàn)象，工程中應(yīng)選取合適的拉索初始索力進(jìn)行施工。

(4) 增加拱橋的半徑，會(huì)減小結(jié)構(gòu)的前六階頻率。當(dāng)拱橋的半徑增加時(shí)，使得結(jié)構(gòu)的等效長(zhǎng)度增加，減小了結(jié)構(gòu)的等效剛度，從而對(duì)結(jié)構(gòu)的自振頻率起到了減小的作用。

附錄1:

附錄2：

附錄3:

T11=sin(βcxc),T12=cos(βcxc),T23=sin(δcxc)

T44=-N0δcsin(δcxc),T32=-EcAcβcsin(βcxc)

T43=N0δccos(δcxc),T31=EcAcβccos(βcxc)

T24=cos(δcxc)