姚晉秋

[摘? 要] 2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷的8道單項(xiàng)選擇題，主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，體現(xiàn)了新高考對(duì)學(xué)生綜合能力的考查. 在考場(chǎng)上，學(xué)生應(yīng)當(dāng)充分利用題設(shè)和選擇支兩方面提供的信息，運(yùn)用多種解題方法，準(zhǔn)確而迅速地完成單項(xiàng)選擇題是獲取高分的關(guān)鍵. 特殊化策略無疑是多種解題方法中最為常見也最為有效的得分手段.

[關(guān)鍵詞] 新高考;單項(xiàng)選擇題;特殊化策略

特殊化策略即視原問題為一般，構(gòu)造其特殊問題，通過對(duì)特殊問題的解決而獲得原問題的解決. 特殊化策略作為化歸策略，基本思想是很簡(jiǎn)單的，相對(duì)于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡(jiǎn)單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決[1]. 因此，我們?cè)谧鰡雾?xiàng)選擇題時(shí)，如果直接正面求解有困難，常常會(huì)想到將問題轉(zhuǎn)化為它的特殊情況，特殊情況下的求解結(jié)果即為一般性問題的求解結(jié)果，從而大大降低了思維難度，提高了解題速度. 正如波利亞所說，“特殊化是從對(duì)象的一個(gè)給定集合，轉(zhuǎn)而考慮那包含在這集合內(nèi)的較小的集合.”“我們往往從專門研究對(duì)象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯堪谶@個(gè)全體中的僅僅一個(gè)對(duì)象.”因此，特殊化策略常表現(xiàn)為將題目中的函數(shù)或數(shù)列等看成是特殊函數(shù)或特殊數(shù)列，從而迅速獲取答案;或在解題時(shí)將特殊數(shù)值代入，將答案范圍收縮或限制;抑或?qū)l件中所給圖像或圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖像或圖形，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的，等等.

從形式上來看，將一般性問題特殊化是不困難的，但某個(gè)一般性問題運(yùn)用不同的特殊化策略進(jìn)行處理將會(huì)得到多個(gè)不同的特殊化命題. 所以，運(yùn)用特殊化策略的關(guān)鍵是如何找到一個(gè)最佳的切入點(diǎn). 顯然，在平時(shí)的教學(xué)中，方法的指導(dǎo)和適當(dāng)?shù)挠?xùn)練是必不可少的. 文章中筆者列舉了幾道單項(xiàng)選擇題，結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就常見的特殊化策略做了一個(gè)粗淺的梳理，通過與常規(guī)解題方法的對(duì)比，直觀感受用特殊化策略解題的優(yōu)越性.

[?] 題設(shè)特殊化，速戰(zhàn)速?zèng)Q

從題設(shè)構(gòu)造符合條件的特殊函數(shù)、特殊數(shù)列等，往往能夠達(dá)到減少運(yùn)算、提高解題速度的目的.

例1 設(shè)等差數(shù)列{a}中前n項(xiàng)和為S，若S=72，則a+a+a=（? ）

A. 24? B. 25

C. 26? D. 27

解：不妨令等差數(shù)列{a}為常數(shù)列，設(shè)a=x，則S=9x=72，解得x=8，所以a+a+a=3x=24. 故答案選A.

例2 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，有xf′（x）+2f（x）<0恒成立，則使得>0成立的x的取值范圍是（? ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-∞，-）∪（0，1）

C. （-∞，-）∪（0，）

D. （-∞，-1）∪（0，）

解：不妨令f（x）=-1，x>0，

0，x=0，

1，x<0，當(dāng)x>0時(shí)，>0，解得0<x<;當(dāng)x<0時(shí)，>0，解得x<-. 故答案選C.

評(píng)注：例1是基礎(chǔ)題，運(yùn)用常規(guī)方法將條件和問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項(xiàng)a和公差d這兩個(gè)基本量的運(yùn)算也很簡(jiǎn)單，但解題時(shí)把此等差數(shù)列特殊化為常數(shù)列顯然速度更快，這也在一定程度上體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)能力和思維水平. 例2的常規(guī)解法是：構(gòu)造g（x）=x2f（x）（x>0），則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]<0，判斷g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)f（x）在定義域R上的單調(diào)性，從而討論x的取值范圍并求解.根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)g（x）是常規(guī)解題方法的難點(diǎn);相對(duì)而言，要寫出一個(gè)滿足“x>0時(shí)，有xf′（x）+2f（x）<0恒成立”條件的函數(shù)卻并不難. 顯然，這是一種比較理想的得分手段，但在教學(xué)過程中，我們不能忽視一般性問題的解決方法.

[?] 數(shù)值特殊化，事半功倍

當(dāng)問題關(guān)系不明朗時(shí)，可以從特殊數(shù)值入手.特殊數(shù)值常常使變量關(guān)系變得明朗，凸顯問題的關(guān)鍵，揭示問題的本質(zhì).

例3 若f（x）=x3

-，x≠0，

0，x=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（? ）

A. [-1，1]∪[3，+∞）

B. （-∞，-1]∪[0，1]∪[3，+∞）

C. [-1，0]∪[1，+∞）

D. （-∞，-3]∪[-1，0]∪[1，+∞）

解：當(dāng)x=2時(shí)，將其代入xf（x-1）得2×f（1）=2×（1-16）=-30<0，不符合題意，排除C，D兩項(xiàng);當(dāng)x=-2時(shí)，將其代入xf（x-1）得-2×f（-3）=-2×

-27+

>0，符合題意. 故答案選B.

例4 已知函數(shù)f（x）=，且ea=lnb=c，則（? ）

A. f（a）<f（b）<f（c）

B. f（b）<f（c）<f（a）

C. f（a）<f（c）<f（b）

D. f（c）<f（b）<f（a）

解：不妨令a=0，則f（x）=. 又e0=lnb=c，所以b=e，c=1.由f′（x）=<0，得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（0）=0<f（e）<f（1），即f（a）<f（b）<f（c）. 故答案選A.

評(píng)注：如果正面求解例3，要對(duì)x分多種情況進(jìn)行討論. 具體解法如下：①當(dāng)x=0或x=1時(shí)，xf（x-1）=0，成立;②當(dāng)x<0時(shí)，xf（x-1）=x

（x-1）3-

≥0，可得（x-1）3≤，解得x≤-1;③當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，xf（x-1）=x

（x-1）3-

≥0，若x>1，則（x-1）4≥16，解得x≥3;若0<x<1，則（x-1）4≤16，解得0<x<1. 綜上，x∈（-∞，-1]∪[0，1]∪[3，+∞）.

通過對(duì)比兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)，從選擇支出發(fā)，將特殊值代入進(jìn)行驗(yàn)算，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)是應(yīng)試首選. 這是建立在從特殊到一般原理基礎(chǔ)上的解法，即“一個(gè)命題在一般情況下成立，那么在特殊情況下肯定成立;一個(gè)命題在特殊情況下不成立，那么在一般情況下肯定不成立”.

例4之所以令a=0，是因?yàn)樵谛赂呖急尘跋?，學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=的圖像與性質(zhì)了如指掌，從而避免了含有字母的運(yùn)算，大大提高了解題速度，提升了解題的正確率.

[?] 圖像或圖形特殊化，化繁為簡(jiǎn)

對(duì)于幾何圖形問題，可先考慮將一般圖形特殊化，使得問題得以簡(jiǎn)化，能更快捷地揭示圖形問題的本質(zhì)和規(guī)律，從而解決一般性的圖形問題.

例5 在平行四邊形ABCD中（如圖1所示），E和F分別是BC和CD的中點(diǎn). 若 =λ+μ，λ，μ∈R，則λ+μ的值為（? ）

A.? ? B.

C.? ? D.

解：如圖2所示，當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，==（+），所以λ+μ=. 故答案選B.

例6 在四棱錐P-ABCD中，=3，過直線AB的平面將四棱錐截成體積相等的兩個(gè)部分，設(shè)該平面與棱PC交于點(diǎn)E，則=（? ）

A. B.

C. D.

解：不妨設(shè)DA，DC，DP兩兩垂直，如圖3所示，且DP=DC=DA=3AB=3，設(shè)PF=FE=x，V=S·PD=×6×3=6.

所以V=V+V=V+V=S·AB+S·EF=··（1+x）=3，又0<x<3，解得x=2，所以==. 故答案選D.

評(píng)注：將圖形特殊化是解答涉及圖形的單項(xiàng)選擇題時(shí)常用的方法，如將普通三角形看成等邊三角形，將長(zhǎng)方體看成正方體，等等. 這樣做能大大降低思維難度，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算. 在例5中，若令a=，b=，用平面向量“基底法”求解也并不困難，但顯然在單項(xiàng)選擇題中運(yùn)用特殊化策略更為簡(jiǎn)單，其優(yōu)越性在例6中就凸顯得更為明顯. 例6的常規(guī)解法是：令=λ（0<λ<1），設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V，依據(jù)=3這個(gè)條件，運(yùn)用比例關(guān)系和等積代換法得到V=λV和V=λ2V，最后根據(jù)體積相等原則得到V=V+V=

λ+λ2

V=V，解得λ=. 由此看來，圖形特殊化非常有效，它可以將考生從復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算中解放出來.

[?] 關(guān)系特殊化 出奇制勝

當(dāng)題目中出現(xiàn)了多種變量的關(guān)系式時(shí)，可以考慮運(yùn)用關(guān)系特殊化策略，它能使變量之間達(dá)到特殊狀態(tài)，動(dòng)中求靜，迅速發(fā)現(xiàn)解答切入點(diǎn)，出奇制勝.

例7 a>0，b>0，c>0，且ab=1，a2+b2+c2=4，則ab+bc+ac的最大值為（? ）

A. 2 B. 1+2

C. 3 D. -2

解：令a=b，由a2=1，

2a2+c2=4得到a=1，

c=.

所以ab+bc+ac=1+2. 故答案選B.

例8 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知+=6cosC，則+=（? ）

A. 4? B. 2? C. 5? D. 6

解：令a=b，所以6cosC=2，cosC=，tanC=2，tanC=tan（π-2A）=2，所以tanA=，所以原式===4. 故答案選A.

評(píng)注：解答例7的常規(guī)方法為消元法，利用ab=1，a2+b2+c2=4兩個(gè)等式消去a，b，得到關(guān)于c的代數(shù)式1+，然后利用函數(shù)求最值的方法解答;但題設(shè)中a與b的地位等價(jià)，a=b的特殊關(guān)系可使得問題得到極大簡(jiǎn)化. 同樣，解答例8的常規(guī)方法需要利用正余弦定理進(jìn)行角化邊，過程復(fù)雜，結(jié)果易錯(cuò);而題設(shè)中a與b的地位等價(jià)，a=b的特殊關(guān)系很快就可以得到正確答案.這里的特殊關(guān)系是相等，其本質(zhì)是對(duì)稱，對(duì)稱是數(shù)理研究的一種重要方法，因?yàn)樽匀痪褪且詫?duì)稱的方式存在的.

[?] 位置特殊化，舉重若輕

當(dāng)問題涉及的圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以考慮圖形的特殊位置，在特殊位置捕捉到解題的特征信息，從而將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，將問題的解決聚焦于對(duì)特殊位置的研究，從而快速找到突破口.

例9 如圖4所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為V，點(diǎn)P，Q分別在側(cè)棱AA′和CC′上，AP=C′Q，則四棱錐B-APQC的體積為（? ）

A.? ? B.

C.? ? D.

解：因?yàn)锳P=C′Q，所以可以考慮點(diǎn)P，Q的極端位置. 令A(yù)P=C′Q=0，如圖5所示，此時(shí)V=V=V=V. 故答案選B.

例10 已知F，F(xiàn)是雙曲線E：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線E上任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過F作∠FMF的平分線的垂線，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn). 若ON=，則雙曲線E的漸近線方程為（? ）

A. y=±x B. y=±x

C. y=±x D. y=±x

解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M無限接近雙曲線的右頂點(diǎn)A時(shí)，如圖6所示，∠FMF趨向于平角，ON→OA=a，將其代入ON=，可得a=×2c，即c=2a，所以b=a，所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x. 故答案選D.

評(píng)注：例9給出的條件只有AP=C′Q，如果正面解答，那么計(jì)算量較大，因此考慮特殊位置可迅速獲解. 特殊位置通常是在兩端、中間、極限位置等特殊地方.同樣，例10采用了極端分析法求解，這是特殊化策略中的一種.當(dāng)我們面對(duì)這個(gè)題目束手無策時(shí)，題設(shè)中的“不是頂點(diǎn)”給了我們極大的提示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M無限接近雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，問題就迎刃而解了. 例10的常規(guī)解法如下：如圖6所示，延長(zhǎng)FN與MF，交于K，連接ON. 由題意可得MN為邊KF的垂直平分線，則

MF=MK，且N為KF的中點(diǎn)，ON=

KF. 由雙曲線的定義可得

MF-

MF=MK-

MF=

FK=2a，則ON=a=×2c，即c=2a，以下解答過程同上. 常規(guī)方法充分運(yùn)用了角平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.倘若我們能在解題時(shí)把動(dòng)點(diǎn)作為突破口，另辟蹊徑，那么正確答案也能隨之水落石出.

[?] 結(jié)束語

由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過程，是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過程之一.數(shù)學(xué)研究也不例外，在“特殊化”的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從事物的具體背景抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)的完整過程，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)無疑得到了培育和發(fā)展.

應(yīng)用特殊化策略解決單項(xiàng)選擇題往往可以化繁為簡(jiǎn)、出奇制勝，能節(jié)省時(shí)間、提高效率. 當(dāng)然，高中數(shù)學(xué)思想方法還有很多，我們必須認(rèn)識(shí)到任何一種數(shù)學(xué)思想方法都不是萬能的，在日常教學(xué)過程中，每位數(shù)學(xué)教師必須堅(jiān)守基本知識(shí)和方法的教學(xué)，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的基本能力.