費(fèi)興華

[摘? 要] 任何一個(gè)概念，只有清楚地知道其內(nèi)涵與外延，知道其具體表征，才能說(shuō)讀懂了這個(gè)概念. 站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度有必要提出一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)我們?cè)谡務(wù)摂?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)時(shí)，我們到底在談?wù)撌裁矗亢诵乃仞B(yǎng)是一個(gè)新的概念，研究其在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的具體表現(xiàn)，可以讓更多的一線教師的教學(xué)變得更加順利，可以讓理論與實(shí)踐的結(jié)合變得更加緊密. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的視野下，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)科最基本、最關(guān)鍵的特征，體現(xiàn)為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)觀察、解決、表達(dá)問(wèn)題的水平.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);表現(xiàn)

美國(guó)作家雷蒙德·卡佛創(chuàng)作了一本短篇小說(shuō)集《當(dāng)我們談?wù)搻?ài)情時(shí)我們?cè)谡務(wù)撌裁础? 人們對(duì)這本短篇小說(shuō)集的內(nèi)容未必完全清楚，但是這本短篇小說(shuō)集的題目卻令人耳目一新、印象深刻. 將其中的“愛(ài)情”替換為其他值得研究的對(duì)象時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其題目這句話非常有道理，因?yàn)槠渖婕傲艘粋€(gè)本能性問(wèn)題的探究：任何一個(gè)概念，只有清楚地知道其內(nèi)涵與外延，知道其具體表征，才能說(shuō)讀懂了這個(gè)概念.

對(duì)于當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，最重要的一個(gè)概念可能就是“核心素養(yǎng)”了，在核心素養(yǎng)這個(gè)概念的下位概念中，又有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 縱觀當(dāng)前的基礎(chǔ)教育學(xué)術(shù)論文，可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于核心素養(yǎng)的文獻(xiàn)非常多，那么站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度就有必要提出一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)我們?cè)谡務(wù)摂?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)時(shí)，我們到底在談?wù)撌裁?？筆者認(rèn)為回答這個(gè)問(wèn)題最關(guān)鍵的選擇之一，就是弄清楚數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本表現(xiàn)！當(dāng)然這里有一個(gè)前提，即弄清楚核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本概念. 根據(jù)《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力. 站在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，去探究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)有其理論意義和實(shí)踐意義.

[?] 研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn)的意義

對(duì)于絕大多數(shù)高中數(shù)學(xué)一線教師而言，對(duì)一個(gè)新的教育教學(xué)概念的理解，往往需要的不只是文字定義，而應(yīng)當(dāng)是更加形象的理解. 印象當(dāng)中，從課程改革之初，很多教師就提出了一個(gè)觀點(diǎn)：我們（指一線教師）想知道課程改革應(yīng)當(dāng)怎么做;時(shí)至今日，關(guān)于核心素養(yǎng)依然有這樣的問(wèn)題：怎樣去培育學(xué)生的核心素養(yǎng)？而要回答這個(gè)問(wèn)題就必須知道核心素養(yǎng)具體有怎樣的表現(xiàn). 與此同時(shí)還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到，當(dāng)一線教師追求核心素養(yǎng)的可操作性時(shí)，并不完全是想知道一些技術(shù)性的細(xì)節(jié)，而是想知道核心素養(yǎng)究竟是什么樣的，然后去自主探究出一條通往核心素養(yǎng)的路線.

那么在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的視野下，核心素養(yǎng)究竟是什么樣的呢？筆者對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深入的探究，給出的回答包括如下兩點(diǎn)：

其一，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)科最基本、最關(guān)鍵的特征.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括了六個(gè)要素，對(duì)這些要素進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)它們是表征數(shù)學(xué)學(xué)科最關(guān)鍵的、最準(zhǔn)確的概念. 比如說(shuō)數(shù)學(xué)抽象，其本質(zhì)是抽象的下位概念. 抽象是從眾多的事物中抽取共同的本質(zhì)特征而舍棄其非本質(zhì)特征的過(guò)程;相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象，就特別強(qiáng)調(diào)在抽取共同的本質(zhì)特征的過(guò)程中，必須運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí). 舉一個(gè)例子：生活中的一棟精美建筑，如果用數(shù)學(xué)知識(shí)去抽象，那么最終留下的就是關(guān)于這棟建筑及其組成部分的外形、幾何尺寸以及數(shù)量關(guān)系等，至于其中的美感、受力等，則不在數(shù)學(xué)抽象的視野范圍內(nèi). 由此可見(jiàn)，一個(gè)擁有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的人，在審視生活事物時(shí)，主要擁有的應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)目光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言等.

其二，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體現(xiàn)為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)觀察、解決、表達(dá)問(wèn)題的水平.

這一點(diǎn)實(shí)際上是對(duì)上一點(diǎn)更為精確的描述，著名數(shù)學(xué)教育家史寧中先生曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有過(guò)這樣一段精辟的概括：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就是用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界. 對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，理解這一段話非常容易，當(dāng)面向教育教學(xué)時(shí)，對(duì)這一段話的理解還可以更加通俗、形象一些. 比如筆者的理解就是：一個(gè)擁有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的人，一定有一種良好的直覺(jué)，即在看到一個(gè)生活事物或問(wèn)題時(shí)，能夠直覺(jué)性地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、解決、表達(dá)它們，當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中，可能會(huì)涉及其他學(xué)科的一些知識(shí)或素養(yǎng)要素，但是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)一定能夠發(fā)揮基礎(chǔ)性的、支撐性的作用.

[?] 基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn)的教學(xué)

基于以上分析，去審視當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，就可以得出一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)，那就是基于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn)的理解去實(shí)施教學(xué)，可以更好地尋找到教學(xué)的抓手，可以讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有著更加明確的核心素養(yǎng)培育的指向. 比如說(shuō)，有研究者將研究的對(duì)象鎖定在數(shù)學(xué)例習(xí)題上，他們通過(guò)比較研究發(fā)現(xiàn)，在例習(xí)題中數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算占有的比例相對(duì)較高，不同版本教材側(cè)重的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同. 這就說(shuō)明基于教材去研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，對(duì)于教師教學(xué)來(lái)說(shuō)是一個(gè)基礎(chǔ)性工作.

例如，在“函數(shù)的單調(diào)性”這一課程中，有這樣一個(gè)習(xí)題：根據(jù)圖1說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).

從難度的角度來(lái)看，回答這個(gè)問(wèn)題并不難，但是從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中有著比較豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的空間. 既然學(xué)習(xí)已經(jīng)來(lái)到了解決問(wèn)題這一階段，這就說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)及其單調(diào)性的概念有了比較深入的理解——傳統(tǒng)視野下的“理解”指會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解題，核心素養(yǎng)視野下的“理解”則是在理會(huì)了數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，能夠與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素相對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)就是建立在對(duì)核心素養(yǎng)表現(xiàn)的理解基礎(chǔ)上的.

首先，理解函數(shù)的單調(diào)性，意味著函數(shù)的單調(diào)性這一數(shù)學(xué)概念能夠以數(shù)學(xué)模型的形式存在于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)和能力系統(tǒng)之中. 因此，當(dāng)學(xué)生帶著對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的理解觀察上圖（圖1）時(shí)，實(shí)際上就是將大腦中的函數(shù)單調(diào)性的模型與該圖進(jìn)行比較，這是一個(gè)模型運(yùn)用的過(guò)程，其不僅可以鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)成果，而且可以促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí).

其次，根據(jù)上圖（圖1）的形狀判斷函數(shù)的單調(diào)性，涉及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的直觀想象. 直觀想象指幾何直觀和空間想象，這里所運(yùn)用的主要是幾何直觀. 通過(guò)對(duì)上述圖形的目測(cè)，結(jié)合對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，絕大多數(shù)學(xué)生能夠立即在大腦中將該圖像分為四段，而這四段分別對(duì)應(yīng)著單調(diào)增減.

再次，在判斷函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中，學(xué)生一定程度上會(huì)運(yùn)用到邏輯推理. 邏輯推理的表征是推理，核心是邏輯（這一點(diǎn)與合情推理有著顯著的區(qū)別）. 學(xué)生進(jìn)行推理時(shí)，要正確地判斷出函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵就在于將函數(shù)單調(diào)性這一模型中的邏輯關(guān)系梳理出來(lái)，將自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系明晰出來(lái)，只要做到了這一點(diǎn)，那么邏輯就是合理的，推理自然也就是正確的.

通過(guò)以上例子的三點(diǎn)分析，可以發(fā)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn)的教學(xué)，實(shí)際上是將傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式進(jìn)一步向核心素養(yǎng)靠近，教師要從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素及其表現(xiàn)的視角去看待和分析傳統(tǒng)教學(xué)，這樣才能夠讓外在的表現(xiàn)與內(nèi)在的記憶形成良好的結(jié)合.

[?] 核心素養(yǎng)表現(xiàn)的研究支撐著數(shù)學(xué)教學(xué)

教學(xué)一定是需要研究的，對(duì)于普通教師來(lái)說(shuō)，這一點(diǎn)也不例外. 核心素養(yǎng)是一個(gè)新的概念，研究其在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的具體表現(xiàn)，可以讓更多的一線教師的教學(xué)變得更加順利，可以讓理論與實(shí)踐的結(jié)合變得更加緊密.

研究高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，可以從多個(gè)角度進(jìn)行. 比如從教學(xué)內(nèi)容的角度，教師可以基于學(xué)習(xí)最基本的特征即知識(shí)構(gòu)建去理解核心素養(yǎng)，可以尋找到堅(jiān)實(shí)的根基. 認(rèn)知心理學(xué)將知識(shí)分成陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中以此知識(shí)分類(lèi)的結(jié)果來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，從而可以基于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)而更好地理解核心素養(yǎng). 又比如上述例子，研究的是習(xí)題，這實(shí)際上是一個(gè)很重要的范疇，研究高中數(shù)學(xué)試題中是如何體現(xiàn)核心素養(yǎng)的，不僅可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)與核心素養(yǎng)培育目標(biāo)的銜接，而且可以將學(xué)生當(dāng)前面臨的高考評(píng)價(jià)同長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展需要的核心素養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，這種結(jié)合有著非常鮮明的現(xiàn)實(shí)意義和歷史意義，應(yīng)當(dāng)是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要基點(diǎn).