陶友根 鄧天 段小龍

[摘? 要] 基于課程整體性的要求，站在“單元—課時”視角，開展數(shù)學章節(jié)起始課與章末復習課的一體化教學設計策略研究. 以高中數(shù)學“三角函數(shù)”為例，闡述數(shù)學章節(jié)“起始+章末”一體化教學設計策略：通過“為什么學”與“學來何用”、“要學什么”與“學了什么”、“要怎么學”與“怎么學的”、“陳述性作業(yè)”與“創(chuàng)新性作業(yè)”等四個紐帶，凸顯一體化設計，以達到“網絡建構夯基礎，核心問題突研究，思想方法滲素養(yǎng)，作業(yè)創(chuàng)新促能力”的效果.

[關鍵詞] 整體性;章節(jié)起始課;章末復習課;一體化

[?] 研究的起點

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）要求教材編寫要體現(xiàn)整體性，體現(xiàn)內容之間的有機銜接;明確教師要努力提升教學設計和實施能力;教學建議中要求“整體把握教學內容，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”[1]. 主題、單元教學是本次課改強調的一個重點. 在單元教學設計基礎上再給出課時教學設計，以充分體現(xiàn)數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，切實防止碎片化教學，通過有效的“四基”“四能”教學，使數(shù)學學科核心素養(yǎng)真正落實于數(shù)學課堂[2].

1. “單元—課時”教學設計體例

為了落實《課標》的要求，與教材的編寫同步，章建躍主編帶領團隊設置了“基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學設計與實施”專題，并在實踐基礎上總結出了《高中數(shù)學“單元—課時”教學設計體例與要求》，明確單元教學設計和課時教學設計應包含的欄目，并對各欄目的含義和具體編寫進行了詳細解讀[3]，高屋建瓴地為“單元—課時”模式的實施指明了方向.

2. “起始+章末”一體化設計

筆者所在團隊在前期研究數(shù)學章節(jié)起始課和章末復習課的基礎上，站在“單元—課時”視角，進一步開展數(shù)學章節(jié)“起始+章末”一體化教學設計策略研究.

章節(jié)起始課與章末復習課都有其獨特的教育教學價值. 前者主要為學生提供統(tǒng)觀全局的認知視角，后者則要幫助學生印證是否達成總覽單元全局的目的. 章節(jié)起始課常要解決“為什么學”“要學什么”“要怎么學”等問題[4]，是全章教與學的“總起”. 章末復習課則要解決“構建網絡”“提煉模型”“形成思想”“學會思辨”等任務[5]，是全章教與學的“總結”.

章節(jié)“起始+章末”的一體化設計需要在“單元—課時”視角下通觀全局，加強“總起”與“總結”之間的聯(lián)系. 力爭實現(xiàn)“總起”預設或指向“總結”，“總結”呼應或升華“總起”. 這種首尾整體設計并關聯(lián)單元教學過程的教學設計必能使全章的教學具有更強的整體性，體現(xiàn)單元視角下事半功倍的教學效果.

[?] 例談“起始+章末”一體化教學設計策略

如何在“單元—課時”視角下實施“起始+章末”一體化教學設計呢？筆者將以人教版普通高中數(shù)學教科書必修第一冊（2019年版）“三角函數(shù)”為例進行分析和闡述. 因有姊妹篇《籌謀單元之全局，啟于引言之設計——以“三角函數(shù)”為例談單元教學視角下的章引言課設計》（即引文），故實例內容側重展示章末復習課教學設計.

（一）定位內容和目標

“三角函數(shù)”這一章的《課標》要求是：學生通過本章學習，能借助于單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性;能用幾何直觀和代數(shù)運算的方法得到三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（?。┲档刃再|，以及三角函數(shù)之間的一些恒等關系;能利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型，解決實際問題[1]. 由此可見，除了解決基本知識和方法外，還要重點幫助學生在數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模等素養(yǎng)上有所提升.

因此，章引言課（起始課）可以介紹學習三角函數(shù)的必要性，即“為什么學”;可以通過情境，利用“問題串”的形式串聯(lián)學習內容概要，即“要學什么”;可以在情境中回顧前面學習函數(shù)的經驗，并進行適當?shù)念惐?，即“要怎么學”[6].

章末復習課中可以用“問題串”梳理形成“三角函數(shù)”的知識結構框圖，對應起始課“要學什么”，回答“學了什么”;以“題組”或“問題串”為載體提煉模型、形成思想，對應起始課“要怎么學”，回答“怎么學的”;用“應用拓展”進一步檢驗和提升素養(yǎng)，對應起始課“為什么學”，回答“學來何用”;用開放性的探究式活動促進學生的數(shù)學研究和數(shù)學表達能力，對應起始課“陳述性作業(yè)”，布置“創(chuàng)新性作業(yè)”.

（二）設計紐帶和活動

1. 紐帶一：“要學什么”與“學了什么”

為了讓學生大致了解“要學什么”，在起始課（詳見引文）中設計了刻畫摩天輪運動的問題，并通過“問題串2”讓學生體會到了引入任意角、弧度制的必要性;學生經歷了“構建單位圓中任意角與高度之間的對應關系”的過程，為三角函數(shù)概念的學習做了充分鋪墊.

對應的，復習課要回答“學了什么”，可設置如下的“問題串”：

【復習課模塊1】 展示起始課“情境5”：如圖1所示，設摩天輪做勻速圓周運動，其中心離地面的高度為25米，轉輪半徑為10米，每6分鐘旋轉一周. 若你在座艙中（用點P表示），從初始位置（最低點）出發(fā)逆時針旋轉，如何刻畫點P的高度h（米）與時間t（分）的關系？

問題1：為解決摩天輪刻畫問題，我們構建了什么樣的函數(shù)模型？（預設答案：h=10sin

t-

+25）

問題2：你能說明該函數(shù)模型與正弦、余弦函數(shù)的關系嗎？比如該函數(shù)的圖像可以由y=sinx，y=cosx的圖像經歷怎樣的變換得到，或者由多種函數(shù)怎樣復合構造得到？

問題3：三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像和性質是怎樣的？與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)相比較有什么異同？

問題4：三角函數(shù)的定義是什么？同角的三角函數(shù)之間有什么關系？

問題5：在給三角函數(shù)下定義前，我們在初中銳角三角函數(shù)基礎上做了哪些鋪墊？

問題6：根據(jù)以上問題，回顧學習過程，請畫出本章知識結構圖（基本知識用黑色筆，關系線及線上內容用紅色筆，個人感悟用藍色筆）.

設計說明：（1）問題1至問題5，用倒序的方式，讓學生回顧函數(shù)模型、圖像變換、三角恒等變換、圖像和性質、定義及相互關系、任意角與弧度制，體會問題是怎樣化整為零并一步步得以解決的. （2）問題5與起始課中的鋪墊形成呼應，讓學生感受單元知識生長的自然;問題6明確輸出成果——知識結構圖，繪圖顏色的要求既是為了規(guī)范習慣，更重要的是引導學生要思考邏輯關系、提煉個人感悟.

2. 紐帶二：“要怎么學”與“怎么學的”

為了讓學生大致了解本章知識“要怎么學”，“三角函數(shù)”起始課（詳見引文）圍繞摩天輪問題，設置了“問題串3”. 引導學生明確研究函數(shù)的一般策略（包括內容、方法），讓學生多次感知周期性（三角函數(shù)的典型性質），思考研究周期函數(shù)圖像與性質的一般步驟，即可以先在一個周期內研究，再按周期進行擴展.

對應的，復習課要回答“怎么學的”，可設置如下的“問題串”：

【復習課模塊2】 問題1：回顧三角函數(shù)的定義，你能說說它與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義方法的共性和差異性嗎？研究圖像與性質的方法呢？

問題2：圓的性質在三角函數(shù)的研究中有非常重要的作用，請你借助于單位圓，歸納一下研究三角函數(shù)的圖像與性質的過程與方法.

問題3：兩角差的余弦公式C不僅是和（差）角公式的基礎，也可以看成是誘導公式的一般化. 你能畫一張本章公式的“邏輯圖”嗎？推導這些公式的過程中用到了哪些數(shù)學思想方法？

問題4：三角函數(shù)是一類特殊的周期函數(shù)，可以聯(lián)系各類周期現(xiàn)象，也可以從已學過的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)得到啟發(fā)，還要注意與銳角三角函數(shù)建立聯(lián)系，你能根據(jù)你對這些聯(lián)系的理解，畫出這種關系的“邏輯圖”嗎？

問題5：結合上面問題的梳理，你能談談本章的學習過程中（擴充角、引入弧度制、用單位圓下定義及研究圖像和性質等）帶給了你什么樣的體驗嗎？你還有什么收獲嗎？如果將來學習一種新的函數(shù)，你可能會怎么開展研究呢？

設計說明：問題1至問題4來自教材252～253頁問題的改編. （1）問題1呼應起始課，基于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的認知研究三角函數(shù)，更能凸顯三角函數(shù)的獨特價值;（2）問題2引導學生回顧本章最重要的研究工具和方法——單位圓的旋轉對稱性，以此提升學生直觀想象素養(yǎng);（3）問題3引導學生由實際操作上升到數(shù)學思想層面，防止碎片化帶來負擔（可布置為前置作業(yè)，放入課堂本模塊使用）;通過轉化與化歸、數(shù)形結合等思想的應用，提升邏輯推理能力;（4）問題4突出章節(jié)內容與前后知識的關聯(lián)，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導，幫助學生將本章納入認知體系，突出整體性理念（可布置為前置作業(yè)，放入課堂本模塊使用），提升學生用聯(lián)系的眼光看問題、解決數(shù)學問題的能力;（5）問題5引導學生關注知識、方法、思想的同時，回味過程中的情感體驗，形成數(shù)學研究的情感態(tài)度價值觀.

3. 紐帶三：“為什么學”與“學來何用”

為了讓學生了解“為什么學”三角函數(shù)，起始課（詳見引文）創(chuàng)設了5個情境，并設置2個遞進式問題：（1）是否能用現(xiàn)有的函數(shù)模型刻畫？（2）這兩個實例（運動）有什么共同的顯著特征？這樣的設計意在引發(fā)認知沖突，體現(xiàn)尋找新的函數(shù)模型的必要性.

對應的，復習課要回答“學來何用”，可以起始課的“情境5”作為起點，設置如下的變式“問題串”：

【復習課模塊3】 問題1：求h（米）關于t（分）的函數(shù)解析式.

問題2：求你的座艙在開始轉動2分鐘后距離地面的高度.

問題3：若該摩天輪有20個座艙，你和好朋友分別在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求你們兩人距離地面的高度差h′（米）關于t（分）的函數(shù)解析式，并求高度差h′的最大值（精確到0.1）.

問題4：如果將問題1得到的函數(shù)解析式一般化，抽象為y=Asin（ωx+φ）+B，你能借助于本例或其他周期現(xiàn)象（如簡諧振動、單擺等），說明這些參數(shù)的意義，以及它們的變化對函數(shù)圖像的影響嗎？

問題5：（教材256頁第25題）如圖2所示，已知直線l∥l，A是l，l之間的一定點，并且點A到l，l的距離分別為h，h，B是直線l上一動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l交于點C. 設∠ABD=α.

（1）寫出△ABC面積S關于角α的函數(shù)解析式S（α）;

（2）畫出上述函數(shù)的圖像;

（3）由（2）中的圖像求S（α）的最小值.

設計說明：（1）問題1來自起始課創(chuàng)設的情境，學生能輕松解決，呼應了學習的必要性. （2）問題2、問題3是教材238頁“例2”的變式問題，既體現(xiàn)起始、中間、末尾學習階段的關聯(lián)性，又展現(xiàn)模型解決實際問題的應用性. （3）問題4是教材253頁問題5的改編. 學習新課，是通過參數(shù)賦值形成對圖像變化的具體認識，再推廣到一般情形的;本問引導學生回顧學習過程，進一步感受模型中參數(shù)的內涵和作用，感受模型刻畫現(xiàn)象的過程. （4）問題5來自教材，是幾何背景下三角函數(shù)建模解模問題，但不是周期問題，讓學生經歷不同情境下的建模過程，同時體會三角函數(shù)更廣泛的應用. （5）本“問題串”讓學生經歷數(shù)學抽象、建立模型、邏輯推理、數(shù)學運算等過程，并最終回到實際現(xiàn)象中去認識參數(shù). 全過程可以有效地檢驗學生的素養(yǎng)水平，對學生發(fā)展核心素養(yǎng)起到了積極作用.

4. 紐帶四：“陳述性作業(yè)”與“創(chuàng)新性作業(yè)”

《課標》明確提出了作業(yè)設計的要求. 章節(jié)作業(yè)整體設計是提升作業(yè)效能、減輕學生作業(yè)負擔的有效手段之一. 數(shù)學章節(jié)“起始+章末”作業(yè)設計更要體現(xiàn)整體思想. 起始課作業(yè)除一些簡單習題外，可以設置陳述性作業(yè)，引導學生展望和思考，開啟后續(xù)學習之旅. 章末復習課作業(yè)除設計功能性檢測題組外，還應設置一些創(chuàng)新性作業(yè)，比如數(shù)學實驗作業(yè)、探究性作業(yè)、數(shù)學寫作等.通過創(chuàng)新性作業(yè)讓學生認知確信的同時擴展認知邊界.

起始課（詳見引文）布置了“問題4”，讓學生從四個方面陳述課堂的收獲. 在當時，這些都還只是構想或猜測. 這些構想或猜測通過主要知識、方法、研究路徑等內容在章末復習課中得到了印證. 那么，是否意味著學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力得到了提高呢？不妨通過兩項創(chuàng)新性作業(yè)來檢測.

【復習課模塊4】 課外活動作業(yè)：（1）請嘗試針對現(xiàn)實生活中的某種周期現(xiàn)象（或與角有關的現(xiàn)象）設置一個問題，并通過適當?shù)姆椒ㄋ鸭瘮?shù)據(jù)，建立一個函數(shù)模型解決該問題;（2）（選作）若你的研究比較深入，有了自己的感悟，可進一步進行研究性學習、實踐，寫一篇數(shù)學論文與大家分享.

設計說明：（1）讓學生感受到三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用，體驗三角函數(shù)與日常生活和其他學科的聯(lián)系，同時凸顯數(shù)學應用過程的完整性. 這樣的反思實踐，可以保持數(shù)學應用中的數(shù)學思想水平，提高學生對相應的思想方法的認知層次，形成和發(fā)展數(shù)學素養(yǎng). （2）選作作業(yè)的設置，引導學有余力且有鉆研精神的學生更深入地研究，進行數(shù)學寫作，強化數(shù)學理解，促進數(shù)學表達能力的提升.

[?] 章節(jié)“起始+章末”一體化教學設計需要注意的幾個問題

1. 情境創(chuàng)設要體現(xiàn)關聯(lián)性

為了體現(xiàn)知識之間的聯(lián)系、強化學生對整體知識的理解，在章節(jié)起始課、章末復習課中盡量創(chuàng)設中間課時教學中就有的或相似的情境，這樣更能體現(xiàn)“鋪墊—應用—反思”的整體性和關聯(lián)性.當然，這個情境一定要是章節(jié)最核心的知識和方法的載體，如果沒有也不用強求.

2. 起始章末要突出層次性

起始課需要讓學生感受大概要學什么，初窺全貌;復習課則應讓學生梳理知識、形成網絡、印證猜想.“初識”與“回顧”的對象基本一致，但認知層次差異很大，所以整體設計適宜采用遞進式.起始課側重典型的“點”，做起點式鋪墊;復習課側重“面”“網”，力求做到以點帶面、由點成網.

3. 前后呼應要回歸自然性

起始與復習，就是初步感知（猜想）與回望反思（驗證），前后的呼應應該是自然的. 整體設計時，設計若干呼應點，讓學生感受猜想與驗證的成就感，促進情感態(tài)度價值觀的形成. 但要注意“度”，不能為了呼應而呼應，牽強的呼應只會適得其反.

章節(jié)起始課與章末復習課是兩類基本課型. 章節(jié)起始課要起到為學生“提供統(tǒng)觀全局的認知視角，明確知識發(fā)展的邏輯起點，梳理單元學習的方法線索”的作用. 章末復習課則既要“溫故”，更要“知新”;既要復習鞏固基礎知識，更要對知識進行拓展和延伸. 在研究這兩類基本課型的基礎上，以“單元—課時”為視角，強化一體化設計的意識和技巧，更大程度地發(fā)揮數(shù)學知識的整體性和教學功能的整體作用，以達到“網絡建構夯基礎，核心問題突研究，思想方法滲素養(yǎng)，作業(yè)創(chuàng)新促能力”的效果，促使數(shù)學學科素養(yǎng)在課堂教學中真實落地.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 章建躍. 《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》“單元—課時教學設計”體例與要求[J]. 中學數(shù)學教學參考，2019（22）：14-16.

[3]? 章建躍. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的“單元—課時”教學設計[J]. 中學數(shù)學教學參考，2020（13）：5-12.

[4]? 何睦，羅建宇. 高中數(shù)學章節(jié)起始課的教學研究與案例設計[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2019.

[5]? 段小龍，葉強，羅文平. 基于“問題驅動”下的數(shù)學單元（章末）復習課的教學設計[J]. 數(shù)學通訊，2018（18）：20-25.

[6]? 鄧天，唐小文，段小龍. 籌謀單元之全局 啟于引言之設計——以《三角函數(shù)》為例談單元教學視角下的章引言課設計[J]. 數(shù)學通訊，2021（18）：8-11+26.