劉靜宜 池文雅 胡典順

摘 ?要：統(tǒng)計(jì)問題解法背后的思想往往很重要，但卻常常被忽視. 最大似然估計(jì)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)很重要的思想與方法. 從教材例題出發(fā)，深入剖析最大似然估計(jì)的定義與內(nèi)涵，并結(jié)合二項(xiàng)分布和超幾何分布的問題實(shí)例闡明其應(yīng)用方法，在此基礎(chǔ)上再拓展介紹最小二乘法和貝葉斯估計(jì)法，以及它們與最大似然估計(jì)法的區(qū)別與聯(lián)系，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)最大似然估計(jì)的理解，更好地用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的思想去解決問題.

關(guān)鍵詞：最大似然估計(jì);二項(xiàng)分布;超幾何分布;最小二乘法;貝葉斯估計(jì)法

一、提出問題引人思

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫的2019年鄂教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱“教材”）必修第四冊(cè)中有這樣一個(gè)問題：漁民有什么方法能方便且快速地知道自己魚池中魚的數(shù)目呢？有經(jīng)驗(yàn)的漁民常用一種被稱為“標(biāo)記后再捕”的方法，即先從魚池中隨機(jī)捕捉一些魚，不妨假設(shè)捕到1 000條魚，在每條魚的身上做記號(hào)（不影響其存活）后又放回魚池中. 經(jīng)過一段時(shí)間，再從魚池中隨機(jī)捕捉一些魚，不妨設(shè)第二次捕到200條，其中10條有記號(hào)，由此就可以估計(jì)出這個(gè)魚池中魚的總數(shù). 那么，這具體是怎樣估計(jì)出來的呢？有人會(huì)直接列出這樣一個(gè)比例式：200∶10 = x∶1 000，x的值就是要求的魚池中魚的總條數(shù). 通過解該方程，得x = 20 000，即魚池中魚的總數(shù)為20 000條. 是否可以這樣做呢？這個(gè)問題背后的統(tǒng)計(jì)思想又是什么呢？實(shí)際上，用樣本中有標(biāo)記的魚的比例估計(jì)總體中有標(biāo)記的魚的比例這種做法，看似與解決純數(shù)學(xué)題的過程并無太大區(qū)別，但實(shí)際上運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，其本質(zhì)是利用樣本均值估計(jì)總體均值，是以大數(shù)定律為依據(jù)的矩法估計(jì). 需要注意的是，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)是兩個(gè)獨(dú)立的一級(jí)學(xué)科，由于數(shù)學(xué)研究的是抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而統(tǒng)計(jì)則是反映一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下具體社會(huì)現(xiàn)象的數(shù)量特征，因此它們之間并不是簡(jiǎn)單的包含與被包含的關(guān)系.

若想在解決此題的過程中較清晰地體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)思想，我們可以考慮另一種在統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的方法——最大似然估計(jì)法.

二、解讀內(nèi)涵明定義

最大似然估計(jì)法（Maximum likelihood estimate）最早由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（C.F.Gauss）提出，后來在1912年英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾（R.A.Fisher）再次提出了這個(gè)方法，并在1922年的一篇文章中將此方法命名為“最大似然估計(jì)”，同時(shí)證明了它的一些性質(zhì). 最大似然估計(jì)法是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法. 最大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果[A，B，C，…，] 在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大.

為了更好地理解最大似然估計(jì)法，我們先來看一個(gè)直觀的例子：設(shè)甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球;乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球. 先隨機(jī)取出一箱，再從抽取的一箱中隨機(jī)取出一球，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是黑球，這個(gè)黑球是從乙箱中抽取的概率為[99100]，比從甲箱中抽取的概率[1100]大得多，這時(shí)我們自然更多地相信這個(gè)黑球是取自乙箱的. 這就是最大似然估計(jì)的思想，即實(shí)際最可能發(fā)生的情況對(duì)應(yīng)最可能的參數(shù)取值.

最大似然估計(jì)法的具體數(shù)學(xué)定義：設(shè)總體X的分布為[fx，θ，θ∈Θ，] [Θ]是[θ]的參數(shù)空間，當(dāng)X是離散型時(shí)，[fx，θ]為X的概率分布;當(dāng)X是連續(xù)型時(shí)，[fx，θ]為X的密度函數(shù)，而[x1，x2，…，xn]為樣本[X1，X2，…，Xn]的觀測(cè)值，稱[Lθ=i=1nfxi，θ，θ∈Θ]為似然函數(shù)，[Lθ]取最大值所對(duì)應(yīng)的[θ]作為[θ]的估計(jì)，并稱[θ]為[θ]的最大似然估計(jì).

從字面上解釋，“似然”就是“像”的意思，所以最大似然估計(jì)法就是根據(jù)樣本的部分已知情況來推測(cè)最像或者最可能產(chǎn)生這種情況的原因，以及樣本的整體情況，即“最可能的解釋就是最好的解釋”. 需要注意的是，由于最大似然估計(jì)法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中頻率學(xué)派的代表，所以我們運(yùn)用最大似然估計(jì)思想的前提，是需要堅(jiān)持統(tǒng)計(jì)學(xué)中頻率學(xué)派的思想，即參數(shù)是客觀存在的，只是未知而已. 通俗來說，就是所有的解釋都只有正確和錯(cuò)誤兩種情況，而不存在能用概率來衡量的中間狀態(tài). 在最大似然估計(jì)法中的體現(xiàn)就是忽略低概率事件，直接將高概率事件認(rèn)為是真實(shí)事件的思想.

了解了最大似然估計(jì)法的定義和思想內(nèi)涵，下面我們?cè)賮砜纯醋畲笏迫还烙?jì)法的具體應(yīng)用方法.

三、應(yīng)用實(shí)例增理解

運(yùn)用最大似然估計(jì)法能夠解決統(tǒng)計(jì)學(xué)中的很多問題，下面將通過兩個(gè)典型的分布問題——二項(xiàng)分布和超幾何分布，來具體闡述其方法的核心.

題目1 （二項(xiàng)分布）假設(shè)一個(gè)袋子中放有若干個(gè)白球和紅球，已知這兩種顏色球的數(shù)量之比為1∶3. 現(xiàn)有放回地抽取3個(gè)球，希望通過抽到白球的情況估計(jì)白球在袋子里所占比例.

解析：該題滿足二項(xiàng)分布條件，設(shè)取到白球的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值為[0，1，2，3.]

假設(shè)白球所占比例，即摸到白球的概率為p，則紅球所占比例，即摸到紅球的概率為[q=1-p.]

根據(jù)題目條件，可知參數(shù)[p]只能取[14]或[34.]

則[PX=k=Ck3pkq3-k，k=0，1，2，3.] 計(jì)算所得[X]取不同值時(shí)的概率如表1所示.

由表1可知，當(dāng)[X=0]或[X=1]時(shí)，參數(shù)[p]為[14]的概率較大;當(dāng)[X=2]或[X=3]時(shí)，參數(shù)[p]為[34]的概率較大，所以一個(gè)合理的估計(jì)為：[p=14，X=0，1，34，X=2，3.]

根據(jù)最大似然估計(jì)原理的思維基礎(chǔ)，使得取值概率最大的參數(shù)就是真的參數(shù)，即[p]就是p的最大似然估計(jì).

題目2 （二項(xiàng)分布）如果某批產(chǎn)品中有a件次品、b件合格品，采用有放回抽樣的方式從中抽n件產(chǎn)品.

（1）恰好有k件產(chǎn)品是次品的概率是多少？

（2）若從n件產(chǎn)品中抽到k件次品，這批產(chǎn)品的次品率為多少？

解析：（1）由n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ涂芍?，由于每次試?yàn)取到次品的概率為[aa+b，] 取到合格品的概率為[ba+b，]

則在取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件是次品的概率[ak=Cknaa+bkba+bn-k.]

（2）此小題的求解要用到最大似然估計(jì)法，由于[ak]的系數(shù)[Ckn]對(duì)求似然函數(shù)最大值沒有影響，故不做考慮.

[ak]取對(duì)數(shù)以后的似然函數(shù)可以表示為[gp=klnp+][n-kln1-p，] 其中[p=aa+b.] 要注意，k作為已知量，[gp]只是關(guān)于p的函數(shù).

對(duì)函數(shù)[gp]求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，得

[dgpdp=kp-n-k1-p=0.]

通常把這個(gè)方程叫做似然方程，解得[p=kn.]

所以當(dāng)[p=aa+b=kn]時(shí)，[ak]取到最大值.

故利用最大似然估計(jì)法，得到所求次品率為[kn.]

如果將題目2中“有放回”的條件變?yōu)椤安环呕亍?，則此問題就轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑤缀畏植紗栴}.

題目3 （超幾何分布）如果某批產(chǎn)品中有a件次品、b件合格品，采用不放回抽樣的方式從中抽取n件產(chǎn)品.

（1）恰好有k件產(chǎn)品是次品的概率是多少？

（2）若從n件產(chǎn)品中抽到k件次品，這批產(chǎn)品的次品率為多少？

解析：（1）將從[a+b]件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為[Cna+b.]

其中，次品出現(xiàn)k次的可能為[CkaCn-kb.]

令[N=a+b，] 則所求概率為[hkN=CkaCn-kN-aCnN.]

（2）若沿用題目2的方法對(duì)[hkN]求導(dǎo)，計(jì)算量較大. 于是我們對(duì)相鄰兩項(xiàng)進(jìn)行比較，

即[hkNhkN-1=CkaCn-kN-aCnNCkaCn-kN-1-aCnN-1=N2-aN-nN+anN2-aN-nN+kN.]

令[hkNhkN-1=λ，]

則當(dāng)[an>kN]時(shí)，[λ>1;] 當(dāng)[an<kN]時(shí)，[λ<1，]

即當(dāng)[N<ank]時(shí)，[hkN]是關(guān)于[N]的增函數(shù);當(dāng)[N>ank]時(shí)，[hkN]是關(guān)于[N]的減函數(shù).

所以當(dāng)[N=ank]時(shí)，[hkN]達(dá)到最大值，故次品率為[aN=kn.]

仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不大時(shí)，采用有放回抽樣與不放回抽樣對(duì)結(jié)果的影響并不大. 教材選擇性必修第三冊(cè)中的一道例題同樣說明了這一點(diǎn)：在一批總數(shù)為1 000件的產(chǎn)品中，有10件次品，分別采取有放回和不放回兩種方式抽取5件，依次計(jì)算兩種方式抽到[n n=0，1，2，3，4，5]件次品的概率. 計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，兩種取樣方式得到的概率差的絕對(duì)值均小于0.000 1. 從直觀角度理解，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí)，不放回雖然會(huì)影響下次抽取的概率，但這個(gè)影響對(duì)產(chǎn)品數(shù)量結(jié)構(gòu)的影響很小，故可以忽略;從數(shù)學(xué)角度理解，[hk=CkaCn-kbCna+b=Akak！ ? An-kbn-k！Ana+bn！=CknAkaAn-kbAna+b=Cknakbn-ka+bn ? Akaak ? An-kbbn-kAna+ba+bn，]當(dāng)[k]比[a]小得多，[n-k]比b小得多時(shí)，有[Akaak ? An-kbbn-kAna+ba+bn≈1.] 此時(shí)我們可以得到[hk≈ak]. 所以即使在實(shí)際工作中采用不放回的抽樣方式，但只要產(chǎn)品數(shù)量很大而抽樣數(shù)量不大，我們也可以用二項(xiàng)分布作為超幾何分布的近似來減少計(jì)算量.

我們?cè)賮硭伎急疚囊婚_始提到的“估計(jì)魚池中總共有多少條魚”的問題. 在[N=ank]中，令[a=1 000，n=][200，k=10，] 就可以解得當(dāng)[N=20 000]時(shí)，捕到200條魚中有10條帶標(biāo)記的可能性最大，那么就可以估計(jì)出這個(gè)魚池總共有[20 000]條魚.

四、開拓視野辨異同

實(shí)際上，除了最大似然估計(jì)法之外，最小二乘法和貝葉斯估計(jì)法也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中很常見的參數(shù)估計(jì)方法，下面我們就來看看這兩種方法與最大似然估計(jì)法的聯(lián)系與區(qū)別.

1. 最小二乘法

最小二乘法是高斯在研究誤差分析的過程中發(fā)明的一種方法，其思想在于從樣本數(shù)據(jù)中擬合出與真實(shí)值誤差的平方和最小的參數(shù). 既然在這個(gè)參數(shù)下誤差的平方和達(dá)到最小，那么也就有理由相信這個(gè)參數(shù)是真實(shí)的. 高斯通過這個(gè)方法巧妙追蹤到了消失的“谷神星”的位置. 這個(gè)方法究竟如何使用？讓我們通過教材選擇性必修第三冊(cè)中的簡(jiǎn)單線性回歸的例子來詳細(xì)說明.

例 ?某小賣部6天賣出某熱飲的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照如表2所示.

解析：通過畫散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)基本在一條直線附近，則確定回歸直線方程為[y=a+bx.]

利用最小二乘法思想，可知[26，20， 18，24，][13，34， 10，38， 4，50， -1，64]為平面上的點(diǎn)，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)與回歸直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差就是誤差.

將這些誤差的平方加起來，得誤差函數(shù)[Lyi，yxi=]

[i=1nyxi-yi2][=i=1na+bxi-yi2，] 其中[n=6.]

為了得到擬合效果最好的參數(shù)a和[b，] 就要使誤差函數(shù)取值最小，教材選擇性必修第三冊(cè)第85到第86頁的閱讀材料中給出了利用配方法求出參數(shù)[a]和[b]的過程.

[i=1nyi-bxi-a2=i=1nyi-y+y-bx+a-bxi-x2=][i=1nyi-y2+ny-bx+a2+b2i=1nxi-x2+2y-bx+a ·]

[i=1nyi-y-2by-bx+ai=1nxi-x-2bi=1nxi-xyi-y=]

[i=1nyi-y2+ny-bx+a2+b2i=1nxi-x2-2bi=1nxi-xyi-y=][i=1nyi-y2+ny-bx+a2+i=1nxi-x2b2-2bi=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=][i=1nyi-y2+ny-bx+a2+i=1nxi-x2b-i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x22-][i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2=ny-bx+a2+i=1nxi-x2b-i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x22+]

[i=1nyi-y2-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2，] 其中[y=i=1nyin，x=i=1nxin.]

上式中，后兩項(xiàng)與[a]和[b]的值都無關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù). 因此，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值都為0時(shí)，[i=1nyi-bxi-a2]取最小值，即有[a]和[b]的最小二乘估計(jì)為[b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx.] 代入數(shù)據(jù)，得[a≈57.59，b≈-1.65.] 則回歸直線方程為[y=57.59-1.65x].

利用最小二乘法可以在選定模型下取到一個(gè)最優(yōu)的參數(shù). 例如，上面的例題是從一次函數(shù)這個(gè)模型去擬合，得到一次函數(shù)中最優(yōu)的參數(shù)a和b. 若將[yx]換成指數(shù)函數(shù)[cedx]去擬合，同樣可以得到在指數(shù)函數(shù)中最優(yōu)的參數(shù)c和d. 而在利用最大似然估計(jì)法求參數(shù)的估計(jì)值時(shí)，則需要知道變量的概率分布情況. 值得一提的是，在一元回歸中，如果假定誤差服從正態(tài)分布，那么利用最大似然原理與最小二乘法求得的參數(shù)估計(jì)結(jié)果是一致的. 兩種方法沒有優(yōu)劣之分，只是從不同的角度確定最接近真實(shí)情況的參數(shù)的估計(jì)取值.

2. 貝葉斯估計(jì)法

前文曾提到，最大似然估計(jì)法是頻率學(xué)派的經(jīng)典方法. 頻率學(xué)派是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中主要的兩大學(xué)派之一，另外一個(gè)是貝葉斯學(xué)派，而貝葉斯估計(jì)法則是貝葉斯學(xué)派的經(jīng)典方法. 自20世紀(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)大發(fā)展以來，頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派經(jīng)常發(fā)生熱烈的爭(zhēng)論，而爭(zhēng)論的根本原因就是這兩大學(xué)派對(duì)概率本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不同：頻率學(xué)派認(rèn)為概率是物質(zhì)世界的一種客觀屬性，并不因認(rèn)知主體的不同而發(fā)生變化;貝葉斯學(xué)派則把概率看作對(duì)物質(zhì)世界的一種主觀認(rèn)識(shí)，是認(rèn)知主體對(duì)物質(zhì)世界信息量掌握多少的一種度量.

舉例說明，在晚上7：00—8：00 時(shí)間段，小明在房間內(nèi)玩游戲的可能性是60%，學(xué)習(xí)的可能性是40%. 在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，小明媽媽推開小明房門，看到小明在玩游戲的概率是多少？對(duì)于這個(gè)問題，無論是在頻率學(xué)派思想下還是貝葉斯學(xué)派思想下，答案顯然都是0.6.

而如果小明媽媽事先在小明房間安裝了監(jiān)控，已經(jīng)知道推門后會(huì)看到小明在玩游戲，那她推門后看到小明在玩游戲的概率是多少呢？在頻率學(xué)派觀點(diǎn)下，因?yàn)樾∶魇欠裨谕嬗螒虻男袨槭且环N客觀存在，而概率是描述這種客觀存在的屬性，所以無論認(rèn)知主體是否能預(yù)知試驗(yàn)結(jié)果，事件概率不變，也就是小明玩游戲的概率仍然為0.6;而在貝葉斯學(xué)派的觀點(diǎn)下，由于認(rèn)知主體已經(jīng)得知了試驗(yàn)的結(jié)果，所以小明玩游戲的概率就是1.

再換一種情況，如果小明媽媽沒有在小明房間安裝監(jiān)控，推門后發(fā)現(xiàn)小明在看手機(jī)，她立即從小明手里拿走手機(jī)，但是并沒有看手機(jī)界面，所以小明具體是用手機(jī)打游戲還是查學(xué)習(xí)資料并不確定. 在這種情況下，小明媽媽推門后發(fā)現(xiàn)小明在玩游戲的概率又是多少呢？依據(jù)頻率學(xué)派的思想，由于在小明媽媽拿到小明手機(jī)之后小明是否在玩游戲的行為已經(jīng)確定了，所以研究對(duì)象不再是一個(gè)隨機(jī)事件，也就是說小明在玩游戲的概率為1或0. 如果認(rèn)為在頻率學(xué)派的思想下小明此時(shí)玩游戲的概率為0.6，則指的是此時(shí)小明媽媽手中的手機(jī)會(huì)自動(dòng)按照一定的概率在游戲界面和學(xué)習(xí)資料界面切換. 而依據(jù)貝葉斯學(xué)派的思想，雖然小明是否在玩游戲的行為已經(jīng)確定，但是對(duì)于小明媽媽這個(gè)認(rèn)知主體來說結(jié)果仍然是未知的，所以這個(gè)問題的概率就和此例最初情形下的概率是一樣的，即0.6.

這種對(duì)概率本質(zhì)認(rèn)識(shí)的不同自然也在兩大學(xué)派下的經(jīng)典方法中體現(xiàn)出來. 在貝葉斯估計(jì)法中，一個(gè)重要的理論核心就是貝葉斯公式. 在教材選擇性必修第三冊(cè)中，貝葉斯公式的具體定義如下.

貝葉斯公式定義：設(shè)[Ω]為試驗(yàn)E的樣本空間，A為E的事件，[B1，B2，…，Bn]為[Ω]的一個(gè)分割，且[PBi>0][i=1，2，…，n，] 則[PBiA=P（Bi）PABii=1nP（Bi）PABi.]

其中，[PBi]稱為先驗(yàn)概率，它通常是根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)提前做出的假定;[P（BiA）]稱為后驗(yàn)概率，反映的是在試驗(yàn)結(jié)束后，結(jié)合之前做出的假定及試驗(yàn)的結(jié)果得到的新認(rèn)知.

貝葉斯公式想要闡述的是對(duì)某個(gè)想要知道的事件發(fā)生的可能性先做出一個(gè)假設(shè)，然后根據(jù)試驗(yàn)后得到的新信息修正之前的假設(shè)，從而得到想要知道的事件發(fā)生的可能性的新認(rèn)知. 其中體現(xiàn)出的貝葉斯學(xué)派的思想在于：由于想知道的事件發(fā)生的可能性在試驗(yàn)結(jié)束后相對(duì)于認(rèn)知主體來說仍然是未知的，所以依然可以將該事件當(dāng)作隨機(jī)事件去計(jì)算概率，這也就是存在先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的原因. 而頻率學(xué)派則認(rèn)為，事件概率的大小在試驗(yàn)結(jié)束后已經(jīng)確定，即研究的對(duì)象不再具有隨機(jī)性，也就不涉及概率問題.

這種區(qū)別具體到最大似然估計(jì)法和貝葉斯估計(jì)法中，就體現(xiàn)在對(duì)參數(shù)的理解. 參數(shù)表示的是事物的某種系統(tǒng)特征，在最大似然估計(jì)法中將參數(shù)當(dāng)作一種固定的未知變量，而貝葉斯估計(jì)法則認(rèn)為參數(shù)是隨機(jī)變量. 另外，由于最大似然估計(jì)法本質(zhì)上僅僅利用了樣本信息，而貝葉斯估計(jì)法將主觀先設(shè)定的先驗(yàn)信息與樣本信息相結(jié)合，所以在樣本量足夠大時(shí)，最大似然估計(jì)法能夠得到較好的統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果;而當(dāng)樣本量較小時(shí)，貝葉斯估計(jì)法的優(yōu)越性就體現(xiàn)了出來. 當(dāng)然，因此貝葉斯估計(jì)法需要先假定一個(gè)先驗(yàn)信息，所以常被頻率學(xué)派認(rèn)為推斷過于主觀，結(jié)果缺少科學(xué)性. 或許有人會(huì)問，頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派究竟哪一派的理論是正確的呢？最大似然估計(jì)法和貝葉斯估計(jì)法又是哪一種方法比較好呢？事實(shí)上，我們并不能簡(jiǎn)單地用正確與否來判斷這兩大共同撐起現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)派，具體到其經(jīng)典方法當(dāng)中也是如此，需要根據(jù)具體問題具體分析. 兩種估計(jì)方法各有優(yōu)、缺點(diǎn)，有時(shí)也會(huì)起著互補(bǔ)的作用，因此相比于判斷這兩種方法的優(yōu)劣而言，了解這兩種方法的適用條件和具體應(yīng)用方法是更加有意義的事情.

五、結(jié)束語

綜上所述，教材中一些看似可以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)式子計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)問題背后，其實(shí)蘊(yùn)含著深刻的統(tǒng)計(jì)方法與思想，如本文討論的最大似然估計(jì)思想. 數(shù)學(xué)既是一種文化、思想的體現(xiàn)，更是現(xiàn)代理性文化的核心，是一種無形的客觀存在，教育的目的也不僅是學(xué)會(huì)知識(shí)，更是學(xué)習(xí)一種思維方式. 這就要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中做到勤于思考、樂于鉆研、持續(xù)反思，提高自己的專業(yè)知識(shí)水平與專業(yè)素養(yǎng)，盡可能拓寬自己的視野，培養(yǎng)自己的可持續(xù)性學(xué)習(xí)能力，尤其是在專業(yè)知識(shí)方面. 正所謂：教學(xué)相長(zhǎng)，只有教師自身的專業(yè)水準(zhǔn)不斷提高，才能做到將深刻的數(shù)學(xué)思想滲透到日常教學(xué)中，從而讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)不僅是簡(jiǎn)單的公式計(jì)算，更有其豐富的思想內(nèi)涵，讓其感悟到數(shù)學(xué)之美，達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)思想性、素養(yǎng)性、文化性的要求.

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