侯寶坤

摘 ?要：以數(shù)學(xué)探究活動的“五環(huán)節(jié)”組織對“認(rèn)識與應(yīng)用圓柱體截面”進(jìn)行探究，在梳理基礎(chǔ)知識的同時，體驗復(fù)雜情境下的認(rèn)知程序的建構(gòu)方式，并將其應(yīng)用于具體問題的分析與解決中. 在探究的過程中理解知識，掌握研究方法，自覺追求理性思維，實現(xiàn)知識融合和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合性培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：探究式學(xué)習(xí);理性思維;核心素養(yǎng);實踐探索

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個數(shù)學(xué)問題開展自主探索、合作研究并最終解決問題的過程，是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動. 探究性活動大體可以分為確定探究主題、分解探究任務(wù)、實施探究活動、成果交流與評價、成果應(yīng)用與拓展五個階段，如圖1所示. 內(nèi)環(huán)虛線劃分的區(qū)域為學(xué)生在各個階段開展的學(xué)習(xí)活動;外環(huán)方框內(nèi)是教師在各個階段從事的教學(xué)活動. 教師在整個探究活動中起著資源提供者、活動組織者、學(xué)習(xí)引導(dǎo)者和合作者的作用.

一、案例的價值分析與開發(fā)構(gòu)思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的案例31是“圓柱體截面”專題. 該案例通過裝水圓柱容器不同放置方式的簡單情境引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識截面的形狀，畫出直觀圖形. 原案例研究的內(nèi)容比較簡單，突出了直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，但是沒有涉及截面的性質(zhì)、應(yīng)用、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的要求較低，未能發(fā)揮案例的綜合價值. 圓柱體截面知識在產(chǎn)品設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用，涉及立體幾何、解析幾何、函數(shù)知識的融合，研究方法可以采用數(shù)據(jù)測量、軟件模擬等，案例具有豐富的育人價值，如圖2所示.

通過高二的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了立體幾何、解析幾何、函數(shù)等相關(guān)知識和研究方法，但尚未形成將這些知識融合起來分析問題的思路，學(xué)生分析與解決復(fù)雜的實際問題的能力有待提高，這時開展探究性活動有助于學(xué)生對知識的融會貫通. 以“認(rèn)識與應(yīng)用圓柱體截面”為探究主題，充分理解《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，深入挖掘案例中蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計切實可行的學(xué)習(xí)目標(biāo)，以問題為引領(lǐng)，開發(fā)教學(xué)案例，構(gòu)思如圖3所示. 通過“五環(huán)節(jié)”展開教學(xué)活動，以“截面形成、截面性質(zhì)、截面展開圖、截面應(yīng)用”組織學(xué)習(xí)活動，將從“現(xiàn)象到理性”的“做中學(xué)”思想貫穿于整個項目的實施中，學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想得到進(jìn)一步應(yīng)用和發(fā)展，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀形象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)也將得到落實.

二、探究式學(xué)習(xí)目標(biāo)

探究式學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過動手操作、模型觀察，了解截面的形狀，理解分類原理，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

（2）融合智能計算思維和數(shù)學(xué)理性思維，探究、理解截面的相關(guān)性質(zhì)和展開圖的特征，通過截面應(yīng)用加深學(xué)生對其性質(zhì)的理解，增強(qiáng)學(xué)生的知識融合能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的綜合提高.

（3）由淺入深，讓學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決的全過程，體會數(shù)學(xué)研究的一般流程，積累合作探究的活動經(jīng)驗，形成解決實際問題的科學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)融合的水平.

三、探究式活動實施過程

1. 確定探究主題

創(chuàng)設(shè)情境：播放木工制作圓柱形榫卯的視頻.

驅(qū)動性問題：組裝好圓柱形榫卯的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生根據(jù)“兩個截面怎樣才能吻合？”確定探究主題為“認(rèn)識與應(yīng)用圓柱體截面”.

【設(shè)計意圖】通過極具中國文化特色的、有趣的榫卯結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中蘊含的數(shù)學(xué)問題，提出驅(qū)動性問題，引導(dǎo)學(xué)生主動確定探究主題為“認(rèn)識與應(yīng)用圓柱體截面”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生了解并體會數(shù)學(xué)在生產(chǎn)實踐中的廣泛應(yīng)用價值.

2. 分解任務(wù)

教師提供：裝水的礦泉水瓶、火腿腸、薯片盒等圓柱形教具;圓規(guī)、直尺、GeoGebra軟件等輔助工具.

學(xué)生分組活動，利用學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識確立探究該主題的整體方案，完成初步設(shè)想. 教師組織學(xué)生對方案進(jìn)行點評、優(yōu)化、完善. 學(xué)生討論，根據(jù)驅(qū)動性問題，主動對探究主題進(jìn)行分解，確定子任務(wù).

子任務(wù)1：認(rèn)識圓柱體的截面，包括截面的形狀及形成條件、截面的性質(zhì)和截面的側(cè)面展開圖.

子任務(wù)2：應(yīng)用圓柱體的截面，包括設(shè)計產(chǎn)品，即彎頭的制作方案.

最終確立探究流程，如圖4所示.

3. 探究活動

（1）截面的形狀及形成條件.

活動1：借助實物動手操作或用軟件模擬，在運動過程中形成不同截面，如圖5所示. 根據(jù)形狀將截面進(jìn)行歸類，并體會截面的形成條件.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生操作、體會、歸納不同截面產(chǎn)生的條件，實施“做中學(xué)”“做中悟”，為后續(xù)的數(shù)學(xué)化做好感性準(zhǔn)備，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和分類討論能力. 教師通過觀察、傾聽發(fā)現(xiàn)問題，以便在教學(xué)中對學(xué)生的錯誤認(rèn)識進(jìn)行啟發(fā)性糾正. 例如，有的學(xué)生會認(rèn)為圖5（6）是梯形或平行四邊形.

活動2：教師通過追問“影響截面的形狀的關(guān)鍵是什么？”“你能數(shù)學(xué)化地表達(dá)嗎？”引領(lǐng)學(xué)生探究不同形狀截面的形成原因.

【設(shè)計意圖】啟發(fā)學(xué)生進(jìn)入理性數(shù)學(xué)思考環(huán)節(jié)，體現(xiàn)探究式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)味，增加研究深度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識深入分析實際問題的意識.

活動簡記：學(xué)生的交流以描述為主. 有的學(xué)生認(rèn)為，起于母線終于母線的截面為橢圓（特殊的截面為圓），起于母線終于底面的截面為橢圓弧加一條線段，起于底面終于底面的截面為橢圓弧加兩條線段（特殊為矩形）;有的學(xué)生認(rèn)為，只與側(cè)面相交的截面為橢圓（或圓），與側(cè)面和一個底面相交的截面為橢圓弧加一條線段，與側(cè)面和兩個底面相交的截面為橢圓弧加兩條線段. 這時，教師要引導(dǎo)學(xué)生從二面角的大小入手研究面的關(guān)系，形成數(shù)學(xué)化的理論分析.

如圖5，記截面與圓柱體母線的交點為[E]，截面與下底面在交線右側(cè)的半平面所成的角為[θ]，經(jīng)過點[E]的母線為[AC]. 設(shè)[AC=l，AE=h∈0，l]，底面半徑為[R]，當(dāng)[θ∈π-arctanl-h2R，π?0，arctanh2R]時，截面分別對應(yīng)圖5（1）和圖5（2），是兩類橢圓;當(dāng)[θ=π]時，截面對應(yīng)圖5（3），是一個圓;當(dāng)[θ∈π2，π-arctanl-h2R?][arctanh2R， π2]時，截面分別對應(yīng)圖5（4）和圖5（5），是橢圓弧加一條線段. 當(dāng)截面經(jīng)過上底面的一條弦，弦心距為[d∈0，R]時，則有[θ∈arctanlR+d， π2?][π2，π-arctanlR+d]，截面對應(yīng)圖5（6），是兩段橢圓弧加兩條線段;當(dāng)[θ=π2]時，截面對應(yīng)圖5（7），是矩形;當(dāng)[θ∈0，arctanlR+d?π-arctanlR+d，π]時，截面分別對應(yīng)圖5（4）和圖5（5），是橢圓弧加一條線段.

（2）截面的性質(zhì).

活動3：教師通過問題“截面的形狀已經(jīng)直觀感受了，接下來你還想研究什么？”“你準(zhǔn)備把研究的重點放在哪個對象上？”引領(lǐng)學(xué)生探究橢圓截面的性質(zhì).

【設(shè)計意圖】從直觀感受到深入認(rèn)識是數(shù)學(xué)研究的必經(jīng)之路，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的一般思路. 問題開放便于打開學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)系上認(rèn)識數(shù)學(xué)，學(xué)會歸納總結(jié)、提煉核心，牽住問題解決的“牛鼻子”——橢圓截面的性質(zhì).

活動簡記：學(xué)生利用二面角的性質(zhì)進(jìn)行探究，得到短半軸長[b=R]、長半軸長[a=Rcosθ]的橢圓，橢圓面積公式[S橢圓=πR2cosθ=πab]，橢圓截面周長沒有公式. 但是學(xué)生用GeoGebra軟件的求周長功能，對橢圓截面求周長（[R=15 mm，EC=60 mm，DF=30 mm]，下文都以此為例），求出近似值為114.61 mm，如圖6所示. 另外，有的學(xué)生用圓弧近似，得到圓弧的近似公式[l=4×πR2ni=1n1cos2αcos2iπ2n+sin2iπ2n]，取[n=5，] 通過Excel軟件、圖形計算器等進(jìn)行計算，可以得到周長為108.15 mm，也比較精確. [n]的取值越大就越精確.

活動4：教師通過問題“你能確定上述截面一定是橢圓嗎？”引導(dǎo)學(xué)生反思思維的邏輯性和嚴(yán)密性.

【設(shè)計意圖】促進(jìn)學(xué)生由直覺思維向理性思維轉(zhuǎn)移，形成“既要猜想更要證明”的數(shù)學(xué)思維，突出數(shù)學(xué)探究式學(xué)習(xí)中理性思維的價值. 培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神. 質(zhì)疑是主動學(xué)習(xí)的表現(xiàn)，是深入學(xué)習(xí)的動力，是將感性認(rèn)識引向理性思考與深入思考的關(guān)鍵.

活動簡記：學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)了雙球模型證明（略）. 經(jīng)過師生討論，形成了新的方法：如圖7，設(shè)在直角坐標(biāo)系[xOy]中，點[A]的坐標(biāo)為[x，y]，在直角坐標(biāo)系[xOy]中，點[A]的坐標(biāo)為[x，y]. 在矩形[AHHA]中，[AH=HA;] 在[Rt△HOM]中，[HOcosθ=HM=OH]. 故[R2=][x2+y2=xcosθ2+y2]. 從理論上證明了活動3的結(jié)論.

學(xué)生經(jīng)歷了“確定對象—探究性質(zhì)—論證判斷”的研究過程，學(xué)會了研究數(shù)學(xué)問題的基本方法和常規(guī)思路. 學(xué)生的思維在碰撞中逐步深入，得到橢圓面積公式是一個驚喜. 周長的探究體現(xiàn)了極限對近似運算的強(qiáng)大功能，借助智能計算將手腦有機(jī)融合，實踐和理論相互促進(jìn)，共同推進(jìn)了知識的理解與應(yīng)用.

（3）截面的側(cè)面展開圖.

活動5：教師通過追問學(xué)生“除了研究橢圓截面本身的性質(zhì)外，你還能融合其他對象提出新的研究問題嗎？”引導(dǎo)學(xué)生研究截面的側(cè)面展開圖的形狀.

【設(shè)計意圖】教師鼓勵學(xué)生廣泛聯(lián)想，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的問題綜合意識，使他們體會融合知識的依存背景產(chǎn)生新問題的方法，增強(qiáng)利用新情境解讀知識的能力，提高知識綜合應(yīng)用和主動創(chuàng)新的能力.

活動簡記：① 學(xué)生形成許多測量方案. 方案1：剪開薯片盒進(jìn)行研究. 方案2：將帶包裝的火腿腸切出截面，再展開包裝紙進(jìn)行研究，如圖8所示. 方案3：在紙上畫一個與圓柱底面大小相同的圓，將圓等分點標(biāo)出，然后將圓柱底面與之重合，再測量這些點到截痕的母線長，如圖9所示（不破壞模型，有創(chuàng)新，更具現(xiàn)實價值）.

② 側(cè)面曲線軌跡的函數(shù)擬合. 將底面12等分，測量數(shù)據(jù)列表如下（單位：cm）.

利用GeoGebra軟件表格區(qū)的回歸分析功能，作出相應(yīng)的散點圖（如圖10），用二次函數(shù)（如圖11）、四次函數(shù)（如圖12）、正弦函數(shù)（如圖13）進(jìn)行回歸分析，發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)最佳，四次函數(shù)次之. 由于測量精度不同，也有小組出現(xiàn)四次函數(shù)較佳的情形，討論后重新切幾個截面測量分析，得出正弦函數(shù)更佳. 學(xué)生在交流中相互啟發(fā)，在爭論中相互學(xué)習(xí)，對誤差的分析提高了學(xué)生管理分歧、達(dá)成共識的意識，增強(qiáng)了學(xué)生解決實際問題的能力.

活動6：教師通過問題“模擬得到的正弦函數(shù)具有一般性嗎？”推動學(xué)生對問題一般性的理論化討論.

【設(shè)計意圖】實驗可以驗證與推測理論的準(zhǔn)確性，探究式學(xué)習(xí)更應(yīng)該重視理論的建立，防止出現(xiàn)將實驗解決作為最終目標(biāo)的不良傾向，主動融入數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)，提高學(xué)生的綜合能力.

活動簡記：師生共同討論，將學(xué)生方案3的思想抽象化. 如圖14，沿[DF]處展開側(cè)面，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)[Nx，y]，[DF=h0]，[∠MOD=α]，則[x=αR]，[y=][HK=DF+FQtanθ=h0+R1-cosαtanθ=h0+Rtanθ1-cosxR，]為正（余）弦型函數(shù).

這一階段學(xué)生經(jīng)歷了“初步感受—實驗探索—智能求解—理論論證”的研究過程，體驗了通過數(shù)學(xué)建模處理實際問題的一般思路. 在實際教學(xué)中，學(xué)生有猜想、有證明，也有反駁. 實驗方案3就是思維不斷碰撞的結(jié)果，體現(xiàn)了思維的靈活性. 出現(xiàn)不同的結(jié)果，不一味地爭論，學(xué)會多舉例增強(qiáng)說服力，以理服人，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性思維的潛在影響. 數(shù)學(xué)實驗和智能計算增加了解決問題的手段，提高了問題研究的效率和建立理論的信心.

（4）截面的應(yīng)用.

活動7：教師以問題“對于圖8，你能針對不同背景提出彎頭的制作方案嗎？”觸動學(xué)生探究使用知識的熱情.

【設(shè)計意圖】用開放性問題發(fā)散學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識. 通過應(yīng)用方案的設(shè)計，檢驗學(xué)生對新知識的理解，以及用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.

活動簡記：

背景1：給定圓柱體如何截取一個符合條件的截面？經(jīng)過討論，學(xué)生認(rèn)為截面與底面所成二面角為關(guān)鍵，設(shè)計一個定角模具，沿模具平面鋸開圓柱體.

背景2：給定一個矩形鐵皮如何卷成一個符合條件的截面？根據(jù)[x=αR]，[y=h0+Rtanθ1-cosxR]在鐵皮上畫出函數(shù)圖象，沿函數(shù)圖象剪開再卷起即可.

四、交流評價

在探究過程中形成的成果，學(xué)生可以邊探究邊交流，也可以依探究階段分段交流、相互點評. 最后階段可以圍繞項目學(xué)習(xí)的總體感受交流，主要包括知識的認(rèn)知程度、方法的獨到領(lǐng)悟、探究性學(xué)習(xí)過程中的情感體驗等. 教師引導(dǎo)學(xué)生對形成的成果、交流過程、組織形式等進(jìn)行評價反思，也可以對學(xué)生的評價進(jìn)行再評價，找出優(yōu)勢，分析不足，促進(jìn)修正. 學(xué)生則側(cè)重評價和反思自己學(xué)習(xí)過程中的得失，感悟其他學(xué)生的學(xué)習(xí)帶給自己的體會，促進(jìn)對知識規(guī)律的總結(jié)和提升，以及對研究方法的整體體驗.

五、應(yīng)用拓展

教師可以提出檢驗探究性活動的評價性問題，供后續(xù)研究. 例如，圖5（5）和圖5（6）中的截面面積怎么計算？周長的近似值是多少？圖5（7）中的截面左側(cè)幾何體的高與底面周長一定時，體積何時最大（直覺是圓，考查理性證明）？圓錐體截面橢圓在其側(cè)面上的展開圖如何（方案3學(xué)習(xí)檢驗）？通過應(yīng)用拓展檢查學(xué)生獲得知識的情況，同時開展新的發(fā)現(xiàn)和探究.

六、收獲與困惑

在探究性學(xué)習(xí)過程中不斷涌現(xiàn)的問題使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，他們不僅知道而且能夠理解知識的特征，并且能夠?qū)⒏鱾€知識點進(jìn)行重新組合，使知識的聯(lián)系更加緊密、系統(tǒng). 基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)綜合發(fā)展的探究性學(xué)習(xí)，突出目標(biāo)導(dǎo)向、問題引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動、合作交流，讓學(xué)生主動參與“做數(shù)學(xué)”“學(xué)數(shù)學(xué)”的全過程，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并學(xué)會了在實際問題中“用數(shù)學(xué)”的一般套路，能從數(shù)學(xué)知識的“源”與“流”上提高理解的深度和寬度. 探究性活動更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促使學(xué)生真誠交流、合作共贏，積極地自評、互評增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性，提高了學(xué)習(xí)效率. 由于探究性活動具有綜合性，部分學(xué)生能力不足，參與度較低，所以教師在設(shè)計問題時要考慮增加梯度. 學(xué)生的智能計算能力普遍不足，給跨學(xué)科融合帶來了困難，要協(xié)同信息技術(shù)課程改善學(xué)習(xí)狀況.

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