杜娟 陳算榮

摘 ?要：課例“水溫隨時間變化的規(guī)律”的設計采用問題串的形式，在問題驅(qū)動下，引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題的建?；顒芋w驗過程. 在數(shù)學建模的過程中，引導學生探析現(xiàn)象背后的本質(zhì)，靈活運用已有數(shù)學知識和經(jīng)驗，有效解決現(xiàn)實世界中的真實問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模;問題引導;問題解決

一、數(shù)學建模素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》（以下簡稱《標準》）凝練了學生必須具備的六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析. 其中，數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型、分析和解決問題. 我國的數(shù)學教學歷來重視數(shù)學在解決實際問題中的應用，貫穿于中小學數(shù)學教學全過程的應用題是將數(shù)學與現(xiàn)實相聯(lián)系的重要載體. 數(shù)學建?；顒邮菍妙}的繼承與發(fā)揚，但是與應用題教學相比，數(shù)學建?；顒拥膬?nèi)涵更為豐富，數(shù)學建?；顒訌慕虒W內(nèi)容、教學方式及教學評價等多個方面都對中小學數(shù)學教學提出了很多嶄新的研究課題.

隨著以《標準》和新教材為標志的“雙新”課程的實施推進，數(shù)學建模將從理論設計層面的教學目標轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸嵉膶W習活動，教師只有嘗試實踐，才有可能從理論構(gòu)想走向現(xiàn)實，《標準》對于數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培育目標才能真正落實.“水溫隨時間變化的規(guī)律”的數(shù)學建?；顒釉O計和實踐就是數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展落地課堂的一次探索，經(jīng)過實踐、反思和完善后形成的課例設計.

二、數(shù)學建?；顒釉O計

1. 問題背景

數(shù)學建模學習主題來自生1在網(wǎng)上看到的一篇報道，其發(fā)現(xiàn)了其中蘊含的數(shù)學問題，并把素材提交給數(shù)學教師. 具體內(nèi)容如下.

情境：人們?nèi)粘ｏ嬘盟畷r既不能喝生水，也不能喝過燙的水. 生水中含有大量的寄生蟲，過燙的水不僅會損傷牙釉質(zhì)，還會強烈刺激咽喉、消化道和胃的黏膜. 因此推薦飲用45℃的溫水.

問題1：面對以上實際情境，你能提出哪些問題？

小組討論，并將問題寫在活動單上.

【設計意圖】設計開放性問題，拓展學生的思維廣度. 學生通過自己熟悉的情境，小組交流討論，從情境中抽象出數(shù)學問題，再分析問題. 問題是開放性的，學生的回答涉及各學科領(lǐng)域，通過教師引導，學生評價每個小組提出的問題的意義及合理性，并從中選擇大部分學生關(guān)注的且與數(shù)學相關(guān)的問題加以提煉，形成本節(jié)課的主題：在室溫為15℃的條件下，一杯燒開的水大約需要多長時間可以降到45℃？

2. 數(shù)據(jù)采集

為了解決問題1，生1課前帶領(lǐng)小組成員在化學實驗室室溫為15℃的條件下，每間隔1分鐘用溫度計測一次水的溫度（單位：攝氏度），下表是采集了[12]分鐘的水溫數(shù)據(jù).

3. 問題探究

活動1：問題串誘導，推動知識遷移.

問題2：觀察這組數(shù)據(jù)，思考水溫與時間之間是否存在某種依賴關(guān)系？這種依賴關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系？

問題3：能否用確定的函數(shù)模型來刻畫水溫與時間之間的關(guān)系？

問題4：有沒有比較直觀的方法幫助我們選擇熟悉的函數(shù)模型？

【設計意圖】引導學生觀察、分析數(shù)據(jù)，找出水溫隨時間的變化規(guī)律. 在學生思維的最近發(fā)展區(qū)尋找突破口，通過問題串啟發(fā)誘導，幫助學生回顧函數(shù)的定義及函數(shù)的三種表示方法. 比較函數(shù)的三種表示方法，學生自然選擇圖象法，從而引出下一環(huán)節(jié)——畫散點圖.

活動2：制作散點圖，猜想函數(shù)模型.

問題5：如圖1，觀察散點圖中點的分布規(guī)律，對比已經(jīng)學過的基本初等函數(shù)圖象，猜想可以選擇怎樣的函數(shù)模型？（小組交流.）

【設計意圖】學生用圖形計算器繪制散點圖，根據(jù)散點圖中點的分布規(guī)律，學生猜想的函數(shù)模型可能有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等. 該選擇哪種函數(shù)模型？又該如何確定函數(shù)模型？由此引出數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié)——模型的選擇.

活動3：利用函數(shù)擬合，選擇函數(shù)模型.

（1）操作圖形計算器，組內(nèi)自由分工合作，分別選擇一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型擬合，如圖2 ～ 圖4所示.

（2）小組代表展示擬合數(shù)據(jù)后求得的參數(shù)，以及用對應函數(shù)模型求解問題的結(jié)果，并用語言描述本組解決問題的過程.

【設計意圖】各小組自由選擇一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型進行擬合并求解. 活動的目的是引導學生自主探究，比較各模型的優(yōu)劣，進而選擇最佳模型，并嘗試交流和表達. 在探求問題解決的過程中不斷修正模型，最終確定模型. 在整個探索過程中，學生充分體會了函數(shù)擬合的思想，體驗了建模的基本步驟，感受了解決問題帶來的喜悅.

問題6：組內(nèi)討論為什么二次函數(shù)模型會無解？我們應該選擇哪個模型？

【設計意圖】教師引導學生考慮二次函數(shù)的最小值，學生算出二次函數(shù)的最小值，對比實際問題發(fā)現(xiàn)方程無實數(shù)解. 學生調(diào)動自身儲備的數(shù)學知識去解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學知識是解決實際問題的理論基礎. 充分討論、比較后，大部分小組選擇指數(shù)函數(shù)模型，引出本節(jié)課的下一個環(huán)節(jié)——模型修正.

活動4：比較函數(shù)模型，給出合理解釋.

問題7：為什么你覺得指數(shù)函數(shù)模型比一次函數(shù)模型更合適？

【設計意圖】經(jīng)過討論，學生可能知道要用物理學知識去解釋，但不知道涉及物理學的哪方面知識. 教師設置情境：一杯100℃的水和一杯30℃的水在相同時間內(nèi)冷卻到15℃，誰的冷卻速度更快？引出物理學中“放熱系數(shù)”的概念來解釋指數(shù)函數(shù)模型更合適. 通過該問題讓學生意識到選擇的函數(shù)模型要能對實際問題做出合理解釋，而對問題的解釋往往需要跨學科知識的融合，讓學生體會跨學科知識之間的聯(lián)系.

活動5：回歸初始問題，引發(fā)深度思考.

問題8：回到實際問題中，還有什么因素需要考慮嗎？（小組討論.）

【設計意圖】引導學生討論并發(fā)現(xiàn)問題，讓學生代表進行說明. 如果學生沒有討論出結(jié)果，教師則以問題串啟發(fā)：該模型的漸近線是什么？實際問題中的水溫可能降到室溫之下嗎？該模型應該如何修正才能更符合實際？引導學生給出模型[y=abx+15.] 再通過計算器求解，完成模型修正. 學生主動參與問題解決的過程，在不斷反思中提出新問題，有利于激發(fā)學生的創(chuàng)新精神，提升學生的實踐能力.

活動6：學生自主討論，總結(jié)建模過程.

問題9：回顧經(jīng)歷的數(shù)學建模過程，能否嘗試總結(jié)數(shù)學建模解決實際問題的基本過程？（小組交流.）

【設計意圖】引導學生及時積累數(shù)學建?；顒拥幕窘?jīng)驗，為今后開展新的數(shù)學建模主題活動奠定基礎. 教師在學生反饋的基礎上，歸納出數(shù)學建模的一般過程，如圖5所示.

問題10：試結(jié)合本節(jié)課的實例，總結(jié)函數(shù)擬合建模的一般步驟. 能否用流程圖來表示？

教師根據(jù)學生的回答，與學生共同概括、提煉，得到流程圖，如圖6所示.

【設計意圖】引導學生回溯函數(shù)擬合的具體過程，進一步提升學生的語言表達和總結(jié)概括能力.

4. 提升價值認識

問題11：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲和體會？

【設計意圖】引導學生領(lǐng)悟數(shù)學學科的育人價值，提升學生對數(shù)學建模意義的認識，提高學生參與數(shù)學建?；顒拥呐d趣.

三、教學實踐解析

該建?；顒釉O計方案在同一年級的多個平行班進行實踐，并經(jīng)過多輪“實踐—反思—重建”的改進過程. 上述活動設計在上海市閔行區(qū)青年骨干教師培養(yǎng)基地進行了公開實踐研討. 專家點評該課例的設計和實施遵循了五個原則：以學生為主體，以問題為載體，以活動為中心，以能力提高為目的，以技術(shù)為手段. 整個教學活動設計，其研究素材和研究問題來自學生，函數(shù)模型的建立、求解、檢驗和修正過程均在教師精心設計的問題引導下完成. 問題串的設計有助于學生思維的深度發(fā)展，能夠幫助學生掌握數(shù)學建模學習的要領(lǐng)和其中的數(shù)學知識本質(zhì)，實現(xiàn)深度學習.

課堂活動實施采用個體活動和小組活動有機結(jié)合的方式進行. 在活動過程中，學生主動分析問題和解決問題，教師以引導、參與和監(jiān)督的方式介入個體和小組活動，從而實現(xiàn)師生和生生之間的多向互動. 學生借助教師或者同學的幫助，利用必要的學習資料主動建構(gòu)獲得知識. 活動中，這種合作性人際關(guān)系的建構(gòu)能夠促進學生達到認知、情感和社會性的全面發(fā)展. 學生在思考、交流和表達的過程中提高了提出問題、分析問題和解決問題的能力. 學生借助圖形計算器制作散點圖，然后擬合函數(shù)，最終求解的過程，充分體現(xiàn)了技術(shù)與數(shù)學的深度融合. 在分析一次函數(shù)模型和指數(shù)型函數(shù)模型誰更適切的環(huán)節(jié)，教師引導學生關(guān)聯(lián)物理學中“放熱系數(shù)”的概念來解釋指數(shù)型函數(shù)模型更合適，讓學生感悟跨學科整合學習的意義，體現(xiàn)了新課程提出的學科融合理念.

作為一次數(shù)學建?；顒拥某醪絿L試，實踐研究者認識到要讓建?；顒诱n達到較好的學習效果，需要教師堅持深度學習的理念，精心創(chuàng)設適切的數(shù)學情境和數(shù)學問題，使學生在參與數(shù)學學習活動和解決問題的過程中不斷加深對數(shù)學思想的理解，并內(nèi)化為個人素養(yǎng)，真正地“做數(shù)學”和“學數(shù)學”.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]吳國舞. 淺談合作、探究式教學法的應用[J]. 新一代，2018（8）：173.

[3]陳算榮. 數(shù)學核心素養(yǎng)落地課堂：五“E”教學模式解析[J]. 中學數(shù)學教學參考（下旬），2017（11）：62-64.