張艷霞，劉 暢

(安徽工業(yè)大學(xué)a.數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

Sturm-Liouville問題是研究波動方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程定解問題的基礎(chǔ)，在工程結(jié)構(gòu)的振動和穩(wěn)定性分析中用以確定桿的自振頻率和臨界載荷(頻率是特征值)；在量子力學(xué)中用以求氫原子在有心力場作用下電離所需的最小能量，在大氣物理學(xué)中用以確定在地球自旋作用下緯向氣流的波動頻率、彈性碰撞問題。此外，治療冠心病的心臟支架技術(shù)以及金融數(shù)學(xué)中期權(quán)定價(jià)等問題也涉及到某個(gè)自伴SL算子的特征值問題。SL問題一直是科研工作者研究的熱點(diǎn)[1-7]。

本文研究由如下二階微分方程(1)和周期邊界條件(2)構(gòu)成的兩個(gè)SL 問題：

其中qi(x)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)。對于給定的勢函數(shù)qi(x)，上述兩個(gè)SL問題的譜都是特征值，并且是實(shí)特征值有下界，有可能出現(xiàn)二重特征值，其特征值形如[8]：λ1≤λ2≤λ3≤…≤λn≤…。如果上述兩個(gè)SL問題的譜集合是相同的，則這兩個(gè)SL 問題稱為譜同構(gòu)[9-10]；如果上述兩個(gè)SL 問題不是譜同構(gòu)的，那會有多少個(gè)相同譜(特征值)?文獻(xiàn)[11]中給出了具有Dirichlet邊界條件(3)的兩個(gè)SL方程相同譜問題：

文獻(xiàn)[12]把這一問題推廣到具有一般分離型邊界條件(4)的兩個(gè)SL方程上。

文獻(xiàn)[11-12]都是借助某個(gè)具有分離型邊界條件的二維向量SL問題譜的特點(diǎn)以及二重特征值個(gè)數(shù)，來研究兩個(gè)一維SL 方程的相同譜問題，但是對帶混合型邊界條件的兩個(gè)一維SL 方程的相同譜問題沒有給出結(jié)論。帶有分離型邊界條件的一維SL 問題的特征值都是單的，帶有周期混合邊界條件的一維SL 問題會出現(xiàn)二重特征值，二重特征值有多少個(gè)?最大二重特征值的上界是多少?兩個(gè)一維SL 問題相同的特征值有多少個(gè)？這些問題還沒有相關(guān)結(jié)論，文中針對這些問題進(jìn)行研究，并給出相關(guān)結(jié)論。

1 二維向量Sturm-Liouville問題的特征值

考慮如下具有周期混合邊界條件的二維向量SL問題：

則λ是二維向量Sturm-Liouville問題(5)～(7)特征值的充分必要條件是ω(λ) = 0。

證明 該引理的證明可參見文獻(xiàn)[13]。

引理2 設(shè)Φ(x,λ),Ψ(x,λ)的定義如式(9)，λ是二維向量SL 問題(5)～(7)的特征值，則特征值λ的重?cái)?shù)與線性代數(shù)系統(tǒng)式(11)的線性無關(guān)的向量個(gè)數(shù)是相等的。

記

將式(20)代入式(18)得

結(jié)合式(22)～(24)、式(28)及λn＞2Q*可得

2 兩個(gè)一維Sturm-Liouville方程的交叉譜問題

為研究具有周期邊界條件的兩個(gè)一維SL 方程(1)，(2)的交叉譜問題。對于勢函數(shù)qi(x)，記σ(qi)表示一維SL方程(1)，(2)的譜集；σ(Q)表示二維向量SL問題(5)～(7)的譜集。令

3 結(jié)論

研究具有周期邊界條件的兩個(gè)SL 問題的交叉譜個(gè)數(shù)。由定理1 計(jì)算出二維向量SL 問題的二重特征值的一個(gè)上界，由定理2 得出二維SL 問題的大于該上界的特征值都是單特征值，且只有有限個(gè)非單特征值。定理3 中構(gòu)造了一個(gè)二維向量SL 問題使得兩個(gè)一維SL 問題的譜集與該二維向量SL 問題的譜集相同，利用一維SL 問題與二維向量SL 問題譜集之間的關(guān)系，得出具有周期邊界條件的兩個(gè)一維SL 問題交叉譜（相同特征值）的個(gè)數(shù)是有限個(gè)。由定理4 得出具有周期邊界條件的一維SL 問題的二重特征值是有限個(gè)，及最大二重特征值的上界估計(jì)。